參數(shù)估計(jì)與非參數(shù)估計(jì)

1、第五章 參數(shù)估計(jì)與非參數(shù)估計(jì),參數(shù)估計(jì)與監(jiān)督學(xué)習(xí) 參數(shù)估計(jì)理論非參數(shù)估計(jì)理論,§5-1 參數(shù)估計(jì)與監(jiān)督學(xué)習(xí)貝葉斯分類器中只要知道先驗(yàn)概率，條件概率或后驗(yàn)概概率 P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x)就可以設(shè)計(jì)分類器了?，F(xiàn)在來研究如何用已知訓(xùn)練樣本的信息去估計(jì)P(ωi),P(x/ωi), P(ωi /x) 一．參數(shù)估計(jì)與非參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)：先假定研究的問題具有某種數(shù)學(xué)模型，如

2、 正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，再用已知類別的學(xué)習(xí) 樣本估計(jì)里面的參數(shù)。非參數(shù)估計(jì)：不假定數(shù)學(xué)模型，直接用已知類別的學(xué)習(xí) 樣本的先驗(yàn)知識直接估計(jì)數(shù)學(xué)模型。,二．監(jiān)督學(xué)習(xí)與無監(jiān)督學(xué)習(xí)監(jiān)督學(xué)習(xí)：在已知類別樣本指導(dǎo)下的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練， 參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)都屬于監(jiān)督學(xué)習(xí)。無監(jiān)督學(xué)習(xí)：不知道樣本類別，只知道樣本的某些

3、 信息去估計(jì)，如：聚類分析。,§5-2參數(shù)估計(jì)理論 一．最大似然估計(jì)假定： ①待估參數(shù)θ是確定的未知量 ②按類別把樣本分成M類X1，X2，X3，… XM 其中第i類的樣本共N個 Xi = (X1,X2,… XN)T 并且是獨(dú)立從總體中抽取的 ③ Xi中的樣本不包含

4、 (i≠j)的信息，所以可以對每一 類樣本獨(dú)立進(jìn)行處理。 ④ 第i類的待估參數(shù)根據(jù)以上四條假定，我們下邊就可以只利用第i類學(xué)習(xí)樣本來估計(jì)第i類的概率密度，其它類的概率密度由其它類的學(xué)習(xí)樣本來估計(jì)。,,1.一般原則： 第i類樣本的類條件概率密度： P(Xi/ωi)= P(Xi/ωi﹒θi) = P(Xi/θi)原屬于i類的學(xué)習(xí)樣本為Xi=(X1 , X2 ,…XN,)T

5、 i=1,2,…M求θi的最大似然估計(jì)就是把P(Xi/θi)看成θi的函數(shù)，求出使它最大時(shí)的θi值。∵學(xué)習(xí)樣本獨(dú)立從總體樣本集中抽取的∴

6、 N個學(xué)習(xí)樣本出現(xiàn)概率的乘積取對數(shù) ：,對θi求導(dǎo),并令它為0：有時(shí)上式是多解的, 上圖有5個解,只有一個解最大即.,,,,,,,P(Xi/θi),2. 多維正態(tài)分布情況① ∑已知, μ未知,估計(jì)μ 服從正態(tài)分布所以在正態(tài)分布時(shí),,,,,,代入上式得,所以這說明未知均值的最大似然估計(jì)正好是訓(xùn)練樣本的算術(shù)平均。,,,② ∑， μ均未知

7、A. 一維情況：n=1對于每個學(xué)習(xí)樣本只有一個特征的簡單情況：

8、 (n=1)由上式得 即學(xué)習(xí)樣本的算術(shù)平均 樣本方差,,,討論： 1.正態(tài)總體均值的最大似然估計(jì)即為學(xué)習(xí)樣本的算術(shù)平均 2

9、.正態(tài)總體方差的最大似然估計(jì)與樣本的方差不同，當(dāng)N較大的時(shí)候，二者的差別不大。B．多維情況：n個特征（學(xué)生可以自行推出下式）估計(jì)值： 結(jié)論：①μ的估計(jì)即為學(xué)習(xí)樣本的算術(shù)平均 ②估計(jì)的協(xié)方差矩陣是矩陣 的算術(shù) 平均（nⅹn陣列， nⅹn個值）,,,二.貝葉斯估計(jì) 最大似然估計(jì)是把待

10、估的參數(shù)看作固定的未知量，而貝葉斯估計(jì)則是把待估的參數(shù)作為具有某種先驗(yàn)分布的隨機(jī)變量，通過對第i類學(xué)習(xí)樣本Xi的觀察，使概率密度分布P(Xi/θ)轉(zhuǎn)化為后驗(yàn)概率P(θ/Xi) ，再求貝葉斯估計(jì)。估計(jì)步驟: ① 確定θ的先驗(yàn)分布P(θ),待估參數(shù)為隨機(jī)變量。 ② 用第i類樣本xi=(x1, x2,…. xN)T求出樣本的聯(lián)合概率密度分布P(xi|θ)，它是θ的函數(shù)。 ③ 利用貝葉斯公式,求θ的后驗(yàn)概率

11、60; ④,下面以正態(tài)分布的均值估計(jì)為例說明貝葉斯估計(jì)的過程 一維正態(tài)分布:已知σ2,估計(jì)μ 假設(shè)概率密度服從正態(tài)分布 P(X|μ)=N(μ,σ2), P(μ)=N(μ0,σ02) 第i類學(xué)習(xí)樣本xi=(x1, x2,…. xN)T, i=1,2,…M 第i類概率密度P(x|μi,xi)=P(x|xi) 所以

12、后驗(yàn)概率 (貝葉斯公式),,因?yàn)镹個樣本是獨(dú)立抽取的，所以上式可以寫成 其中 為比例因子,只與x有關(guān),與μ無關(guān)

13、∵ P(Xk| μ)=N(μ,σ2),P(u)=N(μ0,σ02) 其中a’,a’’包含了所有與μ無關(guān)的因子,,,,,,∴P(μ| xi)是u的二次函數(shù)的指數(shù)函數(shù)∴P(μ| xi)仍然是一個正態(tài)函數(shù), P(μ|Xi)=N(μN(yùn),σN2) 另外后驗(yàn)概率可以直接寫成正態(tài)形式：比較以上兩個式子,對應(yīng)的系數(shù)應(yīng)該相等∴,,,,,

14、解以上兩式得 將μN(yùn),σN2代入P(μ|Xi)可以得到后驗(yàn)概率，再用公式,∴對μ的估計(jì)為 若令P(μ)=N(μ0, σ02 )=N(0,1) 與最大似然估計(jì)相似，只是分母不同,,,,∵,三．貝葉斯學(xué)習(xí)1.貝葉斯學(xué)習(xí)的概念：求出μ的后驗(yàn)概率之后，直接去推導(dǎo)總體分布即當(dāng)觀察一個樣本

15、時(shí)，N=1就會有一個μ的估計(jì)值的修正值當(dāng)觀察N=4時(shí)，對μ進(jìn)行修正，向真正的μ靠近當(dāng)觀察N=9時(shí)，對μ進(jìn)行修正，向真正的μ靠的更近當(dāng)N↑,μN(yùn)就反映了觀察到N個樣本后對μ的最好推測，而σN2反映了這種推測的不確定性, N↑, σN2↓,σN2 隨觀察樣本增加而單調(diào)減小，且當(dāng)N→∞, σN2 →0 當(dāng)N↑，P(μ|xi)越來越尖峰突起N→∞, P(μ|xi)→σ函數(shù)，這個過程成為貝葉斯學(xué)習(xí)。,,,2．類概率密度的估計(jì)

16、 在求出u的后驗(yàn)概率P(μ|xi)后，可以直接利用式 推斷類條件概率密度。即P(x|xi)＝ P(x|ωi ，xi)⑴一維正態(tài)：已知σ2，μ未知∵μ的后驗(yàn)概率為,,,,,,,結(jié)論： ①把第i類的先驗(yàn)概率P(ωi)與第i類概率密度P(x|xi)相乘可以 得到第i類的后驗(yàn)概率P(ωi/x) ，根據(jù)后驗(yàn)概率可以

17、分類。 ②對于正態(tài)分布P(x|xi)，用樣本估計(jì)出來的μN(yùn)代替原來的μ 用 代替原來的方差 即可。 ③把估計(jì)值μN(yùn)作為μ的實(shí)際值，那么使方差由原來的 變 為 ,使方差增大,,,,,⑵多維正態(tài)（ 已知Σ，估計(jì)μ ）設(shè)P(x|μ)=N(μ,∑) P(μ)=N(μ0,∑0).根據(jù)Bayes公式，仿上面步驟可以得到：

18、ΣN , μN(yùn) 有以下關(guān)系,,,,,,其中a與μ無關(guān),這就是在多維情況下，對μ的估計(jì),§ 5-3非參數(shù)估計(jì) 參數(shù)估計(jì)要求密度函數(shù)的形式已知，但這種假定有時(shí)并不成立，常見的一些函數(shù)形式很難擬合實(shí)際的概率密度，經(jīng)典的密度函數(shù)都是單峰的，而在許多實(shí)際情況中卻是多峰的，因此用非參數(shù)估計(jì)。非參數(shù)估計(jì):直接用已知類別樣本去估計(jì)總體密度分布，方法有： ① 用樣本直接去估計(jì)類概率密度p(x/ωi)以

19、此來設(shè)計(jì)分類器, 如窗口估計(jì) ② 用學(xué)習(xí)樣本直接估計(jì)后驗(yàn)概率p(ωi/x)作為分類準(zhǔn)則 來設(shè)計(jì)分類器如k近鄰法. 1.  密度估計(jì):一個隨機(jī)變量X落在區(qū)域R的概率為P P(X’)為P(X)在R內(nèi)的變化值,P(X)就是要求的總體概率密度,,,R,,P(x),假設(shè)有N個樣本X=(X1, X2,… XN)T都是按照P(X)

20、從總體中獨(dú)立抽取的 若N個樣本中有k個落入在R內(nèi)的概率符合二項(xiàng)分布 其中P是樣本X落入R內(nèi)的概率

21、 Pk是k個樣本落入R內(nèi)的概率 數(shù)學(xué)期望:E(k)=k=NP ∴對概率P的估計(jì): 。 是P的一個比較好的估計(jì) 設(shè)P(x’)在R內(nèi)連續(xù)變化,當(dāng)R逐漸減小的時(shí)候,小到使P(x)在其上 幾乎沒有變化時(shí)，則 其中

22、 是R包圍的體積,,,,∴ ∴ 條件密度的估計(jì)： (V足夠小)討論:① 當(dāng)V固定的時(shí)候N增加, k也增加,當(dāng) 時(shí) 只反映了P(x)的空間平均估計(jì)而反映不出空間的變化 ② N固定

23、,體積變小 當(dāng) 時(shí),k=0時(shí) 時(shí) 所以起伏比較大,噪聲比較大,需要對V進(jìn)行改進(jìn).,,,,,,對體積V進(jìn)行改進(jìn)：為了估計(jì)X點(diǎn)的密度,我們構(gòu)造一串包括X的區(qū)域序列R1,R2,.. RN.對R1采用一個樣本進(jìn)行估計(jì)，對R2

24、采用二個樣本進(jìn)行估計(jì)..。設(shè)VN是RN的體積，KN是N個樣本落入VN的樣本數(shù)則密度的第N次估計(jì)： VN是RN的體積 KN是N個樣本落入VN的樣本

25、數(shù)∴PN(x)是P(x)的第N次估計(jì),,,,,若PN(x)收斂于P(x)應(yīng)滿足三個條件： ① ，當(dāng)N↑時(shí)，VN↓，N→∞，VN→0 這時(shí)雖然樣本數(shù)多，但由于VN↓，落入VN內(nèi)的樣本KN 也減小，所以空間變化才反映出來 ② ，N ↑ ，kN ↑ ，N與KN同相變化  ③ ，KN的變

26、化遠(yuǎn)小于N的變化。 因此盡管在R內(nèi)落入了很多的樣本，但同總數(shù)N比較, 仍然是很小的一部分。,如何選擇VN滿足以上條件： ①使體積VN以N的某個函數(shù)減小，如  (h為常數(shù)) ②使KN作為N的某個函數(shù)，例 VN的選擇使RN正好包含KN個近鄰 V1→K1，V2→K2，..VR→KR →Kn近鄰法,,,窗口法,2.Parzen窗口估計(jì)假設(shè)RN為一個d維的超立方體，h

27、N為超立方體的長度∴超立方體體積為： ， d=1，窗口為一線段 d=2，窗口為一平面 d=3，窗口為一立方體 d>3，窗口為一超立方體窗口的選擇：,,,,方窗函數(shù),指數(shù)窗函數(shù),正態(tài)窗函數(shù),Φ(u),Φ(u),Φ(u),,,,hN,正態(tài)窗函數(shù),∵ ф(u) 是以原點(diǎn)x為中心的超立方體?！嘣趚i落入方窗時(shí)，則有

28、 在VN內(nèi)為1 不在VN內(nèi)為0落入VN的樣本數(shù)為所有為1者之和∴ 密度估計(jì),,,,,討論： ① 每個樣本對估計(jì)所起的作用依賴于它到x的距離，即 | x-xi|≤hN/2時(shí)， xi在VN內(nèi)為1，否則為0。 ②

29、 稱為 的窗函數(shù)，取0，1兩種值，但有 時(shí)可以取0, 0.1, 0.2……多種數(shù)值，例如隨xi離x接近的程度， 取值由0, 0.1, 0.2……到1。,,,,③ 要求估計(jì)的PN(x)應(yīng)滿足：為滿足這兩個條件，要求窗函數(shù)滿足：④ 窗長度hN對PN(x)的影響若hN太大, PN(x)是P(x)的一個平坦, 分辨率低的估計(jì), 有平均誤

30、差若hN太小, PN(x)是P(x)的一個不穩(wěn)定的起伏大的估計(jì),有噪聲誤差為了使這些誤差不嚴(yán)重， hN應(yīng)很好選擇,例1：對于一個二類（ ω1 ，ω2 ）識別問題，隨機(jī)抽取ω1類的6個樣本X=(x1，x2，…. x6)ω1=(x1，x2，…. x6) =(x1=3.2，x2=3.6，x3=3，x4=6，x5=2.5，x6=1.1)估計(jì)P(x|ω1)即PN(x)解：選正態(tài)窗函數(shù),,,,,,,,,,,,0,1,2,3

31、,4,5,6,,,,,,,x6,x5,x3,x1,x2,x4,x,∵x是一維的上式用圖形表示是6個分別以3.2，3.6，3，6，2.5，1.1為中心的丘形曲線(正態(tài)曲線)，而PN(x)則是這些曲線之和。,由圖看出，每個樣本對估計(jì)的貢獻(xiàn)與樣本間的距離有關(guān)，樣本越多， PN(x)越準(zhǔn)確。,例2：設(shè)待估計(jì)的P(x)是個均值為0，方差為1的正態(tài)密度函數(shù)。若隨機(jī)地抽取X樣本中的1個、 16個、 256個作為學(xué)習(xí)樣本xi,試用

32、窗口法估計(jì)PN(x)。解：設(shè)窗口函數(shù)為正態(tài)的， σ＝1，μ＝0hN:窗長度，N為樣本數(shù)，h1為選定可調(diào)節(jié)的參數(shù)。,討論：由圖看出, PN(x)隨N, h1的變化情況 ①當(dāng)N＝1時(shí)， PN(x)是一個以第一個樣本為中心的正態(tài)形狀的小丘，與窗函數(shù)差不多。 ②當(dāng)N＝16及N=256時(shí) h1＝0.25 曲線起伏很大，噪聲大 h1＝1 起伏減小 h1＝4 曲線平坦，平均誤差 ③當(dāng)N→∞

33、時(shí)， PN(x)收斂于一平滑的正態(tài)曲線， 估計(jì)曲線較好。,例3。待估的密度函數(shù)為二項(xiàng)分布解：此為多峰情況的估計(jì)設(shè)窗函數(shù)為正態(tài)解：此為多峰情況的估計(jì)設(shè)窗函數(shù)為正態(tài),,,,,,,,x,-2.5,-2,1,0.25,0,2,P(x),,-0.25<x<-2,0<x<2,x為其它,,當(dāng)N=1、16、256、 ∞時(shí)的PN(x)估計(jì)如圖所示 ①當(dāng)N＝1時(shí)， PN(x) 實(shí)際是窗函數(shù)。 ②當(dāng)N

34、＝16及N=256時(shí) h1＝0.25 曲線起伏大 h1＝1 曲線起伏減小 h1＝4 曲線平坦 ③當(dāng)N→∞時(shí)，曲線較好。,結(jié)論： ①由上例知窗口法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用的普遍性。對規(guī)則分布，非規(guī)則分布，單鋒或多峰分布都可用此法進(jìn)行密度估計(jì)。 ②要求樣本足夠多，才能有較好的估計(jì)。因此使計(jì)算量，存儲量增大。,3.KN近鄰估計(jì)：在窗口法中存在一個問題是對hN的選擇問題。若hN選太小，則大部分體積將是空的（

35、即不包含樣本），從而使PN(x)估計(jì)不穩(wěn)定。若hN選太大，則PN(x)估計(jì)較平坦，反映不出總體分布的變化，而KN近鄰法的思想是以x為中心建立空胞，使v↑，直到捕捉到KN個樣本為止?！?稱KN-近鄰估計(jì) v的改進(jìn)，樣本密度大，VN ↓; 樣本密度小，VN ↑; ∴P(x)的估計(jì)為：,,,,,使PN(x)收斂于P(x)

36、的充分必要條件： ① ，N與KN同相變化 ② ，KN的變化遠(yuǎn)小于N的變化 ③,V1為N=1時(shí)的VN值,∴KN近鄰估計(jì)對KN和VN都作了限制KN近鄰法作后驗(yàn)概率的估計(jì)由KN近鄰估計(jì)知N個已知類別樣本落入VN內(nèi)為KN個樣本的概率密度估計(jì)為： N個樣本落入VN內(nèi)有KN個，KN個樣本內(nèi)有Ki個樣本屬于ωi類則聯(lián)合概

37、率密度：,,,根據(jù)Bayes公式可求出后驗(yàn)概率：類別為ωi的后驗(yàn)概率就是落在VN內(nèi)屬于ωi的樣本ki與VN內(nèi)總樣本數(shù)KN的比值,∴,∵,K近鄰分類準(zhǔn)則：對于待分樣本x，找出它的k個近鄰，檢查 它的類別，把x歸于樣本最多的那個類別。K近鄰分類的錯誤率隨K↑，Pk↓,最低的錯誤率為Bayes分類。,,P*,PK,4、最近鄰分類準(zhǔn)則：待分樣本x，找一個離

38、它最近的樣本，把x歸于最近的樣本一類。錯誤率： M為類別數(shù)P(e)為Bayes估計(jì)的錯誤率最近鄰分類法則的錯誤率P比K近鄰錯誤率還大，但最大不會超過貝葉斯分類器錯誤率的二倍。,,,P,P(e