第七章回歸分析的其它問題

1、第七章：回歸分析的其它問題,第一節(jié) 虛擬變量第二節(jié) 設(shè)定誤差第三節(jié) 滯后變量模型介紹第四節(jié) 隨機(jī)解釋變量第五節(jié) 時(shí)間序列模型初步,第一節(jié) 虛擬變量,一、虛擬變量及其作用1.定義：取值為0和1的人工變量，表示非量化（定性）因素對(duì)模型的影響，一般用符號(hào)D表示。例如：政策因素、地區(qū)因素、心理因素、季節(jié)因素等。2.作用：⑴描述和測(cè)量定性因素的影響；⑵正確反映經(jīng)濟(jì)變量之間的相互關(guān)系，提高模型的精度；⑶便于處理異常數(shù)據(jù)

2、。,二、虛擬變量的設(shè)置原則,引入虛擬變量一般取0和1。對(duì)定性因素一般取級(jí)別數(shù)減1個(gè)虛擬變量。例子1：性別因素，二個(gè)級(jí)別（男、女）取一個(gè)虛擬變量，D=1表示男（女），D=0表示女（男）。例子2：季度因素，四個(gè)季度取3個(gè)變量。小心“虛擬變量陷阱”！,三、虛擬變量的應(yīng)用,1、在常數(shù)項(xiàng)引入虛擬變量，改變截距。對(duì)上式作OLS，得到參數(shù)估計(jì)值和回歸模型：(7.1.2)相當(dāng)于兩個(gè)回歸模型：,,2、在斜率處引入虛擬變量，改變斜率。

3、作OLS后得到參數(shù)估計(jì)值，回歸模型為：同樣可以寫成二個(gè)模型：可考慮同時(shí)在截距和斜率引入虛擬變量：,,3、虛擬變量用于季節(jié)性因素分析。取原模型若為則引入虛擬變量后的模型為：回歸模型可視為：,,例題：美國(guó)制造業(yè)的利潤(rùn)—銷售額行為,模型：利用1965—1970年六年的季度數(shù)據(jù)，得結(jié)果：括號(hào)內(nèi)為t統(tǒng)計(jì)值。顯然，三季度和四季度與一季度差異并不明顯，重新回歸，僅考慮二季度，有結(jié)果：,4、引用虛擬變量處理“時(shí)間拐點(diǎn)”問

4、題。常見的情況：a. 若T0為兩個(gè)時(shí)間段之間的某個(gè)拐點(diǎn)，虛擬變量為：b. 用虛擬變量表示某個(gè)特殊時(shí)期的影響；模型中虛擬變量可放在截距項(xiàng)或斜率處。,5、分階段計(jì)酬問題。若工作報(bào)酬與業(yè)務(wù)量掛鉤，且不同業(yè)務(wù)量提成比例不一樣（遞增），設(shè)S1、S2為二個(gè)指標(biāo)臨界點(diǎn) 工資模型為：,作OLS得到參數(shù)估計(jì)值后，三個(gè)階段的報(bào)酬回歸模型

5、為：,,例子：傭金與銷售額的關(guān)系：,模型：樣本回歸函數(shù)：,,第二節(jié) 設(shè)定誤差,一、設(shè)定誤差的定義：計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型在建立模型時(shí)發(fā)生變量選擇或其它錯(cuò)誤，導(dǎo)致OLS結(jié)果可能有問題。二、設(shè)定誤差的類型及后果一般的設(shè)定誤差包括：1、多設(shè)無(wú)必要的解釋變量；2、漏設(shè)重要的解釋變量；3、引入錯(cuò)誤的解釋變量；4、錯(cuò)誤的函數(shù)形式； 5、樣本數(shù)據(jù)發(fā)生偏差。具體形式及后果見下頁(yè)。,假設(shè)一正確模型為：1、多設(shè)變量后，模型為：

6、 為無(wú)關(guān)變量。后果：OLS估計(jì)值仍是無(wú)偏估計(jì)，多設(shè)變量前的參數(shù)估計(jì)值均值為0。 2、漏設(shè)變量后，假設(shè)少x1，模型為：后果：OLS估計(jì)值不是無(wú)偏估計(jì)，失效。3、設(shè)錯(cuò)變量：后果：參數(shù)的OLS估計(jì)值不是無(wú)偏的。（同2）,4、錯(cuò)誤的函數(shù)形式如：5、樣本數(shù)據(jù)發(fā)生偏差時(shí)，可能有：

7、 其中，上述4、5二種類型因錯(cuò)誤明顯，無(wú)法用OLS求參數(shù)估計(jì)值。 一般 討論1、2兩種設(shè)定誤差即可。,第三節(jié) 滯后變量模型介紹,一、滯后變量及模型經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，有些因素的影響不僅體現(xiàn)在當(dāng)期，而且波及以后的時(shí)期。這種有滯后影響作用的因素構(gòu)成的變量即為滯后變量，而含有滯后變量的模型稱為滯后變量模型，分為有限滯后模型和無(wú)限滯后模型兩類。二、產(chǎn)生滯后變量的可能原因：一類原因?yàn)樾睦硪蛩?，人的行為或?jīng)

8、濟(jì)活動(dòng)所具有的慣性；另一類因素為客觀因素，包括技術(shù)因素和制度因素兩種。,三、滯后變量模型面臨的問題,滯后變量模型若直接使用OLS，可能會(huì)出現(xiàn)一些問題：1、多重共線性問題；2、自由度損失問題；3、滯后變量模型中，最大滯后程度或者說(shuō)最大滯后期限較難確定。由于上述原因，滯后變量模型一般會(huì)采用其它的估計(jì)方法。,四、滯后變量模型的類型,1、分布滯后模型。滯后變量?jī)H為解釋變量，形式為：2、自回歸模型。滯后變量為被解釋變量的滯后值，且被解釋

9、變量的滯后值作為解釋變量用。形式為：滯后變量模型常用的估計(jì)方法有Alt-Tinbergen方法、Almon估計(jì)法、Koyck方法等。,第四節(jié) 隨機(jī)解釋變量,一、隨機(jī)解釋變量：即解釋變量為隨機(jī)變量，違背了基本假設(shè)。實(shí)際的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，隨機(jī)解釋變量較為常見。單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型假設(shè)之一是： 即解釋變量與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)。 這一假設(shè)實(shí)際是要求： 或者X是確定性變量，不是隨

10、機(jī)變量； 或者X雖是隨機(jī)變量，但與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)。 違背這一假設(shè)設(shè)的問題被稱為隨機(jī)解釋變量問題。,二、隨機(jī)解釋變量的成因：,1、滯后被解釋變量；2、觀測(cè)誤差的存在，使得解釋變量的樣本值出現(xiàn)不確定性；3、有些經(jīng)濟(jì)變量不能用確定性的方法控制樣本值，所以觀測(cè)值具有隨機(jī)性。,三、隨機(jī)解釋變量 的三種后果,1、解釋變量是隨機(jī)的，但與隨機(jī)誤差變量不相關(guān)，即有：因?yàn)镺LS估計(jì)值為： 且

11、有,2、解釋變量為隨機(jī)變量，小樣本情況下與隨機(jī)誤差變量相關(guān)，但漸近不相關(guān)，即：此時(shí) 為B的漸近無(wú)偏估計(jì)。3、解釋變量是隨機(jī)變量，且與隨機(jī)誤差變量在任何情況下都高度相關(guān)，即有：則OLS估計(jì)值 為B的有偏估計(jì)。,強(qiáng)調(diào)：滯后被解釋變量作解釋變量，并且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān),如果模型中的隨機(jī)解釋變量是滯后被解釋變量，并且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，除了OLS法參數(shù)估計(jì)量是有偏外，還帶來(lái)兩個(gè)后果： ①模型必然具有隨機(jī)誤差項(xiàng)的自

12、相關(guān)性。因?yàn)樵摐蟊唤忉屪兞颗c滯后隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)，又與當(dāng)期隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)。 ②D.W.檢驗(yàn)失效。因?yàn)椴还蹹.W.統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值是多少，隨機(jī)誤差項(xiàng)的自相關(guān)性總是存在的。,隨機(jī)解釋變量模型舉例：,A、耐用品存量調(diào)整模型： 耐用品的存量Qt由前一個(gè)時(shí)期的存量Qt-1和當(dāng)期收入It共同決定：這是一個(gè)滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量Q t-1只與ut-1相關(guān)，

13、與ut不相關(guān)，屬于上述的第1種情況。,B、合理預(yù)期的消費(fèi)函數(shù)模型,合理預(yù)期理論認(rèn)為消費(fèi)是由對(duì)收入的預(yù)期所決定的，或者說(shuō)消費(fèi)是有計(jì)劃的，而這個(gè)計(jì)劃是根據(jù)對(duì)收入的預(yù)期制定的。于是有：,,,其中,表示,t,期收入預(yù)期值。,,而預(yù)期收入與實(shí)際收入之間存在差距，表現(xiàn)為：,,該式是由合理預(yù)期理論給出的。,在該模型中，作為解釋變量的 不僅是一個(gè)隨機(jī)解釋變量，而且與模型的隨機(jī)誤差項(xiàng) 高度相關(guān)（因?yàn)镃t-1與ut-1高度相關(guān)）。

14、屬于上述第3種情況。存量調(diào)整模型和合理預(yù)期模型都是較有代表性的滯后變量模型。,,容易推得：,第五節(jié) 時(shí)間序列模型初步,時(shí)間序列模型：所謂時(shí)間序列，就是各種社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然現(xiàn)象的數(shù)量指標(biāo)按照時(shí)間序列排列起來(lái)的經(jīng)計(jì)數(shù)據(jù)。所謂時(shí)間序列分析模型，就是揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律和相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式（李子奈）。時(shí)間序列模型分確定性模型和隨機(jī)模型兩大類。我們主要介紹隨機(jī)模型和序列穩(wěn)定性檢驗(yàn)。,1、時(shí)間序列模型的基本概念,隨機(jī)時(shí)間序列模型（ti

15、me series modeling）是指僅用它的過去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型，其一般形式為建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問題： (1)模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ ?t =?t），模型將是一個(gè)1階自回歸過程AR(1)： Xt=?Xt-1+ ?t這里， ?t特指一白噪聲(零均值、等

16、方差、不相關(guān)），,一般的p階自回歸過程AR(p)是,(1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(?t=?t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為 (2)如果?t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均（moving average）過程MA(q)：該式給出了一個(gè)純MA(q)過程（pure MA(p) process）。,將純AR(p)與純MA(q)結(jié)合，得

17、到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均（autoreg ressive moving average）過程ARMA（p,q）：,Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 + … + ?pXt-p + ?t - ?1?t-1 - ?2?t-2 - ? - ?q?t-q,該式表明：（1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化

18、，那么我們就可以通過該序列過去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。,滯后算子（lag operator ）L：,考慮p階自回歸模型AR(p) (*)引入滯后算子（lag operator ）L，具有：

19、 (*)式變換為：記 (*)式又變換為：,對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)： 其中?t是一個(gè)白噪聲，引入L有：,記則有：,自回歸移動(dòng)平均過程ARMA（p,q）的滯后算子式為：,經(jīng)典回歸模型的問題

20、： 迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（structural model）。 然而，如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。

21、 有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來(lái)值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來(lái)值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。,2、時(shí)間序列分析模型的適用性,例如，時(shí)間序列過去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向？

22、 ●隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。,在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷。,二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性,假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過

23、程（stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1）均值E(Xt)=?是與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2）方差Var(Xt)=?2是與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=?k 是只與時(shí)期間隔k有關(guān)，與時(shí)間t 無(wú)關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機(jī)

24、過程是一平穩(wěn)隨機(jī)過程（stationary stochastic process）。,1、平穩(wěn)的定義,例1．一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=?t ， ?t~N(0,?2),例2．另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走（random walk），該序列由如下隨機(jī)過程生成： Xt=Xt-1+?t這里， ?t是一個(gè)白噪聲。,該序列常被稱

25、為是一個(gè)白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。,為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 … … Xt=X0+?1+?2+…+?t 由于X0為常數(shù)，?t是一個(gè)白噪聲，因此Var(Xt)=t?2 即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。,容易

26、知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1),然而，對(duì)X取一階差分（first difference）: ?Xt=Xt-Xt-1=?t由于?t是一個(gè)白噪聲，則序列 是平穩(wěn)的。,后面將會(huì)看到:如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常常可通過取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實(shí)上，隨機(jī)游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例 Xt=?Xt-1+?t 不難驗(yàn)證:1)|?|>

27、1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(?>1)或持續(xù)下降(?<-1)，因此是非平穩(wěn)的；,2、隨機(jī)序列平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)（unit root test）,單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中普遍應(yīng)用的一種檢驗(yàn)方法。1)、DF檢驗(yàn)我們已知道，隨機(jī)游走序列 Xt=Xt-1+?t是非平穩(wěn)的，其中?t是白噪聲。而該序列可看成是隨機(jī)模型 Xt=?X

28、t-1+?t中參數(shù)?=1時(shí)的情形。,也就是說(shuō)，我們對(duì)式 （*） 做回歸，如果確實(shí)發(fā)現(xiàn) ，就說(shuō)隨機(jī)變量Xt有一個(gè)單位根。,（*）式可變形式為差分： (**),檢驗(yàn)（*）式是否存在單位根?=1，也可通過（**）式判斷是否有? =0。,一

29、般地:,檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型 （*）中的參數(shù)?是否小于1。,或者：檢驗(yàn)其等價(jià)變形式 （**）中的參數(shù)?是否小于0 。,可以證明，（*）式中的參數(shù)?>1或?=1時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的; 對(duì)應(yīng)于（**）式，則是?>0或?

30、 =0，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的;。,在式 中。零假設(shè) ；備擇假設(shè),上述檢驗(yàn)可通過OLS法下的t檢驗(yàn)完成。 然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計(jì)量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗(yàn)無(wú)法使用。,,Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（這時(shí)的t統(tǒng)計(jì)量稱為?統(tǒng)計(jì)量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計(jì)量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值

31、的偏態(tài)分布。,因此，可通過OLS法估計(jì) 并計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較： 如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：? =0，認(rèn)為時(shí)間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。,DF檢驗(yàn)假定了時(shí)間序列是由具

32、有白噪聲隨機(jī)誤差項(xiàng)的一階自回歸過程AR(1)生成的。 但在實(shí)際檢驗(yàn)中，時(shí)間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機(jī)誤差項(xiàng)并非是白噪聲，這樣用OLS法進(jìn)行估計(jì)均會(huì)表現(xiàn)出隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。 另外，如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗(yàn)中的自相關(guān)隨機(jī)誤差項(xiàng)問題。 為了保證DF檢驗(yàn)中隨機(jī)誤差項(xiàng)的白

33、噪聲特性，Dicky和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行了擴(kuò)充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗(yàn)。,2、ADF檢驗(yàn),ADF檢驗(yàn)是通過下面三個(gè)模型完成的：,模型3 中的t是時(shí)間變量，代表了時(shí)間序列隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)（如果有的話）。 檢驗(yàn)的假設(shè)都是：針對(duì)H1: ?<0,檢驗(yàn) H0：?=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。,注意：,可以說(shuō)，DF檢驗(yàn)是模型1中差分滯后期為0

34、時(shí)的特殊情形，實(shí)際運(yùn)用中只要沒有趨勢(shì)項(xiàng)變量t，兩者差異不大。,檢驗(yàn)原理與DF檢驗(yàn)相同，只是對(duì)模型1、2、3進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，有各自相應(yīng)的臨界值。 表9.1.4給出了三個(gè)模型所使用的ADF分布臨界值表。但在Eviews軟件中，臨界值在結(jié)果中同時(shí)給出，使用軟件后，下表意義不大。,同時(shí)估計(jì)出上述三個(gè)模型的適當(dāng)形式，然后通過ADF臨界值表檢驗(yàn)零假設(shè)H0：?=0。1）只要其中有一個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；2

35、）當(dāng)三個(gè)模型的檢驗(yàn)結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時(shí)，則認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當(dāng)?shù)男问骄褪窃诿總€(gè)模型中選取適當(dāng)?shù)臏蟛罘猪?xiàng)，以使模型的殘差項(xiàng)是一個(gè)白噪聲（主要保證不存在自相關(guān)）。,一個(gè)簡(jiǎn)單的檢驗(yàn)過程：,ADF檢驗(yàn)的Eviews實(shí)現(xiàn),在主菜單選擇Quick/Series Statistics/Unit Root Test，屏幕提示用戶輸入待檢驗(yàn)序列名，輸入后，會(huì)出現(xiàn)對(duì)話框：選擇滯后階（Lagged diffie