古典概型中的幾類基本問題

1、1古典概型中的幾類基本問題1引言對(duì)于古典概型問題的求解，首先要做到這三方面的工作：一是明確分辨問題的性質(zhì)，即是67]1[不是古典概型問題；二是掌握古典概型的公式；三是根據(jù)公式要求，確定（基本事件總數(shù)）和n（有利事件總數(shù)）的值，這是解題的關(guān)鍵一步，計(jì)算方法靈活多變，沒有一個(gè)固定的模式，k17]2[但古典概型的種種解法大體上都是圍繞和展開的nk拋硬幣、擲骰子、摸球、取數(shù)等隨機(jī)試驗(yàn)，在概率問題的研究中有著十分重要的意義一方面，這些模型是人們從

2、大量的隨機(jī)現(xiàn)象中篩選出來的理想化的概率模型，它們的內(nèi)容生動(dòng)形象，結(jié)構(gòu)清楚明確，富有直觀性和典型性，便于深入淺出地反映事物的本質(zhì)，揭示事物的規(guī)律另一方面，這種模式化的解決，常常歸結(jié)為某種簡(jiǎn)單的模型因此，有目的地考察并掌握若干常見的概率模型，有助于我們舉一反三，觸類旁通，豐富解題的技能和技巧，不斷提高解題能力通過對(duì)相關(guān)資料的查詢及老師的指導(dǎo)，本文主要討論古典概率的三類基本問題：摸球問題、質(zhì)點(diǎn)入盒問題、隨機(jī)取數(shù)問題，給出它們的一般解法，指出其

3、典型意義，并介紹其推廣應(yīng)用2摸球模型摸球模型是指從個(gè)可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否計(jì)序等）一個(gè)一個(gè)地n從中取出（）個(gè)，從而得到不同的樣本空間，然后在各自的樣本空間中計(jì)算事件的概mnm?率一般說來，根據(jù)摸球的方式不同，可分為四種情況來討論，得如下表一的四種不同的樣本空間：表一26]3[其中表示從個(gè)不同元素中取個(gè)元素進(jìn)行元素的可重復(fù)的組合時(shí)其不同的組mnmmnHC???1nm摸球方式不同摸法總數(shù)計(jì)序mn有放回不計(jì)序mnmmn

4、HC???1計(jì)序mnA從個(gè)球n中摸個(gè)球m無放回不計(jì)序mnC3第一個(gè)和第三個(gè)黑球可在個(gè)黑球中依次取得，有種取法；第二個(gè)白球可在個(gè)白球中取得，?2?P?有種取法因此，所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為，于是1?PA12??PP312)(??????PPPAP2.42.4無放回且不計(jì)序問題無放回且不計(jì)序問題如果摸球是無放回且不計(jì)序，其樣本空間的基本事件總數(shù)是從不同元素中取出若干個(gè)元素的所有不同的組合個(gè)數(shù)例袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球，問：從中不放回取出（4??nm

5、?）個(gè)球，試求所取出的球恰有個(gè)白球的概率?????nmNnm，，、m思考方法：這些同類球都不加區(qū)別，即不計(jì)序，又抽取后部返回，因而本例屬無放回且不計(jì)序的摸球模型，其基本事件總數(shù)為，此事件為“取出個(gè)球中恰有個(gè)白球”，而事件nmC????Anm?m所包含的樣本點(diǎn)數(shù)，相當(dāng)于從個(gè)白球中取出個(gè)，從另外個(gè)球中任取個(gè)取法種A?mm????n數(shù)共，所以nmmCC?????nmnmmCCCAP??????????)(前面我們對(duì)摸球模型的各種類型進(jìn)行了歸納

6、，如果把白球、黑球換成產(chǎn)品中的正品、次品，或換成甲物、乙物，這樣的人、那樣的人……就可以得到形形色色的摸球問題如果能靈活地將這些實(shí)際問題與前面的模型類型對(duì)號(hào)入座，我們就能解決有關(guān)的實(shí)際問題，為我們的生活帶來方便和樂趣，例如燈泡廠檢驗(yàn)合格率等這些產(chǎn)品抽樣問題；還有可以把全班學(xué)生分成兩組，求每組中男女生人數(shù)相對(duì)等的概率；從一副撲克牌中任取張，求得張紅色的和張黑色的概率；在安排值班的633問題中，也可以按照無放回模型進(jìn)行分析；在買彩票的過程中

7、，可以把雙色球、、選等玩D3367法的中獎(jiǎng)概率求出，增加自己中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)這樣不僅把古典概率的知識(shí)應(yīng)用在了生活中，給生活帶來方便，同時(shí)也使數(shù)學(xué)給自己帶來了樂趣，激發(fā)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的動(dòng)力3質(zhì)點(diǎn)入盒模型該模型是指有個(gè)可分辨的盒子，（）個(gè)質(zhì)點(diǎn)，按照質(zhì)點(diǎn)是否可分辨，每盒可容納質(zhì)nmnm?點(diǎn)的多少等不同情況，把個(gè)質(zhì)點(diǎn)放入個(gè)可分辨的盒子，從而形成不同的樣本空間，然后在各自mn樣本空間計(jì)算事件的概率，與摸球模型類似，這里也可分四種情況討論，清晰地可見這種模型