光電子技術(shù)

1、階躍折射率 漸變折射率,,,射線光學(xué),波動(dòng)分析（模式）,2－4章 平面介質(zhì)波導(dǎo),5－10章 光纖波導(dǎo),,階躍折射率,漸變折射率,,射線光學(xué),波動(dòng)分析,,多模,單模,,,子午光線,偏射光線,,標(biāo)量近似（模式）,,,nc,n1,ns,覆蓋層,導(dǎo)波層,襯底層,,對(duì)稱,非對(duì)稱,,,,,,,保護(hù)層,包層,纖芯,耦合：,外耦合,,透鏡,棱鏡,光柵,劈形,全息,外耦合,,透鏡,光柵,光纖錐,全息,,波導(dǎo)耦合 （耦合波理論）,,光纖

2、波導(dǎo)焊接,調(diào)制,調(diào)制,,電光,聲光,磁光,,強(qiáng)度,位相,偏振,波長(zhǎng),頻率,調(diào)制,,內(nèi)調(diào)制,外調(diào)制,,強(qiáng)度,位相 （干涉）,偏振,波長(zhǎng),頻率（多普勒效應(yīng)）,,法拉第,克爾,光彈,第 五 章普通光纖的基礎(chǔ)理論,內(nèi)容提要 前言 §1階躍折射率光纖的光線理論 § 2偏射光線的傳播 § 3光纖波導(dǎo)中的模式理論 § 4階躍光纖的標(biāo)量近似分析,,前言

3、1.光纖與光纖通信基本情況: 占光學(xué)工業(yè) 時(shí) 間 產(chǎn)值比例1982年 09.2%1985年 20.7%2000年 46.0%,圖1.1 光電子技術(shù)主體發(fā)展,圖1.2 階躍折射率光纖的橫界面圖,,2. 歷史的回顧,1854年，就認(rèn)識(shí)到光纖導(dǎo)光傳播的基本原理 — 全內(nèi)反射。 十九世紀(jì)二十年代，制成了無包層的玻璃光纖

4、； 二十世紀(jì)五十年代，用包層可以改善光纖特性， 當(dāng)時(shí)的主要目的是傳輸圖像。 1967年，N.S.Kapany，F(xiàn)iber Optics：Principles and Aplications (Academic，New York) 缺點(diǎn)：損耗大 α~1000dB/km,七十年

5、代：隨著光纖制造技術(shù)的突破，使損耗降低到~0.2dB/km（1.55μm附近）僅受瑞利散射損耗限制。1973年從理論上預(yù)言通過光纖的色散和非線性互作用可以產(chǎn)生光孤子；1980年從實(shí)驗(yàn)上獲得了光孤子，將超短光脈沖壓縮到了6fs。,,,,摻鉺光纖放大器,,,,摻雜光纖激光器,,受激喇曼散射,,,,受激布里淵散射,,光纖群速色散,,,自相位調(diào)制,——,,超短光脈沖的產(chǎn)生、壓縮和控制,,,,,3.優(yōu)點(diǎn)： 良好的傳導(dǎo)性能、巨大信息容

6、量(一條光頻通路上同時(shí)可容納幾十億人通話，傳送上千套電視節(jié)目)。與金屬傳輸線相比:(1)機(jī)械方面:直徑細(xì)(µm)、重量輕(30g/km )、可繞性好(節(jié)省銅料、價(jià)格低廉，一公斤 熔融硅棒可拉光纖幾百公里，100公里長(zhǎng)18 路同軌電纜需銅12噸、鉛50噸)。,,(2)電氣方面:電氣絕緣性好、無感應(yīng)。本身 不輻射電磁場(chǎng)、噪聲信號(hào)。(3)化學(xué)方面:耐火、耐水性好，耐腐蝕性好

7、 (安全)。(4)傳輸特性方面:低損耗(0.2dB/km 1.55 µm，0.5dB/km 1.3µm，2.5db/km 0.8µm)、寬頻帶(1GHz · km 、 2.5GHz · km)、無串音。,,4.光通信系統(tǒng)和光網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：,光通信系統(tǒng)：時(shí)分復(fù)用系統(tǒng)，波分復(fù)用系統(tǒng)；光網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：遠(yuǎn)程網(wǎng)，城域網(wǎng)和接入網(wǎng)。,密集波分復(fù)用系統(tǒng)Dense wa

8、velength division multiplexing system (密集波分復(fù)用器：Dense Wavelength Division Multiplexing,DWDM；光波分復(fù)用器：Optical Multiplexer,OM；光解波分復(fù)用器：Optical Demultiplexer,OD；光放大器：Optical Amplifer,OA),1525nm-?1600nm間距：0.8nm-?頻寬100GHz,The Eas

9、t Asia Crossing network will connect Japan, Taiwan, Singapore, Hong Kong, Malaysia, South Korea, and the Philippines.,5.光纖的分類,1 從材料來分： （1）高純度石英（SiO2），0.2db/km（1500nm） （2）多組分玻璃，3.4db/km, 840nm （3）塑料光纖，150db/km

10、, 650nm （4） 液芯光纖 （5）晶體光纖2 從模式來分： （1）單模光纖，芯徑4－10微米 （2）多模光纖，芯徑50微米,3 從折射率分布來分： （1）階躍型光纖 （2）梯度折射率型光纖4 從制作方法來分： （1）CVD（化學(xué)氣相沉積法） MCVD（改進(jìn)化學(xué)氣相沉積法） （2）雙坩鍋法（適用于制作多組分玻璃)5 按傳輸偏振

11、態(tài)來分： （1） 保偏光纖 （2） 非保偏光纖6 按結(jié)構(gòu)來分： （1） 普通光纖 （2） 光子晶體光纖,§1 階躍折射率光纖的光線理論按照折射率分布: 1. 階躍型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是突變的。其成本低，模間色散高，。階躍型光纖通常稱為普通光纖。 2. 漸變型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是漸變的。1.1 子午光線的傳播 3.子午面:在光纖中，通

12、過光纖中心軸的任何平面。,4.子午光線:位于子午面內(nèi)的光線.根據(jù)光的反射定律，入射光線和反射光線始終在同一平面內(nèi)。因此，子午光線經(jīng)過多次全反射后仍在原入射面內(nèi)，子午光線是(平面曲線)。5.偏射線:另一種光線不在一個(gè)平面里，不經(jīng)過波導(dǎo)的軸，它們碰到邊界時(shí)做內(nèi)部全反射，也和點(diǎn)平面邊界一樣，反射角等于入射角，(空間曲線)。 如圖1所示，n1，n2分別是纖芯和包層的折射率，n0為光纖周圍介質(zhì)折射率。設(shè),圖1 光纖的傳光

13、原理光線通過光纖波導(dǎo)端面中心點(diǎn)A入射，進(jìn)入波導(dǎo)后按子午光線傳播，根據(jù)折射率定律，則: (1)當(dāng)入射角 大于界面臨界角，即: (2),,,,光線在波導(dǎo)內(nèi)部作全反射。為了得到波導(dǎo)，外面激發(fā)的角度θ0必須滿足關(guān)系式:

14、 (3)6.數(shù)值孔徑(N.A.):在一般情況下，n0＝1(空氣)，則子午光線對(duì)應(yīng)的最大入射角為: (4)它決定了子午光線

15、孔徑角的最大值θmax，即代表光纖的集光本領(lǐng)。,,,7.相對(duì)折射率差:因?yàn)槔w芯和包層的折射率通常相差很小， ，所以可取 。由(4)式可得: (5) 作為激光傳輸用的光纖波導(dǎo)，相對(duì)折射率差△值通常在1％~5％之內(nèi)。,,,,1.2 幾何程長(zhǎng)和全反射次數(shù) 1

16、.幾何程單位長(zhǎng)度光纖內(nèi)光路長(zhǎng)度,用lm來表示， 2.總路程長(zhǎng)度(光線在該光纖中所傳播):lm再乘上光纖的總長(zhǎng)度，。一般來說，光線在光纖中經(jīng)過的光路長(zhǎng)度大于光纖的長(zhǎng)度。 圖.2 光纖長(zhǎng)度與路程的關(guān)系,如圖.2所示，與路程AB相對(duì)應(yīng)的纖維長(zhǎng)度是AE，所以有: (6)當(dāng)n0

17、＝1時(shí)，上式化為: (7)由(7)式看出，當(dāng)n1一定時(shí)，lm只決定于光線的外部激發(fā)角θ0而與光纖本身的粗細(xì)無關(guān)。,,,3.全反射次數(shù)ηm :光纖每單位長(zhǎng)度上的反射次數(shù)， 4.總反射次數(shù) :ηm乘以光纖的長(zhǎng)度即可得出。

18、 (8)式中d是纖芯的直徑，推導(dǎo)中假定n0=1。 由(8)式可以看出 ηm∝1/d，d 小時(shí) ηm多,,,,,1.3 光纖彎曲對(duì)子午光線傳播的影響 光纖的特點(diǎn)之一是可以彎曲，但是這并不代表光纖就可以隨意彎曲。,,,,聚合物光纖連接線,,如圖3所示，子午光線由光纖直部和彎部的界面上X點(diǎn)進(jìn)入彎部，彎部的O點(diǎn)在光纖軸線上，OC=R為彎部的曲率半徑，d為纖維的直

19、徑， 、 、 各為子午光線在直部、彎部外表面和彎部?jī)?nèi)表面的入射角可以考察彎曲部分中子午光線的傳播情況,彎曲部分的 、 角不等于 角，可以證明 ，而 所以 有可能變得小于臨界角，這時(shí)光線就要逸出外表面。證明如下: 設(shè)X點(diǎn)離O點(diǎn)的坐標(biāo)為x， ，在 △ AXC中應(yīng)用正弦定理:

20、 (9)在上式中，因?yàn)?，所以即 。,,,,,,,,,,,,,,,△,在 △ABC內(nèi)應(yīng)用正弦定理有:

21、 (10)同樣，因?yàn)?，所以 即 。因此，當(dāng)R小到一定程度時(shí)，原來在直部能產(chǎn)生全反射的子午光線，到了彎部，,,,,,,,,,,,便要從芯線彎曲部分外側(cè)面逸出。 R的減少還可能產(chǎn)生另外一種情形:子午光線只在外表面反射，而不在內(nèi)表面反射。如圖4所示。這時(shí)意味

22、著 已經(jīng)增大到1，在 圖4 子午線在外表面反射,,式(10)中，以代入，可解出: (11)當(dāng)R的值比式(11)中的值還要小時(shí)，便會(huì)發(fā)生子午光線只在外表面反射而不到內(nèi)表面反射的情形。 光纖彎曲后對(duì)θmax的影響。 在式(9)中，當(dāng)x=

23、－d/2時(shí)， 與 相差最大，即:,,,,(12)當(dāng) 等于臨界角， ( 恒大于)，這時(shí)可以計(jì)算相應(yīng)的θmax如下:,,,,,,,,,,,(13)一般情形中，R 》d，上式可化為: (14)可見光纖彎曲會(huì)使θmax值減小，即數(shù)值孔徑N.A.減小，從而使光纖的集光本領(lǐng)減

24、弱。R越小，減弱越多。一般情況R 》d，因而在R不太小，彎曲次數(shù)不太多時(shí)，可忽略彎曲的影響,,,,,,。但是彎曲總要損失光能，對(duì)于長(zhǎng)距離使用的通訊傳輸光纖，應(yīng)盡量避免不必要的彎曲，實(shí)際光纖在制造時(shí)，形成的微彎也會(huì)導(dǎo)致光能損失。 光纖彎曲時(shí)，由于全反射條件不滿足，其透光量會(huì)下降，這時(shí)既要計(jì)算子午光線的全反射條件，又要推導(dǎo)偏射光線全反射條件，才能求出光纖彎曲時(shí)透光量和彎曲半徑之間的關(guān)系。,實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)R/d&l

25、t;50時(shí)透光量已經(jīng)開始下降；當(dāng)R/d≈20時(shí)透光量開始明顯下降。,1.4 光纖端面傾斜效應(yīng) 光纖的端面傾斜對(duì)傳播子午光線的影響:1)某些光纖束需要把整個(gè)光纖束的端面做成某 種曲面狀。2)實(shí)際制造的光纖的端面與光纖軸線有一定的 不垂直度。3）光纖切割的不垂直度。,,光纖融接機(jī)和光纖切割機(jī),圖5 端面傾斜的光纖如圖5所示，光纖的輸入端面的法線NN’與軸線OO’有一個(gè)不為零的夾角 ，并且N

26、N’在圖面的子午面內(nèi)。如果選取其他的截面，則由于NN’不在所選的截面之內(nèi)，入射光便成了斜光線；,,光纖端面傾斜時(shí)，最大孔徑角θmax與數(shù)值孔徑N.A.的關(guān)系。從圖5中可以看出: (15)由折射定律: (16),,,當(dāng) 角等于臨

27、界角時(shí)，有: (17) (18)代入式(16)后可得: (19),,,,,,,,,,將式(19)和式(4)比較，就看出端面傾斜

28、角 時(shí)對(duì)的影響，當(dāng) 時(shí)式(19)便回到式(4)。 現(xiàn)在討論由法線另一側(cè)入射的子午光線，如圖6所示，這時(shí)有: (20)即: (21)由折射定律得:,,,,,,,圖6 從傾斜面另一側(cè)入射

29、 (22) 于是可以求出: (23),,,,,把式(19)和式(23)合寫成:

30、 (24)當(dāng)n0＝1時(shí)，式(24)變成: (25)式(25)說明了θmax和N.A.的關(guān)系。在圖6中，當(dāng)θmax= /2時(shí)，如果全反射正好能產(chǎn)生，則相當(dāng)于光纖集光本領(lǐng)最大的情形，根據(jù)式(25)得到:

31、 (26),,,,,,,,這是端面傾斜的光纖能夠收集朗伯光源所發(fā)出的全部光流時(shí)，N.A.的最大值，由式(26)可見數(shù)值孔徑N.A.在數(shù)值上是大于1的。光纖出射端面的傾斜引起出射光線角度的變化。從圖7中可以看出，原來平行于光纖中心軸的光線不再是以與端面垂直的方向出射，而是偏折了一個(gè)角度θ。 圖7 出射端面傾斜時(shí)光線的偏折,對(duì)于正常的非傾斜出射端面，其出射光線對(duì)于光纖中心軸是對(duì)稱的。出射

32、端面的傾斜使這種對(duì)稱性破壞了如果傾斜角度為 ，則偏折角θ可寫為: (27) 由于光纖出射端面的傾斜使光線的出射光錐偏折的現(xiàn)象，我們用圖8來形象說明。實(shí)際上我們也能觀察到這個(gè)結(jié)果。有時(shí)往往在光纖中心軸附近的一側(cè)觀察不到出射光，而把視線偏一個(gè)角度后就能看到出射的光。,,,圖8 出射端面傾斜不同角度，

33、 出射光線的偏折,1.5 圓錐形光纖 圓錐形光纖:如果直圓柱形光纖兩端的直徑不相等，并且其直徑隨長(zhǎng)度線性變化。 嚴(yán)格的說，每根光纖兩端的直徑都不可能完全相等，只是差別大小而已，但是這種直徑的差別對(duì)光的傳播是有影響的，尤其對(duì)于有些特殊應(yīng)用這種影響不能不考慮，因而對(duì)直圓柱形光纖的直徑變化有時(shí)就規(guī)定了一個(gè)范圍，不能超越，否則就不能應(yīng)用。

34、 另一方面，一定錐度的錐形光纖有聚光的能力，光線從小端入射，在大端出射光強(qiáng)度會(huì)提高。,圖9表示的是子午光線通過錐形光纖的光路。設(shè)ω為錐形光纖的錐角。由圖可知，在錐形光纖中，光線在纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射次數(shù)增加而逐漸減小。當(dāng)光線以θ角入射 圖9 錐形光纖,1,,θ,于錐形光纖的大端時(shí)，折射角為θ1，在錐角ω=0時(shí)

35、，纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射如下的數(shù)學(xué)式來表示角 =90°－θ 1 。由于錐角ω>0，所以光線在內(nèi)壁上發(fā)生第一次反射后，反射角就減小ω，從第二次反射開始，以后每次反射后，反射角就減小ω 。,,,,,(28)又 (29)將式(29)代入式(28)可得:,,,,,(30) 這個(gè)公式說明，當(dāng)光

36、線從錐形光纖的大端入射時(shí)，全反射條件很容易被破壞。因?yàn)樵诠饫w中發(fā)生全反射的條件是 ，而錐形光纖的反射角 是一直在減小，所以總會(huì)在某一次反射后，全反射條件不滿足了。光線也就會(huì)從光纖的側(cè)壁逸出去。即使在錐角ω很小的情況下，只要反射次數(shù)足夠多，就會(huì)在某一次反,,,,,,,射后出現(xiàn) ，而使全反射條件受到破壞。同時(shí)，由于內(nèi)壁上的反射角逐步減小，光線從錐形光纖大端入射時(shí)，小端的出射光出現(xiàn)發(fā)散，

37、這是由于此時(shí)出射光錐角比入射的大。反之，當(dāng)光線從錐形光纖小端入射時(shí)，從纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射角經(jīng)每次反射后就會(huì)增加，所以大多數(shù)的光線都會(huì)滿足全反射條件，這是和上面情況相反的。同樣此時(shí)的出射光錐角比入射的小，因而出射光又會(huì)聚作用。圖10就表示了這兩種情況。,,圖5.10 錐形光纖大端與小端進(jìn)光的比較 要使光線都能從光纖另一端出射，則應(yīng)滿足: 對(duì)于大端入射的情況:a1和a2分別時(shí)光纖出,,a

38、1,a2,l,射端(小端)和入射端(大端)的半徑，若 ，則由上式可得:這是一般情況下錐形光纖聚光條件，再利用:,,,,l是光纖長(zhǎng)度，可得:上式為使錐形光纖聚光，光纖有最小長(zhǎng)度l0 另外，錐形光纖兩端孔徑角不一樣，大端孔徑角小，小端孔徑角大，兩者滿足關(guān)系式:,,,,,式中: 由此可見，錐形光纖可以改變孔徑角，因而可用于耦合。,,1.6 光纖的集光本領(lǐng)

39、 數(shù)值孔徑是表征光纖集光能力大小的一個(gè)參數(shù)。數(shù)值孔徑越大即孔徑角越大，光纖的集光能力就越強(qiáng)，也就是說能進(jìn)入光纖的光通量就越多。 光纖和普通的光學(xué)透鏡相比，它的數(shù)值孔徑大是一個(gè)顯著的特點(diǎn)。,,設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為d，焦距為f，如圖5.11所示，透鏡數(shù)值孔徑可表示為:,圖5.11 透鏡的數(shù)值孔徑,上式說明了光學(xué)透鏡的數(shù)值孔徑由f/d決定(f/d為f數(shù)。d/f稱為相對(duì)孔徑)。,(31),n0=1時(shí)，f數(shù)與N.A.

40、的關(guān)系如下表所示: 可看出在n0=1時(shí)光學(xué)透鏡要使孔徑角達(dá)到90°是很難做到的。但是光纖的數(shù)值孔徑可以做得很大。只要選取合適的芯材料和包層材料，其數(shù)值可以達(dá)到1。,,,,從式(4)可知，由于 的數(shù)值可以大于1，從數(shù)學(xué)上來說，θmax的值只可能為90°，但從物理意義上來說，表明光纖的集光能力特別強(qiáng)，不但在n0=1時(shí)θmax可以達(dá)到90°，而且在n0>1時(shí)，θmax

41、仍有可能達(dá)到90°，這在實(shí)際的應(yīng)用中是很有意義的。,,,,朗伯光源:發(fā)光強(qiáng)度dI∝cosθ,亮度與方向無關(guān)?，F(xiàn)在我們 來計(jì)算 光纖對(duì)朗伯光源發(fā)出的光的聚集能力。,圖5.12 朗伯光源的發(fā)光,如圖12所示，朗伯光源處于半徑為r的半球面的球心O處，則通過立體角 到 (圖中環(huán)形陰影區(qū)域)的光通量dF為:,(32),陰影區(qū)域的面積,且,于是可得:,(33),由于光纖的可接受角范圍是0~θ

42、max ，對(duì)于式(33)積分后有:,由于從面光源O點(diǎn)發(fā)出的總光能流為 ，所以光纖的集光效率為 。 由上面的討論可以看出，光纖的數(shù)值孔徑和集光本領(lǐng)有密切關(guān)系，當(dāng)N.A. ≤1時(shí)，子午光線的集光本領(lǐng)與數(shù)值孔徑N.A.的平方成正比；當(dāng)N.A. ≥1時(shí)，集光本領(lǐng)達(dá)到最大值1。由于光纖的N.A. 可以比光學(xué)鏡頭的大得多，所以與一般光學(xué)鏡頭比較，光纖的集光本領(lǐng)高。,,,,,,(34),,

43、7;2 偏射光線的傳播 偏射光線:是一些和光纖中心軸即不平行，也不相交的光線，它們和光纖中心軸是異面直線。 偏射光線在光纖中進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，在端面上的投影可以是左旋折線，也可以是右旋折線，并且這些螺旋折線和光纖的中心軸是等距的。,右旋 左旋 圖5.13 斜光線

44、在光纖端面上的投影,2.1 全反射條件 如圖14所示，QK為入射在光纖內(nèi)的斜光線，QK和光纖中心oo’是既不平行，又不相交的異面直線。H為K在橫截面(或端面)上的投影?！螿KH= 是斜光線和光纖軸之間的夾角，內(nèi)壁上的入射角∠KQT＝ ，軸傾角∠HQT= 是斜光線在入射點(diǎn)橫截面上的投影QH

45、 圖5.14 斜光線的全 反射條件,,,,和法線QT之間的夾角。HT⊥oT，則QT垂直于KHT平面。這樣，△QTH， △QKT， △QKH均為直角三角形。在△QTH中，QT＝QHcos ，在△QKH中，QK＝QH/sin ，在△QKT中:

46、 (35)上式說明這三個(gè)角度之間的關(guān)系。顯然光線在光纖內(nèi)壁發(fā)生全反射時(shí) 是不變的，由于,,,,,,,,，而 ，這樣就可以得到斜光線的全反射條件為: (36)因此，在光纖中傳播的斜光線必須滿足如下條件:

47、 (37),,,,,,如果用光線在光纖端面上入射角θ來代替折射角 ，則上式可以改寫成: (38)如果入射光線是子午光線，則QH和QT相重合， =0，公式變成:

48、 (39),,,,,,,我們從公式(38)就可以得到斜光線的數(shù)值孔徑為: (40)由于cos ≤1，因而斜光線的數(shù)值孔徑要比子午光線的數(shù)值孔徑大。由于 的數(shù)值依賴于入射角θ的取向，所以在斜光線的情況下θmax總有可能為90°，但此時(shí)相應(yīng)的 的數(shù)值應(yīng)滿足下式:,,,,,,(41)從

49、式(40)可以得到軸傾角 ，令其為 即有: (42)這里的 為偏射光線在光纖內(nèi)壁全反射時(shí)的臨界角。在全反射的條件下， 的取值范圍為 。 討論偏射光線的傳播，可以使我們理解所,,,,,,,,謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用范圍內(nèi)的平行光線入射于光纖的內(nèi)壁，則 角的取

50、值就是 至90°的范圍，這樣，在光纖端面上就出現(xiàn)黑帶現(xiàn)象。 利用公式(42)還可以求出在全反射時(shí)偏射光線到光纖中心軸之間的距離。在圖14中，作OM⊥QH，又OM⊥KH，所以O(shè)M垂直于偏射光線QK所在的平面，而OM就是偏射光線至光纖中心軸的距離，D為光纖直徑。 在△OQM中:,,,,(43)如果 ，則OM即為我們所要求的斜光線到中心軸的最小距離，利用 和

51、 的關(guān)系，上式可改寫為:,,,,,,化簡(jiǎn)后得: (44)上式說明在發(fā)生全反射時(shí)，偏射光線至光纖中心軸有一個(gè)最小距離OM。這個(gè)距離和光纖的直徑，纖芯和包層的折射率及所在介質(zhì)的折射率有關(guān)。如果入射光線在光纖上位移時(shí)， 也發(fā)生變化，在光纖界面內(nèi)壁上的全反射條件卻仍是不變的。,,,2.2 光路長(zhǎng)度和全反射次數(shù)

52、 現(xiàn)在我們來求偏射光線通過光纖時(shí)的幾何程長(zhǎng)和全反射次數(shù)。由圖14可知，單位長(zhǎng)度中的幾何程長(zhǎng)為: (45)比較(45)和(6)兩式，可以看出兩者是相同的，即l斜=lm。在θ角相等的情況下，斜光線和子午光線在光纖中的光路長(zhǎng)度相同。,,同樣，單位長(zhǎng)度內(nèi)的全反射次數(shù)可寫為:

53、 (46)由于 (47)代入式(46)可得: (48),,,,,比較(48)和(8)兩式，可得:

54、 (49)上式說明偏射光線的全反射次數(shù)總是比子午光線多，它是和軸傾角 密切相關(guān)的。在 =0時(shí)，即在子午光線情況時(shí)，公式(49)和公式(8)是一致的。,,,,,§3 光纖波導(dǎo)中的模式理論 用幾何光學(xué)分析--簡(jiǎn)單直觀的優(yōu)點(diǎn)， --波動(dòng)理論的初步近似。 光纖的直徑減小到和入射光波長(zhǎng)同數(shù)量級(jí)時(shí)，光的干涉和衍射等波動(dòng)性質(zhì)十分明顯

55、， 模: 具有確定空間和時(shí)間分布的電磁場(chǎng)分量(模)才能在光纖中傳播。這個(gè)模和光纖參數(shù)、入射光頻率和包層的性質(zhì)有關(guān)，并且是滿足光纖的一定邊界條件的麥克斯韋方程組的一個(gè)解。,在光纖波導(dǎo)中導(dǎo)模: 位相常數(shù)構(gòu)成有限數(shù)目的分立譜輻射模: 位相常數(shù)構(gòu)成無限數(shù)目的連續(xù)譜。 在包層無限厚的普通光纖波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，光纖波導(dǎo)僅由折射率為n1的芯和折射率為n2的包層(無限延拓)組成。只要光纖波導(dǎo)的包層厚度遠(yuǎn)大于電磁波

56、的穿透深度，這樣的光纖就可以當(dāng)做包層無限厚的光纖來處理。,正規(guī)波導(dǎo):光纖波導(dǎo)的折射率分布沿縱向(z向)不變，即。 橫向分層均勻 橫向分層非均勻 光場(chǎng)可表示為分離形式:若不涉及光纖中的非線性， 為常數(shù)， 可,,,,,略去，得:其中， 為橫截面二維分布項(xiàng)，為

57、縱向波動(dòng)項(xiàng)。β為相移常數(shù)、縱向傳播常數(shù)。 、 都是復(fù)矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了 、 沿光纖橫截面的,,,,,,,,的分布，稱為模式場(chǎng)。 上式代入 方程，特征解形式:為一個(gè)模式。 光纖中的光場(chǎng)分布則是這些模式的線性組合:,,,,式中的ai，bi是分解系數(shù)，表示該模式的相對(duì)大小。一系列模式可以看成是一個(gè)光波導(dǎo)的場(chǎng)分布的空間譜。,3.1 標(biāo)量

58、波動(dòng)方程 光是一種電磁波，因此，光在介質(zhì)中傳播應(yīng)滿足介質(zhì)中的麥克斯韋方程組，采用麥克斯韋方程組形式為: (50a) (50b) (5

59、0c) (50d),,,,,,這里 表示電流密度矢量， 是標(biāo)量電荷密度在無源場(chǎng)的情況下， =0， =0。對(duì)于均勻的、各向同性物質(zhì)， ，。 是介質(zhì)的相對(duì)磁化率，在非磁性材料中 =1， 是相對(duì)介電常數(shù)。因此，當(dāng)光在內(nèi)部沒有場(chǎng)源、均勻的各向同性介質(zhì)中傳播時(shí)，麥克斯韋方程組可簡(jiǎn)化為:

60、 (51a),,,,,,,,,,,,(51b) (51c) (51d)為了應(yīng)用上的方便，我們將麥克斯韋方程組改寫成另外一種形式，對(duì)方程(51a)取旋度后

61、，我們得到: (52),,,,,,代入矢量等式: (53)就可以將方程(5.52)改寫成: (54)解此波動(dòng)方程式，得一復(fù)數(shù)形

62、式的特解: (55)式中， 表示光波的頻率， 稱為波矢，它的方向代表了(55)式所表示的平面波的傳播,,,,,,方向，大小表示位相傳播的速度， ， ，n是介質(zhì)的折射率，c是真空中的光速，對(duì)光波的磁場(chǎng) ，同樣方法得:

63、 (56)由方程式(55)和(56)表示的平面波滿足: ， (57)于是，波動(dòng)方程(54)可簡(jiǎn)化為:,,,,,,,,(58)對(duì)于磁場(chǎng)有同樣的結(jié)果: (59)方程(58)和(59)稱為亥姆霍茲方程，

64、是討論光在介質(zhì)中傳播問題的基本方程，在直角坐標(biāo)系(x，y，z)中， 和 的x，y，z分量均滿足亥姆霍茲方程的標(biāo)量形式: (60) 代表 或 的各個(gè)分量。光在有限大小的介質(zhì)中傳播，或在一個(gè)由折射率不同的幾,,,,,,,,,種介質(zhì)所組成的物質(zhì)中傳播時(shí)，必須考慮不同介質(zhì)組成的界面處電磁場(chǎng)應(yīng)滿足的邊

65、界條件: (61a) (61b) (61c) (61d)

66、 上式中的 表示界面的法線方向。亥姆霍茲方程和邊界條件以及麥克斯韋方程組是研究光纖波導(dǎo)的基本出發(fā)點(diǎn)。,,,,,,,5.3.2 光纖波導(dǎo)中的模式模: 具有確定空間和時(shí)間分布的電磁場(chǎng)分量是光波導(dǎo)中的一個(gè)基本概念，它具有以下特性:(1)穩(wěn)定性:一個(gè)模式沿縱向傳輸時(shí)，其場(chǎng)分 布形式不變，即沿z方向有穩(wěn)定的

67、 分布。(2)有序性:模式是波導(dǎo)方程的一系列特征解， 是離散的，可以排序的。排序方法 有兩種。一種是以傳播常數(shù)β的大 小排序(β越大序號(hào)越小)，另一,種是以(x，y)兩個(gè)自變量排序， 所以有兩列序號(hào)。(3)迭加性:光波導(dǎo)中總的場(chǎng)分布是這些模式的 線性迭加。(4)正交性

68、:一個(gè)正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿 足正交關(guān)系。 對(duì)于圓柱形的光纖，取柱坐標(biāo)比較合適。,圖5.15 光波導(dǎo)的坐標(biāo)系如圖15所示，光纖的軸向?yàn)閦，纖芯半徑為a，折射率為n1，包層折射率為n2，且n1 ＞ n2 。在整個(gè)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，折射率分布均勻,沒有自由電荷及傳導(dǎo)電流，屬各向同性介質(zhì)。,(62)式中下標(biāo)(1)和(2)分別代表纖芯和包層區(qū)域。根據(jù)規(guī)則波導(dǎo)理論，只要求出縱向分量Ez、H