第四章線性系統(tǒng)的能控性和能觀性

1、第八章 現(xiàn)代控制理論能控性、能觀測性,一、線性系統(tǒng)能控性和能觀性的概念二、線性定常系統(tǒng)的輸出能控性三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性四、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,教學(xué)要求：1.正確理解定常系統(tǒng)可控性與可觀 性的基本概念與判據(jù)。2.熟練掌握能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型。3.掌握對偶原理，規(guī)范分解方法。重點(diǎn)內(nèi)容：能控、能觀的含義和定義。定常系統(tǒng)的能控、能觀的各種判據(jù)。線性變換的不變性。,研究系統(tǒng)的目的:更好地了解系統(tǒng)和控制

2、系統(tǒng).含義1: 控制作用: 對狀態(tài)變量的支配 能控性. 系統(tǒng)輸出能否反映狀態(tài)變量 能觀性.含義2: 能控性:能否找到使任意初態(tài) 確定終態(tài) 能觀性:能否由輸出量的測量值 各狀態(tài),,,,,例1: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述:解:展開 表明:狀態(tài)變量 , 都可通過選擇輸入u而由始點(diǎn) 終點(diǎn)完全能控.

3、 輸出y只能反映狀態(tài)變量 ,所以 不能觀測.,,例2:取 和 作為狀態(tài)變量,u—輸入, y= --輸出.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,-,u,L,(1)當(dāng),狀態(tài)可控，可觀測,(2)當(dāng),u只能控制　，不可控，不可觀測．,一、線性系統(tǒng)能控性和能觀性的概念,含義：　　　　　　能控性：u(t) x(t) 狀態(tài)方程　　　能觀性：y(t)

4、 x(t) 輸出方程,,,定義：　　　設(shè)　　　　　　　　　　若存在一分段連續(xù)控制向量u(t)，能在　　　內(nèi)將系統(tǒng)從任意狀態(tài)　轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)　　　，則該系統(tǒng)完全能控．,,說明：任意初態(tài)　　　　(狀態(tài)空間中任一點(diǎn)),零終態(tài)　?。剑啊　　　　　　∧芸亓愠鯌B(tài)　　　　任意終態(tài),,,,,能達(dá),2. 定理1,例：　　　　　　　　　　判斷能控性,解：　　　rank =2<3,不能控,,對于：

5、　　行數(shù)＜列數(shù)的情況下求秩時： rank =rank,定理2：若　　　　　，　　　若Ａ為對角型，則狀態(tài)完全能控的充要條件為：　　　Ｂ中沒有任意一行的元素全為零．,,,例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為　　其中：　　試判斷該系統(tǒng)的能控性．,,解：　　如果rank =2, 則必須要求,定理3：設(shè)　　　　　，　　　若Ａ為約當(dāng)型，則狀態(tài)完全能控的充要條件是：　　　對應(yīng)的每一

6、個約當(dāng)塊的最后一行相應(yīng)的Ｂ陣中所有的行元素不全為零．,,例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為　　其中：　　試判斷系統(tǒng)的能控性．,,解：　　而b1是任意值，且rank =2　　則該系統(tǒng)能控．,,當(dāng)Ａ的特征值 , 　　　　　 ，且 則可以經(jīng)過 將A化為約當(dāng)型. 如下:,且,由　　　　　　　　　 的最后一行組成的矩

7、陣：,例：設(shè)　　　　　　，已知,,,,,,,行線性無關(guān),不全為零,,能控,,,線性變換后系統(tǒng)的能控性不變　　設(shè)　　令　　　　　則：　　其中：,,,,系統(tǒng)的能控性不變,定理4：　　設(shè)　　如果系統(tǒng)能控，則　　則必存在一個非奇異變換　　可將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)型：,其中：,且：,證明：　　　　　　　(由　　　　 推得 ),,,例：　　求能控標(biāo)準(zhǔn)型．,解：　　　　rank Sc=2 能控,,,則,二、

8、線性定常系統(tǒng)的輸出能控性,在分析和設(shè)計控制中,系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài),而是系統(tǒng)輸出,必須研究系統(tǒng)的輸出是否能控.設(shè): 定義:在 上,任意　　　　解出u(t),　輸出能控．,,定理：　　　系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件：,,例：判斷系統(tǒng)是否輸出能控．解：rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q 　　輸出能控　　rankSc=rank[b Ab]=1

9、<2 　　狀態(tài)不能控,,三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,在實(shí)際工程實(shí)踐中,往往需要知道狀態(tài)變量,而由于各種原因,不一定都能直接獲取,但輸入變量總是可以獲取和測量的. 能觀性—能否通過對輸出的測量來確定系統(tǒng)的狀態(tài)變量．,設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表式：定義：對任意給定u(t)，在　　　內(nèi)輸出y(t)可唯一確定系統(tǒng)的初態(tài)x(　),則系統(tǒng)是完全能觀的．　　　　y 　　　x(

10、) 能觀　　　　　y 　　　x( ) 能檢,,,確定,確定,定理1：　　系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件：,證明：　　　設(shè),這里：　　　　　是一個單位陣．　　 要使y(t) x(0),,確定,定理2:　　　若A為對角型，則系統(tǒng)完全能控能觀的充要條件是：　　　輸出陣C中沒有任何一列的元素全為零．,例：系統(tǒng)狀態(tài)方程為,系統(tǒng)能控能觀則要求即rank

11、 =2,定理3：　　　　若A為約當(dāng)型，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：　　　　C陣中與每個約當(dāng)塊的第一列相對應(yīng)的各列中，沒有一列的元素全為零．,如：　　　　　　　能觀,,例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：　　　　　　　　　　判斷系統(tǒng)的能觀性．解：,能觀,,約當(dāng)型判據(jù)： 設(shè)A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ，,,且要使系統(tǒng)

12、完全能觀，則由的第一列組成的矩陣： 對 均列線性無關(guān)。,定理4: 設(shè) 如果系統(tǒng)能觀，但不是能觀標(biāo)準(zhǔn)型，則存在 ，將原系統(tǒng)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型：,(單輸入單輸出系統(tǒng)),其中,其中：,線性變換后系統(tǒng)能觀性不變 設(shè) 令,,,4.7 對偶原理,由第前面：對偶原理：,,,其中: 與 互