二維區(qū)域本征值問題的研究畢業(yè)論文

1、二維區(qū)域上本征值問題的研究第1頁共9頁二維區(qū)域上本征值問題的研究二維區(qū)域上本征值問題的研究徐榮超(安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院安徽安慶246011)指導(dǎo)教師：章禮華摘要：摘要：本文是對二維區(qū)域上的本征值問題進(jìn)行研究，二維本征值問題涉及二維振動問題、輸運(yùn)問題以及穩(wěn)定場等問題。首先寫出相關(guān)的定解問題，然后導(dǎo)出二維本征值問題，如矩形、圓形、三角形、扇環(huán)形等區(qū)域，并運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方法教程中所涉及的方法對其進(jìn)行求解，例如分離變量法，拉普拉斯變換法

2、，得到本征值和本征函數(shù)。最后對各種二維區(qū)域的本征值問題進(jìn)行總結(jié)，并進(jìn)行分析比較。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：二維區(qū)域，本征值問題，分離變量法1引言引言在運(yùn)用數(shù)學(xué)物理方程來研究物理問題時，我們都必須要解數(shù)學(xué)物理方程而求解數(shù)學(xué)物理方程的過程中必然會產(chǎn)生本征值問題，需要我們對本征值問題進(jìn)行求解。梁昆淼的《數(shù)學(xué)物理方法》、姚端正的《數(shù)學(xué)物理方法》以及四川大學(xué)出版的《高等數(shù)學(xué)第四冊》均詳細(xì)的向我們講解了利用分離變量法、積分變換等方法來對各種有界問題進(jìn)行求解，

3、其中包括矩形區(qū)域和圓形區(qū)域[1][2][3]；章禮華的《等腰三角形薄膜振動的解析解》在矩形膜的特征解的基礎(chǔ)上，求解了占據(jù)等腰三角形區(qū)域的均勻膜的橫振動問題，并討論了等腰三角形的均勻膜的橫振動的某些性質(zhì)[4]；彭芳麟的《數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB求解與可視化》以及《計(jì)算物理基礎(chǔ)》向我們介紹了利用MATLAB指令來求解二維區(qū)域上本征值問題，并可將結(jié)果用圖形甚至動畫表現(xiàn)出來[5][6]。在解決二維振動方程問題、輸運(yùn)問題或者穩(wěn)定場等問題時免不了

4、要面臨對二維本征值問題的求解，因此研究二維區(qū)域上本征值問題對于解決各種二維數(shù)學(xué)物理方程有著非常重要的作用和意義。2本征值問題的基本概念本征值問題的基本概念考慮長為兩端固定的弦的自由振動l(1)??????????????????????0)()(000000002lxxuxutuutlxuautttlxxxxtt??由經(jīng)典力學(xué)的知識我們清楚地知道，兩端固定的弦的自由振動會產(chǎn)生駐波，這就指導(dǎo)我們應(yīng)該考慮利用駐波的一些性質(zhì)來解決這樣的問題。

5、在經(jīng)典力學(xué)中，駐波的表達(dá)式為(2)txAtxu????2cos2cos2)(?對于定解問題(1)式可設(shè)其分離變數(shù)的試探解為(3))()()(tTxXtxu?也就是說和分別只是變量和的函數(shù)，變量和可以分開互不影響。把試探解)(xX)(tTxtxt（3）式帶入定解問題方程，分離變量得到二維區(qū)域上本征值問題的研究第3頁共9頁（9）將定解問題分離變量得三個方程為(10)0)()()(?????xXxX??(11)0)()(????yYyY?(1

6、2)0)(2????TatT?方程（10）和其對應(yīng)的邊界條件構(gòu)成一個本征值問題????????????0)(0)0(0)()()(cxXxXxXxX??(13)方程（11）和其對應(yīng)的邊界條件構(gòu)成又一個本征值問題(14)???????????0)(0)0(0)()(byYyYyYyY?分別求解得到本征值問題（13）和（14）的本征值和本征函數(shù)分別為(15)?????321)(sin)(2mbmbymyYmm???(16)??????321

7、)(sin)(2ncncxnxXmmnm????即得到矩形膜的振動的本征模為22)()(sinsin)()(cnbmbymcxnyYxXmnmm????????3.23.2圓形區(qū)域上本征值問題圓形區(qū)域上本征值問題考慮一個半徑為上下兩面絕熱的薄圓盤上的穩(wěn)定溫度分布問題，如圖2所示。由于邊界是圓周，a因此采用極坐標(biāo)求解更為簡便，又因?yàn)閳A盤的上下兩面絕熱，所以沒有熱量流動，又因?yàn)閳A盤很薄，因此可以看成是二維圓形區(qū)域的穩(wěn)定場問題。在極坐標(biāo)下該問