數(shù)學(xué)物理方法

1、教,材,《數(shù)學(xué)物理方法》課程教材,,參考教材(國外優(yōu)秀教材),,,,參考教材(國內(nèi)優(yōu)秀教材),,,,,,,,,,序言,將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于現(xiàn)代高新技術(shù)專業(yè)領(lǐng)域，并構(gòu)建成典型的數(shù)學(xué)物理模型和解決問題的方法，從而形成了科學(xué)研究中實用性很強的數(shù)學(xué)物理方法。數(shù)學(xué)物理方法既利用了精妙的數(shù)學(xué)思想，又聯(lián)系了具體的研究任務(wù)和目標(biāo)。脫離了數(shù)學(xué)思維，具體研究任務(wù)就失去了理論指導(dǎo)方法；脫離了所研究的對象（物理模型），數(shù)學(xué)思維就難以發(fā)揮其解決實際問題的巨大

2、潛能。既非數(shù)學(xué)思想也非物理模型本身能達到盡善盡美，只有兩者的有機結(jié)合才能形成推動人類科學(xué)技術(shù)賴以發(fā)展的動力之源。,柯朗曾經(jīng)描述：“從17世紀(jì)以來，物理的直觀，對于數(shù)學(xué)問題和方法是富有生命力的根源，然而近年來的趨向和時尚，已將數(shù)學(xué)與物理間的聯(lián)系減弱了，數(shù)學(xué)家離開了數(shù)學(xué)的直觀根源，而集中推理精致和著重于數(shù)學(xué)的公設(shè)方面，甚至有時忽視數(shù)學(xué)與物理學(xué)以及其他科學(xué)領(lǐng)域的整體性。而且在許多情況下，物理學(xué)家也不再體會數(shù)學(xué)家的觀點，這種分裂無疑地對于整個科

3、學(xué)界是一個嚴(yán)重的威脅。 科學(xué)發(fā)展的,洪流可能逐漸分裂成為細(xì)小而又細(xì)小的溪渠，以至于干涸，因此有必要引導(dǎo)我們的努力轉(zhuǎn)向于將許多有特點的和各式各樣的科學(xué)事實的共同點及其相互關(guān)聯(lián)加以闡明，以重新統(tǒng)一這種分離的趨向” 或許我們今天所應(yīng)做的正是柯朗所指出的。數(shù)學(xué)物理方法也正是將這種分裂進行重新統(tǒng)一并實現(xiàn)有機結(jié)合的具體體現(xiàn)。,數(shù)學(xué)物理方法,數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)篇,復(fù)變函數(shù)篇,數(shù)學(xué)物理方程篇,特殊函數(shù)篇,計算機仿真篇,,,,,,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,《復(fù)變

4、函數(shù)論》 主要內(nèi)容,第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章、解析函數(shù)第三章、復(fù)變函數(shù)的積分 第四章、級數(shù)第五章、留數(shù)第六章、保角變換第七章、傅里葉變換第八章、拉普拉斯變換,,一. 復(fù)數(shù)二. 復(fù)數(shù)的表示三. 復(fù)數(shù)的乘冪與方根四. 區(qū)域五. 復(fù)變函數(shù)六. 復(fù)變函數(shù)的極限七. 復(fù)變函數(shù)的連續(xù),第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),復(fù)數(shù)的發(fā)展,復(fù)數(shù)的引入,,需特別指出：可以證明當(dāng)有三個不同的實根時，若要用公式法來求解，則不可能不經(jīng)過負(fù)數(shù)開方(

5、參考：范德瓦爾登著《代數(shù)學(xué)》,丁石孫譯, 科學(xué)出版社，1963年). 至此，我們明白了這樣的事實，此方程根的求得必須引入虛數(shù)概念. 卡丹諾公式出現(xiàn)于十七世紀(jì)，那時虛數(shù)的地位就應(yīng)確定下來，但對虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認(rèn)識.“虛數(shù)”這個名詞是由十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）正式取定的.“虛數(shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)”，“實際不存在的數(shù)”，后來還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣.,

6、十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard· Euler， 1707-1783) 試圖進一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他把虛數(shù)稱之為“幻想中的數(shù)”或“不可能的數(shù)”.他在《對代數(shù)的完整性介紹》(1768－1769年在俄國出版，1770年在德國出版)一書中說：因為所有可以想象的數(shù)或者比零大，或者比零小，或者等于零，即為有序數(shù). 所以很清楚，負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性來說它是不可能

7、的數(shù). 因為它們只存在于想象之中.因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是Euler首先引入符號作為虛數(shù)單位.,十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測量學(xué)家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）等都對“虛數(shù)”(也稱為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實際應(yīng)用. 特別地, 在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789－1857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，1815

8、－1897）、黎曼（Rieman，1826－1866）.柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論.,,自從有了復(fù)變函數(shù)論，實數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如：負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；指數(shù)函數(shù)無周期性；正弦、余弦函數(shù)的絕對值不能超過1； …… 等已經(jīng)不復(fù)存在.,數(shù)學(xué)的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬，便會產(chǎn)生無可估量的創(chuàng)造力.哈密頓的

9、四元數(shù)的發(fā)明，使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到如果可以拋棄實數(shù)和復(fù)數(shù)的交換性(即拋棄復(fù)數(shù)的基本性質(zhì))去構(gòu)造一個有意義、有作用的新“數(shù)系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)的代數(shù)構(gòu)造，從而使得另一通向抽象代數(shù)的大門被打開.我們相信隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)系統(tǒng)理論將不斷地完善和自洽.,1.1 復(fù)數(shù)的概念及四則運算1.1.1 復(fù)數(shù)概念,復(fù)數(shù)的無序性,實數(shù)可以比較大小，是有序的，但復(fù)數(shù)不能比較大小，即復(fù)數(shù)是無序的. 盡管復(fù)數(shù)的實部和虛部

10、均為實數(shù)，但是由于復(fù)數(shù)是實部和虛部通過虛單位聯(lián)系起來，從而是不能比較大小的.,問：復(fù)數(shù)為什么不能比較大小？解釋： 復(fù)數(shù)是實數(shù)的推廣，若復(fù)數(shù)能比較大小，則它的大小順序關(guān)系必須遵循實數(shù)順序關(guān)系的有關(guān)性質(zhì).,1.四則運算,復(fù)數(shù)的四則運算也滿足交換律、結(jié)合律和分配律。,1.復(fù)數(shù)的二項式定理,1.2 復(fù)數(shù)的表示,1.2.1 復(fù)數(shù)的幾何表示,,定義 復(fù)數(shù)的幾何表示 直角坐標(biāo)表示,,,,1.2.4 共軛復(fù)數(shù),1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,,,,,,例

11、求1的n次方根，并討論根在復(fù)平面單位圓周上的位置.,,,,例1.4.1 正十七邊形的幾何作圖討論。,1.4 復(fù)數(shù)典型綜合實例,,,,,,（12）有界區(qū)域：如果一個區(qū)域D可以被包含在一個以原點為中心的圓內(nèi)部，即存在正數(shù)M,使得區(qū)域D的每一點z都滿足 ，那么D稱為有界區(qū)域.（13）無界區(qū)域：根據(jù)上面的定義，非有界區(qū)域即為無界區(qū)域.,例1.4.2 判斷代表什么樣的區(qū)域？,1.5復(fù)變函數(shù),,例1.6.1 證明極限不存在.,本章作業(yè),1.