第二章各向異性材料彈性力學(xué)基本知識

1、2 各向異性材料彈性力學(xué)基礎(chǔ),2.1 各向異性彈性力學(xué)基本方程2.2 各向異性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系2.3 正交各向異性材料的工程彈性常數(shù)2.4 正交各向異性材料工程常數(shù)的限制條件,對于直角坐標(biāo)系oxyz，三個正交平面上的應(yīng)力張量為,2.1.1 彈性體中任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量,2.1 各向異性彈性力學(xué)基本方程,其中：txy = tyx， tzx = txz， tzy = tyz,6個應(yīng)力分量：sx， sy ， sz ，

2、 txy ， tyz ， tzx,對于直角坐標(biāo)系oxyz，應(yīng)變張量為:,2.1.2 彈性體中任意一點(diǎn)的應(yīng)變分量,其中：exy = eyx= gxy / 2， ezx = exz = gzx / 2 ， ezy = eyz = gyz / 2 。 exy ， ezx ， eyz 為張量切應(yīng)變， gxy ， gzx ， gyz 為工程切應(yīng)變。,6個應(yīng)變分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx,對于直角坐標(biāo)系oxyz

3、，位移分量:,2.1.3 彈性體中任意一點(diǎn)的位移分量,3個位移分量：u， v ， w,各向異性彈性力學(xué)有15個基本未知量：3個位移分量：u， v ， w6個應(yīng)力分量：sx， sy ， sz ， txy ， tyz ， tzx6個應(yīng)變分量：ex， ey ， ez ， gxy ， gyz ， gzx,2.1.4 各向異性彈性力學(xué)平衡微分方程,其中：fx， fy， fz 為體力分量，r 為密度，t 是時間。,2.1.5 各向異性

4、彈性力學(xué)幾何方程,根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程，應(yīng)變分量間滿足：,應(yīng)力邊界條件：,位移邊界條件：,小變形時，應(yīng)變分量與應(yīng)力分量間的關(guān)系：,其中：C11，C12，…，C66 稱為剛度系數(shù)。,2.1.6 各向異性彈性力學(xué)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,寫成矩陣表示式為:,C 矩陣稱為剛度矩陣。,15個基本方程，加上給定的邊界條件，可以確定15個基本未知量。,各向異性彈性力學(xué)基本方程與各向同性彈性力學(xué)基本方程相比，平衡微分方程、幾何方程相同，只是物理方程不同。,2

5、.2 各向異性彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）,2.2.1 各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系,用1，2，3 軸代替x，y，z 軸，把應(yīng)力應(yīng)變分量符號用簡寫符號表示，相應(yīng)替代關(guān)系為,應(yīng)力：,應(yīng)變：,gij 表示工程切應(yīng)變， eij （i ≠ j）表示張量切應(yīng)變。,,應(yīng)力應(yīng)變線彈性關(guān)系：,凡 j 重復(fù)，表示由 1,2, …,6 共6項(xiàng)相加。si 是應(yīng)力分量， ej 是應(yīng)變分量， Cij 是剛度系數(shù)。,,,對于完全彈性體，當(dāng)應(yīng)力 si 作

6、用于應(yīng)變增量 dei 時，單位體積外力功的增量為 dA，即應(yīng)變能密度增量 dW,應(yīng)變能與加載過程無關(guān),,沿整個加載變形過程積分，應(yīng)變能密度為,應(yīng)變能密度為應(yīng)變分量的二次函數(shù)。,剛度矩陣 C 為對稱矩陣，只有21個剛度系數(shù)是獨(dú)立的，即,,,,,Sij 為柔度系數(shù)，柔度矩陣 S = C -1，也為對稱矩陣，即Sij = Sji， 也只有21個柔度系數(shù)是獨(dú)立的。,各向異性材料的應(yīng)變能密度表達(dá)式為,,2.2.2 幾種常見對稱材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

7、,絕大多數(shù)工程材料具有對稱的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此材料具有彈性對稱性。 常見的對稱材料有單對稱材料、正交各向異性材料、橫觀各向同性材料和各向同性材料。,,1. 單對稱材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 材料內(nèi)每一點(diǎn)都存在一個彈性對稱面，則稱該材料為單對稱材料。關(guān)于彈性對稱面對稱的任意兩個方向上的彈性性質(zhì)是相同的。 例如取1-2坐標(biāo)平面與彈性對稱面平行，3 軸與彈性對稱平面垂直，過 o 點(diǎn)按坐標(biāo)方向切取一微單元體。由

8、彈性對稱面定義可知，將 3 軸轉(zhuǎn)到 3’軸，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系保持不變。,當(dāng) 3 軸換成 3’ 軸時，,123坐標(biāo)系下，材料的應(yīng)變能密度為,123’ 坐標(biāo)系下，材料的應(yīng)變能密度為,材料的應(yīng)變能密度為,應(yīng)變能密度W是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)，是標(biāo)量，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。為保證W 值不變，含g23和g13的一次項(xiàng)（即e4和e5 ）的剛度系數(shù)等于零。,獨(dú)立的剛度系數(shù)減為13個,同樣為保證W 值不變，含 t23 和 t13 的一次項(xiàng)的柔度系數(shù)等于零。,獨(dú)

9、立的柔度系數(shù)減為13個,,討論材料彈性對稱性的物理意義 取單對稱材料，僅在3-3’方向加正應(yīng)力，即s3≠0，其他應(yīng)力分量均為零。,,垂直于彈性對稱面的正應(yīng)力只引起正應(yīng)變和垂直于正應(yīng)力平面的切應(yīng)變。材料彈性對稱性的存在，可降低正應(yīng)力和切應(yīng)變或切應(yīng)力與正應(yīng)變的耦合程度，降低材料各向異性。,,2. 正交各向異性材料 材料中的每一點(diǎn)都存在三個相互垂直的彈性對稱面，稱作正交各向異性體。材料有三個正交的彈性主軸。1-

10、2 面、 1-3 面 和 2-3 面均為彈性對稱面。,按單對稱材料分析方法有,獨(dú)立剛度系數(shù)減少為9個,對于正交各向異性材料，正應(yīng)力只引起正應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變。正應(yīng)力與切應(yīng)變或切應(yīng)力與正應(yīng)變之間沒有耦合，這一點(diǎn)是和各向同性材料相同。,獨(dú)立柔度系數(shù)減少為9個,3. 橫觀各向同性材料 材料中的每一點(diǎn)都存在三個相互垂直的彈性對稱面，但其中的一個平面是各向同性的，稱為橫觀各向同性材料。取1-2 面為各向同性面，1，2，3 軸都是

11、彈性主方向。與3 軸有關(guān)的系數(shù) S33 、S13 、 S44 、C33 、C13 、S44 都獨(dú)立。,某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：,將坐標(biāo) 1-2 在面內(nèi)轉(zhuǎn) 45°，新坐標(biāo) 1’-2’下的應(yīng)力分量,,,5個獨(dú)立彈性常數(shù),4. 各向同性材料 材料具有無窮多個性能對稱平面，稱為各向同性材料。這種材料對于三個相互垂直的彈性對稱面的彈性性能完全相同。剛度系數(shù)、柔度系數(shù)分別滿足,獨(dú)立彈性常數(shù)2個,2.3 正交各向異性材料的工程彈性常

12、數(shù),除了表示材料彈性特性的剛度系數(shù) Cij 、柔度系數(shù) Sij 外，工程上常用工程彈性常數(shù)來表示材料的彈性特性。 大型通用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件輸入復(fù)合材料的彈性性能時，也要求按工程彈性常數(shù)形式給出。 工程彈性常數(shù)：拉壓彈性模量 Ei 、剪切彈性模量 Gi 和泊松比 nij 。 工程彈性常數(shù)可用三個單向拉伸和三個純剪切試驗(yàn)測定。,s1,,s1,1方向單向拉伸試驗(yàn)：s1≠0，其他應(yīng)力均為零。,,s3,

13、,s3,2方向單向拉伸試驗(yàn)：s2≠0，其他應(yīng)力均為零。,,3方向單向拉伸試驗(yàn)：s3≠0，其他應(yīng)力均為零。,,,s2,s2,1-2面、2-3面和1-3面純剪切試驗(yàn)：,用工程常數(shù)來表示的正交各向異性材料的柔度矩陣,Ei（i =1，2，3）表示沿材料主方向 i 的彈性模量 。,nji 表示由于沿材料主方向 j 作用應(yīng)力sj 時，材料主方向 i 應(yīng)變與主方向 j 應(yīng)變的負(fù)值，稱為泊松比 。Gij 表示在 i-j 平面的剪切模量。,,

14、（i，j＝1，2，3，但i≠j）,三個互等關(guān)系：,,,用工程常數(shù)來表示的正交各向異性材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,正交各向異性材料的剛度系數(shù)：,,,2.4 正交各向異性材料工程常數(shù)的限制條件,2.4.1 各向同性材料工程彈性常數(shù)的限制條件,各向同性材料工程彈性常數(shù) E、G、n 之間的相互關(guān)系,,各向同性體受到靜水壓力 –p 作用時的體積應(yīng)變?yōu)?體積模量,,各向同性材料泊松比取值范圍,2.4.2 正交各向異性材料工程彈性常數(shù)的限制條件,材料應(yīng)變能

15、密度,考慮材料承受單向拉應(yīng)力s1,正交各向異性材料的剛度矩陣 C 和柔度矩陣 S 主對角線元素大于零，剛度矩陣 C 和柔度矩陣 S 正定。,,柔度矩陣正定,,,,,,三個泊松比的乘積小于1/2,例2-1：通過實(shí)驗(yàn)得玻璃鋼單層板實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：,試由工程彈性常數(shù)的限制條件驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。,解：,,計(jì)算結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)合理。,例2-2：由碳纖維增強(qiáng)聚合物制得的正交各向異性材料的工程彈性常數(shù)為,試求其剛度矩陣和柔度矩陣。,解：,計(jì)算柔度系數(shù),計(jì)算其