高斯隨機(jī)過(guò)程-遼寧省資源共享課

1、遼寧省精品資源共享課電子教案,communication principles,通信原理電子教案,電子教案制作: 沈陽(yáng)理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院 李 環(huán) lihuan9999@yeah.net QQ:1716448649,主要參考教材：1.通信原理（第六版），作者：樊昌信 曹麗娜 國(guó)防工業(yè)出版社2.通信系統(tǒng)仿真設(shè)計(jì)與應(yīng)用，作者：李環(huán)

2、任波 華宇寧 電子工業(yè)出版社,,,第 三 章 隨 機(jī) 過(guò) 程,3.1 隨機(jī)過(guò)程的基本概念3.2 典型隨機(jī)過(guò)程,,,3.2 典型隨機(jī)過(guò)程,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2. 高斯隨機(jī)過(guò)程3. 窄帶隨機(jī)過(guò)程4. 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。若對(duì)于任意正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)t1＜t2＜…＜tn,τ，隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的n維概率密度函數(shù)滿足： fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn

3、(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 該定義說(shuō)明：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。,狹義平穩(wěn)(嚴(yán)平穩(wěn))隨機(jī)過(guò)程定義,,一維分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)，即有 ： f1(x1, t1)=f1(x1)二維分布只與時(shí)間間隔τ有關(guān)：

4、 式中：τ= t2 -t1, f2(x1,x2;t1,t2)= f2(x1,x2;t1,t1+τ)= f2(x1,x2;τ) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的均值： 為常數(shù),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差σ2(t)=σ2=常數(shù)。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的自相關(guān)函數(shù)：,平穩(wěn)過(guò)程特性,R(t1,t2)= R(t1,t1+τ)= E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ = R(τ)

5、 僅是時(shí)間間隔τ=t2-t1的函數(shù),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ξ(t)具有“平穩(wěn)”的數(shù)字特征：它的均值為常數(shù)；自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，R(t1,t1+τ)=R(τ),定義：稱均值是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)是τ的函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 狹義平穩(wěn)過(guò)程與廣義平穩(wěn)的關(guān)系：狹義平穩(wěn)過(guò)程一定是廣義平穩(wěn)過(guò)程但廣義平穩(wěn)過(guò)程不一定是狹義平穩(wěn)過(guò)程。,廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程定義,,通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多

6、數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。,隨機(jī)過(guò)程的任一實(shí)現(xiàn)，好像經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)?？梢曰敖y(tǒng)計(jì)平均”為“時(shí)間平均”。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）可以用任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來(lái)代替。 ,各態(tài)歷經(jīng)性,,只有平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程才具有各態(tài)歷經(jīng)性，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。 平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為該過(guò)

7、程是各態(tài)歷經(jīng)的。,,在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件,R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)],平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù),,R(τ)具有下列主要性質(zhì)：R(0)=E［ξ2(t)］=P ［ξ(t)的功率（平均功率或總功率）］ R(∞) = E[ξ(t)ξ(t+ ∞)]=E[ξ(t)]·E[ξ(t + ∞)] =E2［ξ(t)］ ［ξ(t)的直流功率］當(dāng)τ

8、→∞時(shí)ξ(t)與ξ(t+τ)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且認(rèn)為ξ(t)中不含周期分量。 R(τ)=R(-τ) ［τ的偶函數(shù)］ |R(τ)|≤R(0) ［R(τ)的上界］ R(0)-R(∞)=E[ξ2(t)]－E2[ξ(t)]=σ2 [ξ(t)的交流功率=方差］當(dāng)均值為0時(shí)，直流功率為0，有：R(0)=σ2 ，功率等于方差。,自相關(guān)函

9、數(shù)R(τ)與功率譜密度Pξ(ω)互為傅立葉變換對(duì),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,或,因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過(guò)程的平均功率，等于功率譜密度的積分，即功率譜密度曲線下的面積。,稱為維納-辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。,,某隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中ω0為常數(shù)，θ是在區(qū)間(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。（1）求ξ(t)的期望、方差、自相關(guān)函數(shù)（2

10、）討論ξ(t)是否平穩(wěn)？（3）求ξ(t)的功率譜密度及平均功率、直流功率、交流功率。（4）討論ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？,,[例3.2-1],(1),可見(jiàn):ξ(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)， 所以ξ(t)為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,(2),,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度互為傅里葉變換:,平均功率為： P =R(0),功率譜密度為：,或：,(3),平均功率為： R(0)=E［ξ2(t)］=P =1/2

11、 （即總功率）均值的平方： E2 [X(t)]=0 （即直流功率）方差為：D[X(t)]=E[X2(t)]- E2[X(t)]= 1/2 （即交流功率）,比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，得a = , R(τ)= ， 因此，隨機(jī)相位正弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。,(4)討論各態(tài)歷經(jīng)性:求ξ(t)的時(shí)間平均：,,,3.2 典型隨機(jī)過(guò)程,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2. 高斯隨機(jī)過(guò)程3. 窄帶隨機(jī)過(guò)程4. 隨機(jī)

12、過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),正態(tài)分布也稱高斯分布，是高斯從測(cè)量誤差分布的實(shí)驗(yàn)中導(dǎo)出的。中心極限定理指出：大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布趨于正態(tài)分布，而與每個(gè)隨機(jī)變量的分布無(wú)關(guān)。正態(tài)分布在各種分布中占有特殊重要的地位，通信系統(tǒng)中的噪聲通常是正態(tài)分布。均值a，方差為σ2的正態(tài)分布記為N(a, σ2)，概率密度函數(shù)為：,高斯隨機(jī)過(guò)程,,若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的任意n維（n=1, 2, …）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。 其n維正態(tài)概率

13、密度函數(shù)表示如下：fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn),式中, ak=E[ξ(tk)]，σ2k=E{[ξ(tk)-ak]2}，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即：,高斯隨機(jī)過(guò)程的定義,,b12 … b1nb21 1 … b2nbn1 bn2 … 1,,,…,…,…,…,,,|B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且,高斯過(guò)程的n

14、維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只要研究它的一維和二維數(shù)字特征就可以了。 如果高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值為常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，由性質(zhì)（1）知，它的n維分布與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是狹義平穩(wěn)的。 如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對(duì)所有j≠k有bjk=0，|B|=1, 則：也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。,高斯過(guò)程重要性質(zhì),,也就是說(shuō)，如果高

15、斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后仍為高斯過(guò)程。若 、 為高斯分布，則 也為高斯分布。,=f(x1,t1)·f(x2,t2)…f(xn,tn),fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=,上述特性是高斯過(guò)程特有的，一般隨機(jī)過(guò)程無(wú)此特性。,高斯過(guò)程與一般隨機(jī)過(guò)程性能比較,,,,,,,,,,,,藍(lán)線下面積為為F(x),,紅線下面積為Q函數(shù),,

16、,,,,,,,,,,,高斯分布函數(shù)的計(jì)算--查表法（附錄B）,,誤差函數(shù)：,或：,互補(bǔ)誤差函數(shù)：,或：,Q(x)函數(shù)：,Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是一隨機(jī)過(guò)程。若X1、X2是彼此獨(dú)立且具有均值為0，方差為σ2的正態(tài)隨機(jī)變量，求：⑴ E[Z(t)] 、 D[Z(t)]⑵ Z(t)的一維概率密度函數(shù)f(z)⑶ Z(t)的自相關(guān)函數(shù)Rz(t1、t2) ⑷ 此隨機(jī)過(guò)程是否廣義平穩(wěn)？⑸ Z(t)的平均功率,直流功率,

17、交流功率.,,[例3.2-2],E[Z2(t)]= E[(X1cosw0t － X2sinw0t)2 ] =cos2w0t E[X12]－2cosw0tsinw0t E[X1X2 ]＋ sin2w0t E[X22]∵ D[X1]= E[X12] － E2[X1] = σ2， E2[X1] =0∴ E[X12] = σ2 同理： E[X22] = σ2 ∵ X1、 X2是彼此獨(dú)立∴E[X1X2 ]= E[X1

18、] E[X2] =0∴ E[Z2(t)]= cos2w0t ·σ2 + sin2w0t·σ2 = σ2 D[Z(t)]= E[Z2(t)]－E2[Z(t)] = σ2,⑴ E[Z(t)]=E[X1cosw0t－X2sinw0t ]=cosw0t·E[X1]－sinw0t·E[X2] 已知 E[X1] = E[X2 ] =0 ∴ E[Z(t)] =0,(5) E[Z(t

19、)] =0, Z(t)的直流功率= E2[Z(t)]=0, 交流功率= D[Z(t)] = σ2 平均功率=直流功率+交流功率=σ2 或: E[Z2(t)]= σ2,⑵ Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t 是正態(tài)隨機(jī)變量X1、 X2的線性變換，所以Z(t)是正態(tài)隨機(jī)過(guò)程，只要求出Z(t)的均值和方差，帶入正態(tài)分布的一維概率密度函數(shù)公式即得:,(3) R z(t1、t2) = E[Z(t1) Z(t2) ]

20、 = E[(X1cosw0t1 - X2sinw0t1)(X1cosw0t2 - X2sinw0t2)] = cosw0t1cosw0t2 E[X12] - cosw0t1sinw0t2 E[X1X2 ] -sinw0t1cosw0t2 E[X1X2 ] +sinw0t1sinw0t2 E[X22] =σ2[cosw0t1cosw0t2 + sinw0t1sinw0t

21、2] = σ2cosw0( t1-t2) = σ2cosw0τ⑷ a = E[Z(t)] = 0為常數(shù)， Rz(t1、t2) = Rz(τ)是τ的函數(shù) 此隨機(jī)過(guò)程是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。,Z(t)=X1cosw0t－X2sinw0t,E[X1X2 ]= E[X1] E[X2 ],X1與X2不相關(guān),,,3.2 典型隨機(jī)過(guò)程,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2. 高斯隨機(jī)過(guò)程3. 窄帶隨機(jī)過(guò)程4. 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),窄帶隨機(jī)過(guò)程的定

22、義,所謂“窄帶”系統(tǒng)，是指其頻譜被限制在載波或某中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶上，而這個(gè)中心頻率又遠(yuǎn)離零頻率。,例如隨機(jī)過(guò)程通過(guò)以fc為中心頻率的帶通濾波器后，即是窄帶過(guò)程。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，信號(hào)和噪聲都滿足“窄帶”的假設(shè)。,通帶寬度△f<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率,,窄帶過(guò)程的頻譜和波形示意,,用示波器觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形，它是一個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。,△f<<fc，且fc遠(yuǎn)離零

23、頻率,窄帶隨機(jī)過(guò)程:ξ(t)=aξ(t)cos[ωct+φξ(t)]ξ(t)=aξ(t)cosφξ(t)cosωct- aξ(t) sinφξ(t) sinωct 令：ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t) -- 稱為ξ(t)的同相分量 ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t) -- 稱為ξ(t)的正交分量,ξc(t)及ξs(t) 也是隨機(jī)過(guò)程，具有低通性質(zhì)，均屬于低通型過(guò)程,ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)si

24、nωct,等價(jià)式為：,ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性由aξ(t),φξ(t)或ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定.反之,如果已知ξ(t)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定aξ(t),φξ(t)和ξc(t),ξs(t)的統(tǒng)計(jì)特性。,窄帶隨機(jī)過(guò)程的正交表示,aξ(t)：隨機(jī)包絡(luò)，是低頻分量φξ(t)：隨機(jī)相位，是低頻分量,,同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性,它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值都為零，方差也相同。在同一時(shí)刻上得到的ξc(t

25、)和ξs(t)是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。,前提條件：針對(duì)一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程ξ(t)；結(jié)論：,,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,包絡(luò)aξ(t)的一維分布是瑞利分布：相位φξ(t)的一維分布是在（0，2π）內(nèi)均勻分布；就一維分布而言，aξ(t)與φξ(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即：,前提條件：針對(duì)一個(gè)均值為零，方差為σ2ξ的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程ξ(t) 結(jié)論：,,f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ),白噪聲功率譜密度在整個(gè)頻率范

26、圍內(nèi)均勻分布，是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過(guò)程。即雙邊功率譜密度為n0/2：,R(τ)=,Pξ(ω)=,,,,τ,0,,,,0,f,,白噪聲,說(shuō)明白噪聲在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。,只在τ=0時(shí)才相關(guān)τ≠0， R(τ)=0,n0為常數(shù)，單位：w/Hz(瓦/赫茲),理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的，但是，如果噪聲的功率譜的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，可以視為白噪聲。在通信系統(tǒng)中，一般把信道噪聲近似為白噪聲。,一般情況下，接

27、收機(jī)的前端是一個(gè)帶通濾波器。寬帶的白噪聲經(jīng)此濾波器后，就成為了窄帶白噪聲。,經(jīng)帶通濾波器后的窄帶白噪聲功率為：P=單邊功率譜密度的積分= n0 B,BPF的作用：讓有用信號(hào)通過(guò)，濾除帶外噪聲,窄帶白噪聲,,Pξi(ω),帶通濾波器,,,Pξ0(ω),BPF,(1)窄帶高斯白噪聲，“窄帶” 、“高斯” 、“白”的含義？答： “窄帶”是指其頻譜被限制在載波或某中心頻率附近一個(gè)窄的頻帶上，而這個(gè)中心頻率又遠(yuǎn)離零頻率。 “

28、高斯”是指其概率密度函數(shù)服從高斯分布。 “白”是指它的功率譜密度在整個(gè)頻率范圍內(nèi)均勻分布：(2)高斯白噪聲n(t)的數(shù)學(xué)期望為1，方差也為1，求二維概率密度函數(shù),Pξ(ω)=,答：∵白噪聲只有在τ=0時(shí)才相關(guān)，即自相關(guān)，而在任意兩個(gè)時(shí)刻t1,,t2 (t1, ≠t2)上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。又∵是高斯分布∴統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，f(x1,x2;t1,,t2)= f(x1, t1) f(x2,,t2),思考題：,正弦波加窄

29、帶高斯噪聲,接收機(jī)前端帶通濾波器的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形。通信系統(tǒng)中最常見(jiàn)的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波： r(t)=A cos(ωct+θ)+n(t),信號(hào)部分,正弦波加窄帶高斯過(guò)程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為廣義瑞利分布，也稱萊斯分布。,,噪聲部分n(t)=nc(t) cosωct-ns(t) sinωct,,,小信噪比時(shí)，合成波的包絡(luò)接近于瑞利分布，相位接近于均勻分布；大信噪比時(shí)，包絡(luò)接近于高斯分布，相位集中在有用信號(hào)相位附

30、近。,正弦波加窄帶高斯過(guò)程的包絡(luò)與相位分布,(瑞利分布),(高斯分布),,,3.2 典型隨機(jī)過(guò)程,1. 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2. 高斯隨機(jī)過(guò)程3. 窄帶隨機(jī)過(guò)程4. 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的一些性質(zhì),僅討論平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的情況，針對(duì)確知信號(hào)。輸入過(guò)程ξi(t) ，輸出過(guò)程ξo(t)的統(tǒng)計(jì)特性：,,1、E[ξo(t)],E［ξo(t)］= E［ξi(t)］ ·H(0) = a 

31、3;H(0),2、Rξo(t1, t1+τ)= Rξo(τ),若線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，那么輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。,3、功率譜密度：,4. 概率分布：,如果輸入是高斯過(guò)程，則系統(tǒng)的輸出也是高斯過(guò)程。,線性系統(tǒng)H(w),,,ξi(t),ξo(t),如果白噪聲被限制在(-fH,fH)之內(nèi)，則稱為帶限白噪聲。,例如：功率譜密度為n0/2的白噪聲ni(t)通過(guò)截止頻率為fH的理想低通濾波器后，即成為帶限白噪聲。,帶限白噪聲,,求帶限白噪聲的

32、功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。,輸出噪聲的功率譜密度在|ω|≤ωH內(nèi)是均勻的， 在此范圍外為零。其自相關(guān)函數(shù)為,,,τ= k /2fH時(shí)過(guò)零點(diǎn),對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理抽樣，各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量,Pi(w)=n0，H(w)=1 ( |f|<fH=1kHz時(shí)；f取其他值時(shí)，H(w)值為0)P0(w)= Pi(w)| H(w)| 2 = n0/2 ( |f|<fH時(shí)；f取其他值時(shí)，P0(w)值為0)R(τ