數(shù)學(xué)學(xué)年論文畢業(yè)論文正定二次型的判斷及應(yīng)用

1、1正定二次型的判斷及應(yīng)用正定二次型的判斷及應(yīng)用摘要：摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文總結(jié)了正定二次型的一些判斷方法及其在證明不等式與極值問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：正定二次型正定陣順序主子式一、正定二次型的判斷一、正定二次型的判斷:定理定理1、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是它的正慣性指數(shù)等于n證明證明設(shè)實二次型經(jīng)線形替換X=PY化為標準形:AXXxxxfn??)(21?222

2、2211nnydydydf?????)1(其中由于為可逆矩陣所以不全為零時.21niRdi???pnxxx21?也不全為零反之亦然.nyyy21?如果是正定二次型那么當不全為零即不全)(?fnxxx21?nyyy21?為零時有02222211?????nnydydydf?)2(若有某個比方說則對這組不)1(nidi??.0?nd10121??????nnyyyy?全為零的數(shù)代入式后得這與是正定二次型矛盾因此必有)1(.0??ndff.)

3、21.(0nidi???即的正慣性指數(shù)等于fn如果的正慣性指數(shù)等于則于是當不)(?fn)21(0nidi???nxxx21?全為零即當不全為零時式成立從而是正定型nyyy21?)2(f定理定理2、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是對任何維實的非零列向量必有nX0??AXX3的規(guī)范形為則的正慣性指數(shù)為)(?f2222121)(nnyyyxxxf??????f由定理1可知為正定二次型nf定理定理4、實

4、二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是矩陣與單位矩陣合同A證明：證明：實二次型是正定二次型則由定)(?)()(21AAAXXxxxfn?????理3可知的規(guī)范形為f2222121)(nnyyyxxxf??????此即存在非退化線形替換其中可逆使得(CYX?C)2222121)()()(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf?????????????所以因此矩陣單位矩陣合同EACC??A矩陣單位矩陣

5、合同則存在可逆矩陣使得，令)(?ACEACC??則CYX?2222121)()()(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf?????????????因此由證明4可知是正定二次型f定理定理5、實二次型是正定二次型的充要條件)()(21AAAXXxxxfn?????是矩陣的主子式全大于零A證明：證明：實二次型是正定二次型以表)(?)()(21AAAXXxxxfn?????kA示的左上角階矩陣下證考慮以為矩陣的二次型Ak)21(0nkA