簡(jiǎn)諧振動(dòng) （最基本最重要的運(yùn)動(dòng)）

1、§1.簡(jiǎn)諧振動(dòng) （最基本最重要的運(yùn)動(dòng)）,一.振動(dòng),機(jī)械振動(dòng)：位置作周而復(fù)始的變化。,廣義的振動(dòng)：某物理量在一定值附近作周而復(fù)始的變化。,二.周期與頻率,周期：T,頻率：ν,第四章 簡(jiǎn)諧振動(dòng),三.諧振方程,1.動(dòng)力學(xué)特征,以彈簧振子為例：見(jiàn)圖,k,m,以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)。,o,,x,分析受力：,,,有：,有：,—— 動(dòng)力學(xué)特征,2.運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,解此微分方程，可得,——運(yùn)動(dòng)方程,諧振曲線：,正弦或余弦曲線。,,四.諧

2、振的振幅 周期 頻率和相位,1.振幅,最大位移,,2.周期,ω 是由振動(dòng)系統(tǒng)決定的，所以周期、頻率也由系統(tǒng)的性質(zhì)決定。稱為固有周期與固有頻率。,3.相位,—— ωt + φ,決定任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。,4. A φ的確定,由初始狀態(tài)決定,由：,得：,五.諧振的矢量圖示法,,x,,o,M,,,φ,考察其端點(diǎn)在x軸上的投影的變化規(guī)律：,,——諧振,參考圓：矢量端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為半徑等于A的圓 ，通常將其稱為參考圓。其在直徑上投影的運(yùn)

3、動(dòng)？,,,,,,,ω,,,,,,,,,,,,φ,,,x0,x1,x2,x3,x,,確定初位相,兩個(gè)振動(dòng)的位相差,相位練習(xí) 如圖所示，把一小球拉過(guò)一甚小的角 ，然后放手，任其擺動(dòng)，此 角是否是初相？請(qǐng)選擇,(1) 0,(2) θ,t = 0,解析法：,矢量圓,,,x,,,,φ,A,單擺：,復(fù)擺,六. 單擺與復(fù)擺,受力矩：,,P,,P,M = －mgh sinθ,角加速度：,當(dāng)θ角很小時(shí)，有：,—— 諧振,單擺：,h = L,復(fù)擺：

4、,振動(dòng)周期均取決于系統(tǒng)本身。,七.諧振的能量,——能量守恒,勢(shì)能曲線：,,,,-A,A,Ek = ½ k(A2 －x2),,E,,Ek,,,Ep,經(jīng)典粒子能否越過(guò)A處？,微觀粒子是可以越過(guò)勢(shì)能曲線形成的障礙而進(jìn)入勢(shì)能更大的區(qū)域，此稱為隧道效應(yīng)。,從能量的角度導(dǎo)出諧振方程：,E = ½ mv2 + ½ kx2 = 常量,,諧振方程,§2. 阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng) 共振,一.阻尼振動(dòng) —— 能量

5、逐漸減少的振動(dòng)。,考慮耗散作用,摩擦阻力,輻射阻尼,振動(dòng)曲線：,,,振幅減小，周期比系統(tǒng)的固有周期變大。,若阻尼過(guò)大，則系統(tǒng)完不成一次振動(dòng)，稱過(guò)阻尼振動(dòng)。見(jiàn)圖,,定量分析：,設(shè)物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)，粘滯阻力為,γ為阻力系數(shù)，與物體形狀、大小及介質(zhì)有關(guān)。,由牛頓方程：,令：,得：,其解為：,A、φ由初始條件決定。,當(dāng)：,若：,則為過(guò)阻尼振動(dòng)，物體將緩慢逼近平衡位置。,稱為臨界阻尼，物體回到平衡位置，并靜止。,應(yīng)用：電表中的電磁

6、阻尼。臨界阻尼。,二. 受迫振動(dòng),1.受迫振動(dòng) ： 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)。此外力稱驅(qū)動(dòng)力。若強(qiáng)迫力按簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律變化，則受迫振動(dòng)也是諧振，周期為外力的周期，振幅保持不變。,定量分析：,設(shè)周期性外力：,由牛頓定律：,令：,得：,其解為：,振動(dòng)情況分析。,最終的振動(dòng)：,三.共振,受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的大小、頻率及振動(dòng)物體的固有頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率與物體的固有頻率接近時(shí)，振幅將增大，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率為某一定值時(shí)，振

7、幅將達(dá)到最大。此現(xiàn)象稱為共振。,阻尼越小，振幅越大。,振幅與初相,定量分析：,得：,,阻力越小，ωp越接近ω0。同時(shí) Aτ也越大。,§6. 諧振的合成,一.兩個(gè)同方向 同頻率的合成,旋轉(zhuǎn)矢量法討論：,,,,,,,A1,A2,A,因轉(zhuǎn)動(dòng)速度相同，所以合振動(dòng)是諧振。,二.同方向不同頻率的合成 拍,合振動(dòng)的振幅：,當(dāng) φ2－φ1 = ±2kπ,A = A1+ A2 為最大,當(dāng) φ2－φ1 = &#

8、177;（ 2k + 1 ）π,合振動(dòng)的振幅、頻率均隨時(shí)間變化，不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,設(shè)兩振動(dòng)頻率為 ν2、ν1，且ν2大于 ν1 ，則在單位時(shí)間內(nèi)第二振動(dòng)比第一振動(dòng)多振動(dòng)ν2－ν1次，從矢量圓來(lái)看，即第二矢量比第一矢量多轉(zhuǎn)（ν2－ν1）圈，所以兩矢量同向或反向各為（ν2－ν1）,次，也就是合振動(dòng)將加強(qiáng)與減弱各（ν2－ν1）次。這樣的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，由于周期的微小差別而造成的合振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象稱為拍，合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減

9、弱的次數(shù)稱為拍頻。,曲線：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定量討論：,振幅相同，初相為零。,振幅,振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性變化。其值為0—2A,合振幅的頻率：,,三.同頻率 振動(dòng)方向垂直,消去 t 得,即：,一般為橢圓方程。,幾個(gè)特例：,,s,——諧振,,s,仍為諧振,正橢圓。,,轉(zhuǎn)動(dòng)方向？,橢圓，逆時(shí)針。,四.頻率不同 振動(dòng)垂直——利薩如圖形,見(jiàn)圖： P151 5.19,第五章 機(jī)械波,一.產(chǎn)生條件

10、思考：什么是波？ 例:聲波、水波、,振動(dòng)狀態(tài)的傳播。,產(chǎn)生條件：波源、彈性介質(zhì)。,二.縱波與橫波 考慮振動(dòng)方向與傳播方向,縱波—— 振動(dòng)方向∥傳播方向,橫波—— 振動(dòng)方向⊥傳播方向,§1.機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播,三.幾何描述,1.波陣面——位相（振動(dòng)狀態(tài)）相同的點(diǎn)組成的曲面。形象描述波的傳播情況。,例：點(diǎn)波源在各向均勻介質(zhì)傳播。,,,,,,波前——最前的波陣面。,2.波射線——波的傳播方向。,,,,,各

11、相同性的介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。,三.描述波動(dòng)的物理量,1.波速——波的傳播速度。由介質(zhì)決定。,液（氣）體中：,,體變模量,,密度,固體：,橫波：,,切變模量,縱波：,,彈性模量,,彈性模量Y：,,ΔL,,F,S,L,正應(yīng)力：,線性應(yīng)變：,實(shí)驗(yàn)表明：,切變模量 G：,,F,,,,切應(yīng)力與切應(yīng)變：,體變模量B：,,V,,V’,體積縮小ΔV，壓強(qiáng)增加Δp。,2.波長(zhǎng)λ——相鄰的兩振動(dòng)狀態(tài)完全相同的點(diǎn)之間的距離。 位相差

12、= ？,表現(xiàn)空間的周期性。,3.周期 T —— 波源傳出一個(gè)完整的波形的時(shí)間或振動(dòng)狀態(tài)傳播一個(gè)波長(zhǎng)的時(shí)間。與振動(dòng)周期相等。,表現(xiàn)時(shí)間的周期性。,4.頻率ν——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)空間某點(diǎn)的完整的波數(shù)。,5.關(guān)系式：,例 題 頻率為3000Hz的聲波以1560ms-1沿一波線傳播，經(jīng)A點(diǎn)后再經(jīng)0.13m到達(dá)B點(diǎn)。求B點(diǎn)振動(dòng)比A點(diǎn)落后的時(shí)間,相當(dāng)于多少個(gè)波長(zhǎng)，兩點(diǎn)的位相差為多少？,解：,§2.平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程 （波函數(shù)）,一

13、.作用：描述波動(dòng)規(guī)律—各質(zhì)點(diǎn) t 時(shí)刻的振動(dòng)規(guī)律。,二.導(dǎo)出,設(shè)：波源諧振，平面波、介質(zhì)無(wú)限大、波速 u.,建立坐標(biāo) 如圖：,,u,y0 = Acosωt,,p,x = 0,求 p 點(diǎn)的 y = ?,p 比 o 滯后 Δt ,,x,若 t 時(shí)刻 y0 = Acosωt,,波動(dòng)方程,其它形式：,三.方程的物理意義.,1. x = x0,x0 處的振動(dòng)方程。,2. t = t0,t0 時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移——波形圖。,,,t = t0,

14、,,t = t0 + Δt,,u,Δt = ? 周期,,p,p 點(diǎn)的振動(dòng)方向？,3. t 、x 均為變量。,各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。,4.討論：,（1）振速與波速,（2）負(fù)向傳播,振速：,波速：位相的傳播速度。,例題 求A、λ、ν、T；波形圖；,解: (1),A = 0.02m,ν= 100HZ,u = 40ms-1,T = 0.01s-1,λ= uT = 0.4m,(2),t1 = 0.0025s = ¼ T,t2 = 0

15、.005s = ½ T,Δx1 = u t1 = ¼ λ,Δx2 = u t2 = ½ λ,采用平移法，見(jiàn)圖。,,t = 0,,t = ¼ T,,t = ½ T,,u,,,,例2 已知：頻率為12.5×108的平面余弦波沿細(xì)長(zhǎng)棒傳播，楊氏模量Y為1.9×1011Nm-2,棒的密度為7.6×103kgm-3.波源振幅為0.1m.求波源的振動(dòng)方程；波動(dòng)方程；離波

16、源0.1m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；在波源振動(dòng)0.0021s時(shí)的波形方程。,解： (1),ω=2πν=25×103 Hz,A = 0.1mm = 0.1×10-3m,y = Acosωt,(2),(3)、（4）略。,§3.波的能量 能流密度 波的吸收,一.能量 狀態(tài)傳播 → 能量傳播,1.能量的表式： 介質(zhì)內(nèi)取一體積元 ΔV,(可以證明),Ek 與 Ep 同位相，

17、與諧振區(qū)別。例：縱波：,形變小，振速小。,E = E ( t ) 不守恒。,2.能量密度：,平均能量密度：ω對(duì) T 求平均.,,二.能流與能流密度,1.能流——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)媒質(zhì)中某面積的能量。,,,,,,設(shè)波速為 u .則平均能流：,,u,2.能流密度 （波強(qiáng)）——單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與傳播方向垂直的單位面積的平均能量。,3.波的吸收,振幅衰減：,波強(qiáng)衰減：,波的衰減,媒質(zhì)吸收,傳播距離,空氣中低音衰減小，次聲波衰減更小?；疖嚻眩郝暡ㄊ?/p>

18、多公里，次聲波幾百公里。,§4. 聲波,一.聲波 20—20000Hz,1.聲壓,產(chǎn)生：媒質(zhì)振動(dòng)，密度變化。,定義：某一時(shí)刻，媒質(zhì)中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)與無(wú)聲波通過(guò)時(shí)的壓強(qiáng)之差。,聲壓的幅值：,（可以證明）,2.聲強(qiáng)：聲波的強(qiáng)度——能流密度,頻率越高，聲強(qiáng)、聲壓越大。,炮聲：1w/m2 超聲波：109w/m2 數(shù)百個(gè)大氣壓。,3.聲強(qiáng)級(jí),人耳對(duì)聲波的反應(yīng)： 聲強(qiáng)、頻率。,聽閾——引起人耳聽覺(jué)聲強(qiáng)的下限。

19、,痛閾——引起人耳聽覺(jué)聲強(qiáng)的上限。均與頻率有關(guān)。,例：1kHz 聽閾：10-12 w/m2 痛閾：1w/m2,100Hz 聽閾：10-9 w/m2 痛閾： 1.4w/m2,人耳的敏感頻率：1000——5000Hz,同一頻率，聽閾與痛閾差別：1kHz：1012 人耳主觀感受（響度）：實(shí)驗(yàn)事實(shí)：聲強(qiáng)大十倍，響度大一倍。,用對(duì)數(shù)表示聲強(qiáng)的等級(jí)——聲強(qiáng)級(jí)。,設(shè) I

20、 為聲強(qiáng)，以 I0 = 10-12 w/m2 為基準(zhǔn)。,例：1kHz的痛閾的聲強(qiáng)級(jí)。,聲強(qiáng)級(jí)與響度：,0—20db 很靜,20—40db 安靜,40—60db 一般,60—80db 吵鬧,80—100db 很吵,100—120db 無(wú)法忍受,120db以上 痛苦,4.噪聲：損傷聽覺(jué)細(xì)胞，干擾中樞神經(jīng)正常功能，使人神經(jīng)衰弱、頭痛、消化不良等。,二.次聲波與超聲波,1.次聲波

21、：衰減小，在空氣、海洋、地下均能暢通無(wú)阻。,可監(jiān)聽核試驗(yàn)、火箭發(fā)射、火山噴發(fā)、臺(tái)風(fēng)、地震的信號(hào)，并可用計(jì)算機(jī)精確測(cè)定方位。,對(duì)人的影響：干擾神經(jīng)系統(tǒng)正常功能，使人頭暈、惡心、嘔吐、喪失平衡感，并精神沮喪。,更強(qiáng)的次聲波還能使人昏迷、耳聾、精神失常甚至死亡。,動(dòng)物實(shí)驗(yàn)：狗：172db 呼吸困難，窒息。192db，,頻率 6—9Hz 立即死亡。,2.超聲波,(1)特性：傳播方向性好，易于聚集，衍射作用小，反射強(qiáng)；穿透本領(lǐng)強(qiáng)，

22、在固體、液體中衰減?。豢色@取較大功率。,（2）應(yīng)用： 工業(yè)上：探傷，能穿透幾十米的金屬層；切割、鉆孔，加工寶石、石英和超硬金屬；焊接，進(jìn)行冷焊。,農(nóng)業(yè)上：處理種子，提高發(fā)芽率、抗病性；處理土壤，增加肥力；超聲殺菌；滴蟲類在其作用下細(xì)胞被破壞而死亡；刺激植物生長(zhǎng)；加速新酒老化。,§5. 惠更斯原理,一.現(xiàn)象:出現(xiàn)繞射。,,,,,,,,二.原理： 媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)，都可看作是發(fā)射子波的波源；在其后的任一時(shí)刻，這些子波

23、的抱跡就決定新的波陣面。,可解決波的傳播方向的問(wèn)題。,也可證明反射定律與折射定律。,§5. 波的疊加原理 波的干涉 駐波,一.疊加原理,1.獨(dú)立性：每個(gè)波保持原有特性，互不干擾。,2.疊加性：波相遇區(qū)域中質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波在此產(chǎn)生的振動(dòng)的疊加。,二.干涉,1.現(xiàn)象：兩列波相遇區(qū)域出現(xiàn)某些位置振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些位置振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象。此兩列波稱為相干波。,2.相干條件：頻率、振動(dòng)方向相同，位相差恒定。,3.干涉極大

24、與干涉極小的位置,,y10,,y20,,p,r1,,r2,設(shè),p 點(diǎn)的振動(dòng)：,y = y1 + y2,同頻率、同方向振動(dòng)的合成。,當(dāng)：,A = A 1 + A2 —— 極大,k = 0,1,2 …,k = 0,1,2 …,——極小,A 的大小取決于 什么？,當(dāng)：φ1=φ2,,,r 2－ r 1 —— 波程差,一般 A 介于 Amin 與 Amax 之間。,三. 駐波,特例：A 相同的相干波，反向傳播疊加而成。,特點(diǎn)

25、：1.振幅,——為 x 的函數(shù)。,x = ± kλ/2,振幅為 2A ，稱為波腹。,x = (2k+1)λ/4,振幅為零，稱為波節(jié)。,2.間距,波腹：,波節(jié)與波腹：,3.傳播情況：x 不同，振幅不同，各質(zhì)點(diǎn)以各自的振幅作諧振，并不重復(fù)前面的振動(dòng)，狀態(tài)與能量無(wú)傳播。,4.半波損失,從波疏到波密（ρu 較大）出現(xiàn)波節(jié)，反射出現(xiàn)振動(dòng)方向突變，也稱位相突變。,§7. 多普勒效應(yīng),討論波源與觀察者相對(duì)與介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)觀察者接受到

26、的頻率發(fā)生的變化的情況。,頻率：,波源：波源在單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)或發(fā)出的完整波數(shù)。,觀察者：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)接受到的振動(dòng)次數(shù)或完整波數(shù)。,波的：介質(zhì)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)或通過(guò)的完整波數(shù)。且有：,這三種頻率可以互不相同。,一.觀察者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度為v,相向運(yùn)動(dòng)：,,u,,v,假設(shè)人不動(dòng)，波傳播,x1=udt,人運(yùn)動(dòng)：,,x2 =vdt,dt時(shí)間內(nèi)人觀察到的波數(shù)：,單位時(shí)間內(nèi)的波數(shù)：,而：,,波源頻率,所以：,增加,遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)：可以證明

27、,減小,二.波源運(yùn)動(dòng) 速度為vs,此時(shí)波長(zhǎng)會(huì)變化,波長(zhǎng)：介質(zhì)中位相差為2π的兩個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的距離。,設(shè)波源運(yùn)動(dòng)vs：,,,s,,s,,u,,,,vsT,頻率增加。,若遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，則：,減小,三.波源于觀察者同時(shí)運(yùn)動(dòng),相向運(yùn)動(dòng)：v取正，vs取負(fù),遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)：v取負(fù)，vs取正,即，相向運(yùn)動(dòng)，頻率增加，遠(yuǎn)離運(yùn)動(dòng)，頻率減小。,例題：   P、Q為兩個(gè)以同相位、同頻率、同振幅振動(dòng)的相干波源，它們?cè)谕幻劫|(zhì)中。設(shè)頻率為ν，波長(zhǎng)為

28、λ   ，P、Q間距離為 λ     ，R為PQ連線上P、Q兩點(diǎn)之外的任一點(diǎn)，試求：（1）自P發(fā)出的波在R點(diǎn)的振動(dòng)與自Q發(fā)出的波在R點(diǎn)振動(dòng)的相位差（2）R點(diǎn)的合振動(dòng)的振幅,,,,,P,Q,R,解：,關(guān)于我們的宇宙究竟是怎樣形成的，目前為大多數(shù)科學(xué)家接受的是大爆炸宇宙學(xué)。它認(rèn)為，我們的宇宙起源于一個(gè)溫度極高，體積極小的原始火球，在距今約200億年前，由于我們還不知道的物理原因

29、，這個(gè)火球發(fā)生大爆炸，我們的宇宙在大爆炸中誕生，隨著時(shí)間的膨脹，溫度降低，物質(zhì)的密度也逐漸減小，原先存在的質(zhì)子、中子等基本粒子結(jié)合成氘、氦、鋰等元素，以后又形成星系、星系團(tuán)，并逐漸形成恒星。目前我們的宇宙仍在膨脹，它的有力證據(jù)之一就是光譜的紅移。,在電磁波的多普勒效應(yīng)中，當(dāng)光源遠(yuǎn)離接收器運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收到的頻率變小，因而波長(zhǎng)變長(zhǎng)，這種現(xiàn)象叫紅移。天文學(xué)家將來(lái)自星球的光譜與地球上相同元素的光譜比較，發(fā)現(xiàn)星球的光譜幾,乎都發(fā)生紅移，就是整個(gè)光譜

30、結(jié)構(gòu)向光譜紅色一端偏移，這現(xiàn)象可以用多普勒效應(yīng)加以解釋為這起源于星系的退行，即離開我們的運(yùn)動(dòng)。從紅移的大小還可以算出這種退行速度。根據(jù)這種解釋，絕大多數(shù)星系都以不同的速度離開我們運(yùn)動(dòng)著。    1929年哈勃把他所測(cè)得的各星系的距離和它們各自的退行速度畫到一張圖上，他發(fā)現(xiàn)在大尺度上，星系的退行速度是和它們離開我們的距離成正比，越遠(yuǎn)的星系退行的越快，這一正比關(guān)系叫做哈勃定律，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：,V = H0