從基礎(chǔ)到能力

1、<p><b>　　從基礎(chǔ)到能力</b></p><p>　　----對幾道小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題的思考</p><p>　　華中科技大學(xué)附屬小學(xué) 馮勝</p><p>　　小學(xué)數(shù)學(xué)競賽是解題的競賽，它需要知識更強調(diào)能力。給小學(xué)生出的題，涉及的知識不宜超過《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》或是對小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的擴展，因而能力的要求就是將競賽與課本聯(lián)

2、系起來的能力也就是“題在課外，功在課內(nèi)”。小學(xué)階段要培養(yǎng)學(xué)生的基本能力：計算能力、初步的邏輯思維能力和空間能力等。</p><p>　　能力不是天生的，是可以不斷通過培養(yǎng)得到的。為了幫助了解從基礎(chǔ)到能力的過程。以下將舉例說明，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題大致分為兩大類：</p><p>　　第一類題目所涉及知識與技巧在小學(xué)數(shù)學(xué)課本內(nèi)，源于課本，高于課本，需要我們的遷移能力。</p>&l

3、t;p>　　例⒈計算（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷6</p><p>　　本題是測算術(shù)的基本技能，計算能力包括很多方面和層次，像耐心，細致的思維品質(zhì)，算理基礎(chǔ)上的算法等等。它同時具有綜合性，層次性和發(fā)展性的特點。</p><p>　　剖析：將橫式轉(zhuǎn)化為豎式： 123456</p><p>

4、<b>　　234561</b></p><p><b>　　345612</b></p><p><b>　　456123</b></p><p><b>　　561234</b></p><p>　　+ 612345 </p><

5、p>　　就知道每一位相加恰好是：1+2+3+4+5+6=21，因此，這一加法的答數(shù)是21×111111</p><p>　　原式=21×111111÷6=111111×7×3÷3÷2=777777÷2=388888.5</p><p>　　本題第一步用豎式加法這一方法與課本中的較大數(shù)加法用豎式不謀而合，而

6、計算過程實際是變行過程，上述計算中就用到了“拆”即：21=3×7：6=2×3。這也是乘法公式的逆用；也合理的運用了“運算律”。</p><p>　　反思：本題較好體現(xiàn)了計算的能力的綜合性特點；它是記憶能力，思維能力，推理能力的相互滲透，培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力是一項系統(tǒng)工程，需要有目的，有計劃的進行訓(xùn)練。</p><p>　　例2：11112222個棋子排成一個大長方形，每

7、一橫行的棋子數(shù)比每一直行的棋子數(shù)多一個，這個長方陣每一橫行有棋子_________個。</p><p>　　本題中的11112222是一個較大的數(shù)，對于較大的數(shù)字的適應(yīng)能力實際是一種估算能力。它要求學(xué)生應(yīng)有一種“數(shù)感”既能在具體的情景下把握數(shù)的相對大小。</p><p>　　剖析：要將11112222分解成2個整數(shù)的乘積，并且這2個整數(shù)只相差1，顯然3000×3000<11

8、112222<3000×4000也就是說，這兩個整數(shù)在3000與4000范圍內(nèi)。將11112222分解分解質(zhì)因數(shù)：11112222=2×3×11×101×1667大于3000，小于4000的數(shù)只有2×1667=3334和3×11×101=3333。因此，橫行有3334個棋子。</p><p>　　反思：本題中分解質(zhì)因數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)

9、課本中最基本的方法，而將11112222在給定的范圍內(nèi)分解則是一種能力。本例考察學(xué)生的觀察、分析的能力這種能力需要在實際操作中培養(yǎng)，讓它們在操作中容易理解事實之間的聯(lián)系與變化，逐步學(xué)會分析。如：學(xué)生在學(xué)習(xí)面積時，通過學(xué)具的操作，把圓等分為若干個扇形，然后拼成一個長方形（近似的），從而推導(dǎo)圓的面積公式。學(xué)生不僅學(xué)習(xí)的圓的面積公式，而且綜合能力得到逐步提高。</p><p>　　作為教師在解題上應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的意

10、識。在本例可以得到這樣基本的事實：</p><p><b>　　12=3×4</b></p><p>　　1122=33×44</p><p>　　111222=333×334</p><p>　　11112222=3333×3334</p><p><

11、;b>　　……………………</b></p><p>　　我們在“數(shù)學(xué)思考”上應(yīng)該著重培養(yǎng)對問題本質(zhì)的反思，計算：32-23=，52-25=，64-46=…，后可以發(fā)現(xiàn)并歸納出▲○=○▲=（▲-○）×9 （▲>○），這些工作都為學(xué)生能力的提高創(chuàng)造機會和鋪墊。</p><p>　　例3：狐貍在跑道上跳遠，每次跳遠150CM從起點開始每隔130CM設(shè)置一個陷

12、阱，問狐貍跳了幾次后掉進井中？</p><p>　　本題考察學(xué)生的推理能力。推理能力是生來就有的，同時它又有高低之分，在試題中它又不是虛無縹緲的，它是建立在一定的數(shù)學(xué)基本知識上的。培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。要創(chuàng)設(shè)情境，選好典型事例，</p><p>　　剖析：解決這類應(yīng)用性，開放性的問題，關(guān)鍵建立合理的“數(shù)學(xué)模型”，也就是我們數(shù)學(xué)的本質(zhì)是建立在數(shù)學(xué)模型進而解決問題的直接創(chuàng)造。這里考察的基本知識是

13、“最小公倍數(shù)”，因為起點到狐貍落到陷阱的距離是130的倍數(shù)，也是150的倍數(shù)，即是求“130與150的最小公倍數(shù)?！?lt;/p><p>　　第二類題目涉及內(nèi)容是小學(xué)數(shù)學(xué)課本的擴展，要求小學(xué)生運用小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解決，不屬于《課標》內(nèi)容。</p><p>　　例4：71427和19的積被7整除是幾？</p><p>　　本題涉及到整除的性質(zhì)和同余知識。</p>

14、;<p>　　剖析：這道題已屬于初等數(shù)論的初步知識，但可以用小學(xué)的分析方法解決，先把71427和19的積表示為：“7的倍數(shù)”×19+6×19</p><p>　　這樣就可以用參考6×19除以余數(shù)，進一步思考由于19被7除余5，所以只考慮6×5被7除余2，也就是71427和19的積被7除余2。本題的解決方法是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)。</p><p

15、>　　反思：我們現(xiàn)在在小學(xué)的數(shù)學(xué)思想大致有：集合思想與對應(yīng)思想；符號化思想，極限思想與統(tǒng)計思想，分析與綜合，歸納法等，前面例3中講到的由基本事實到結(jié)果是不完全歸納法的體現(xiàn)，而例2中反思講到的求圓的面積很好的體現(xiàn)了極限的思想：當分的份數(shù)趨向與無窮大時，扇形的弧更趨于直線，即圓的面積更近似于長方形的面積。這也是高等數(shù)學(xué)中“微積分”思想的體現(xiàn)化。</p><p>　　由于小學(xué)生想象能力與認知事物的特點，較難培養(yǎng)“

16、空間觀念”這種觀念的形成需要教師長期正確的訓(xùn)練。</p><p>　　例5：長方形邊上有10個點，相鄰兩個點之間的距離為1厘米，在其中找到三個連成一個三角形，可以連成多少個面積為2平方厘米的三角形？</p><p>　　本題是一道幾何題，它不是求圖形的周長和面積，而是“數(shù)數(shù)”，而數(shù)出有多少個面積為2平方厘米的三角形。也許有人說數(shù)數(shù)誰不會呢？但這道題與平常給出具體對象的不一樣，它要先確定那些

17、三角形面積為2平方厘米，然后再數(shù)數(shù)。</p><p>　　剖析：本題考察了觀察能力和分類思想。以GI為底，頂點是A、B、C、D的4個三角形（ΔAGI, ΔBGI, ΔCGI, ΔDGI）的面積都是2平方厘米，同樣以HJ為底又有4個面積為2平方厘米的三角形。（ΔAHJ, ΔBHJ, ΔCHJ, ΔDHJ）這樣有8個，考慮對稱性以AC、BD為底的又有8個，共有16個。其實我們數(shù)漏了ΔBHF, ΔECI，這樣有16＋2

18、=18個，這是本題的答案嗎？這也不對，如果學(xué)生思維形成定勢，只知道找底2厘米，高是2厘米的三角形，就很難發(fā)現(xiàn)合乎條件的三角形了，這需要我們換種思維，請看ΔAIF的面積SΔAIF=6－2－0.5-1.5=2(平方厘米)，你還會發(fā)現(xiàn)ΔGFC, ΔJEB, ΔDEH也是2平方厘米，那么本題正確答案為16＋2＋4=22個。</p><p>　　反思：通過這道題的解答，我們要正確數(shù)數(shù)，必須做到不重復(fù)，不漏掉，同樣要培養(yǎng)“空