數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）-電子科技大學(xué)

1、,第二篇 數(shù)學(xué)物理方程,本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中的分離變量法和行波法.特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程．,數(shù)學(xué)物理思想,數(shù)學(xué)物理方程（簡(jiǎn)稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程．,數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的

2、許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.,,,,,從物理規(guī)律角度來(lái)分析，數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題表征的是場(chǎng)和產(chǎn)生這種場(chǎng)的源之間的關(guān)系．,根據(jù)分析問(wèn)題的不同出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問(wèn)題分為正向問(wèn)題和逆向問(wèn)題.,不同出發(fā)點(diǎn),正向問(wèn)題，即為已知源求場(chǎng),逆向問(wèn)題，即為已知場(chǎng)求源.,,前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論的主要內(nèi)容. 后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理）所討論的主要內(nèi)容,多數(shù)為二階線性偏微分方程,振動(dòng)與波（振動(dòng)波，電磁波）傳播滿足波動(dòng)方程,熱傳導(dǎo)問(wèn)題和擴(kuò)散問(wèn)題滿足熱傳

3、導(dǎo)方程,靜電場(chǎng)和引力勢(shì)滿足拉普拉斯方程或泊松方程,數(shù)學(xué)物理方程的類型和所描述的物理規(guī)律,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,,,,,,,退化為拉普拉斯方程,,分離變量法,偏微分方程,標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程,,,,標(biāo)準(zhǔn)解，即為各類特殊函數(shù),三類數(shù)學(xué)物理方程的一種最常用解法,第九章 數(shù)學(xué)建模---數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題,9.1 數(shù)學(xué)建模----波動(dòng)方程類型的建立,具有波動(dòng)方程的數(shù)理方程的建立,定解條件,傳輸線方程,9.1.1波動(dòng)方程的建立,

4、1. 弦的微小橫振動(dòng),考察一根長(zhǎng)為,且兩端固定、水平拉緊的弦．,討論如何將這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題．要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：,確定弦的運(yùn)動(dòng)方程,（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.,（3）按物理定理寫(xiě)出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）,,,,要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移,注意： 物理問(wèn)題涉及的因素較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡(jiǎn)化． 數(shù)學(xué)物理方程必須反映弦上任一位置

5、上的垂直位移所遵循的普遍規(guī)律，所以考察點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但可以取除端點(diǎn)之外的任何位置作為考察點(diǎn)．,,（9.1.1）,,(9.1.2),,注意到:,故由圖9.11得,,這樣，(9.1.1)和(9.1.2)簡(jiǎn)化為,,因此在微小橫振動(dòng)條件下，可得出,,,故有,,(9.1.5),,(9.1.6),即為,（9.1.7）,上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，簡(jiǎn)稱為弦振動(dòng)方程．,,,其中,討論：,（1）若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力，則上式(9.1.7)右

6、端的重力加速度項(xiàng)可以忽略．由此得到下列齊次偏微分方程：,,（9.1.8）,稱式（9.1.8）為弦的自由振動(dòng)方程,,(9.1.9),處單位質(zhì)量上的橫向外力,式（9.1.9）稱為弦的受迫振動(dòng)方程.,2、 均勻桿的縱振動(dòng),,段的運(yùn)動(dòng)方程為,（9.1.10）,可得,,（9.1.11）,這就是桿的縱振動(dòng)方程．,討論,,,（9.１.12）,,,其中,這與弦振動(dòng)方程（9.１.8）具有完全相同的形式．,3. 傳輸線方程（電報(bào)方程）,,（9.1.13）,

7、同理可得：,,(9.1.14),式（9.1.13）及（9.1.14）即為一般的傳輸線方程（或電報(bào)方程）．,(1)無(wú)失真線,,(9.1.15),其中,,(2)無(wú)損耗線,,（9.1.16）,,(9.1.17),具有與振動(dòng)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同,(3)無(wú)漏導(dǎo)，無(wú)電感線,,（9.1.18）,,(9.1.19),它們具有與下節(jié)將討論的一維熱傳導(dǎo)方程類似的數(shù)學(xué)形式，盡管它們的物理本質(zhì)根本不同．,9.1.2 波動(dòng)方程的定解條

8、件,定解條件：初始條件和邊界條件,1.初始條件,波動(dòng)方程的初始條件通常是,,（9.1.22）,,，如圖9.5所示，然后放手任其振動(dòng)，試寫(xiě)出初始條件。,【解】 初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有,,初始位移如圖所示,,2.邊界條件,常見(jiàn)的線性邊界條件分為三類：,第一類邊界條件,直接規(guī)定了所研究的物理量在邊界上的數(shù)值,第二類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的數(shù)值,,（9.1.23）,,（9.1.

9、24）,第三類邊界條件,規(guī)定了所研究的物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值,,（9.1.25）,9.2 數(shù)學(xué)建模－熱傳導(dǎo)方程類型的建立,9.2.1數(shù)學(xué)物理方程――熱傳導(dǎo)類型方程的建立,1.熱傳導(dǎo)方程,推導(dǎo)固體的熱傳導(dǎo)方程時(shí)，需要利用能量守恒定律和關(guān)于熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：,熱傳導(dǎo)的傅里葉定律：,,,（9.2.1）,圖9.8,取直角坐標(biāo)系Oxyz, 如圖9.8,表示t時(shí)刻物體內(nèi)任一點(diǎn)（x,y,z）處的溫度,在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)ABC

10、D面流入的熱量為,,,,則根據(jù)能量守恒定律得熱平衡方程,,或?qū)懗?(9.2.2),2. 擴(kuò)散方程,,(9.2.3),,,其中,將一維推廣到三維，即得到,,(9.2.4),上述方程與一維熱傳導(dǎo)方程具有完全類似的形式,若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源的強(qiáng)度為,這時(shí)，擴(kuò)散方程應(yīng)為,,（9.2.5）,從上面的推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不同的物理現(xiàn)象，但可以用同一類方程來(lái)描述.,9.2.2 熱傳導(dǎo)（或擴(kuò)散）方程的定解條件,1 初始條件,熱傳導(dǎo)方程的初

11、始條件一般為,,（9.2.6）,2 邊界條件,,(9.2.7),直接給出函數(shù)u 在邊界上的數(shù)值,所以是第一類邊界條件.,2. 第二類,,,設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)邊界上單位面積流入的熱量為,.,如圖9.10所示.,圖9.10,,,,,所以當(dāng),由熱平衡方程給出:,,,(9.2.8),3. 第三類,根據(jù)牛頓冷卻定律: 單位時(shí)間從周圍介質(zhì)傳到邊界上單位面積的熱量與表面和外界的溫度差成正比, 即,,,,為常數(shù),與推導(dǎo)條件(9.2.11)相似,此時(shí)可得

12、邊界條件,,(9.2.9),其中,9.3 數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立,9.3.1 數(shù)學(xué)建?！€(wěn)定場(chǎng)方程類型的建立,1 靜電場(chǎng)的電勢(shì)方程,直角坐標(biāo)系中泊松方程為,,(9.3.1),,(9.3.2),稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.,2. 穩(wěn)定溫度分布,導(dǎo)熱物體內(nèi)的熱源分布和邊界條件不隨時(shí)間變化,故熱傳導(dǎo)方程中對(duì)時(shí)間的偏微分項(xiàng)為零，從而熱傳導(dǎo)方程（9.2.1)，(9.2.2) 即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.,,(9.3.3),(9.3

13、.4),9.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件,泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件不包含初始條件,而只有邊界條件.,邊界條件分為三類:,2、在邊界上給定未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值,即為第二類邊界條件．,3、在邊界上給定未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的某種線性組合, 即第三類邊界條件.,第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫(xiě)成,(9.3.5),,,為常數(shù)，它們不同時(shí)為零．,9.4 數(shù)學(xué)物理定解理論,9.4.1 定解條件和定解問(wèn)題的提法,邊界條件的類

14、型,除了前面我們介紹的第一、第二、第三類邊界條件之外，還有其它邊界條件，如自然邊界條件，銜接條件, 周期性條件和無(wú)邊界條件．,9.4.2 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性,(1) 解的存在性,看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解；,(2) 解的唯一性,看是否只有一個(gè)解,(3) 解的穩(wěn)定性,當(dāng)定解問(wèn)題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí)，解是否相應(yīng)地只有微小的變化量,定解問(wèn)題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性.,9.4.3 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的

15、求解方法,1.行波法；2.分離變量法；3.冪級(jí)數(shù)解法；4.格林函數(shù)法； 5.積分變換法；6.保角變換法； 7.變分法；8.計(jì)算機(jī)仿真解法；9.數(shù)值計(jì)算法,9.5 本章典型綜合實(shí)例,【解】 （1）確定泛定方程：,弦作自由（無(wú)外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程,,(2)確定邊界條件,對(duì)于弦的固定端，顯然有,另一端自由，意味著其張力為零．故由式（9.1.39），則,(3)確定初始條件,,初始速度,綜上討論，故定解問(wèn)題為,