數(shù)學(xué)論文 古典概型

1、古典概型中樣本空間的選取數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生張媛媛指導(dǎo)教師徐偉摘要：在古典概型計(jì)算中由于樣本點(diǎn)總數(shù)的計(jì)算必須在已經(jīng)確定的樣本空間進(jìn)行，如何選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g是研究古典概型的首要問題。即使為同一問題，考慮的角度不同，得到的樣本空間也不同。如果對(duì)古典概型的樣本空間只作抽象的描述，不便于真正理解不同問題樣本空間的聯(lián)系和區(qū)別，以至于在求事件概率時(shí)，選取錯(cuò)誤的樣本空間，濫用古典概型公式，論文正是基于這一目的，在正確思路和有關(guān)基礎(chǔ)理論的基礎(chǔ)上，通

2、過對(duì)典型的例子進(jìn)行研究，分析其一般原則和最佳樣本空間的構(gòu)思，通過結(jié)構(gòu)對(duì)稱壓縮法構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臉颖究臻g，選擇最佳的樣本空間，簡(jiǎn)化古典概率的求解。關(guān)鍵詞：古典概型概率樣本空間排列組合TheTheingingofofsamplesamplespacespaceininthetheclassicalclassicalprobabilityprobabilitymodelmodelStudentmajinginMathematicsAppliedMa

3、thematicsZhangYuanyuanTutXuweiAbstract:Intheclassicalprobabilitymodel，thecalculationofthesamplepointsmustbeconductedinsamplespacewhathavebeenidentified.Howtheappropriatesamplespaceofclassicalprobabilitymodel.Evenfthesame

4、problem.Onlyftheabstractdeionaboutsamplespaceintheprobabilitymodel.Duetothedifferentresearchquestions，Samplespaceisalsodifferent.Itisdifficulttounderstthelinksdifferencesbetweenthedifferentsamplespace.Whenseekingtheproba

5、bilityofsomethingwillleadtoionthewrongsamplespaceabusesamplespace.Thepurposeofthispaperisbasedonthecrectideastheiesabouttheunderlying.Bystudyingabouttypicalexampletoanalyzethegeneralprinciplesbestsamplespace.Constructthe

6、appropriatesamplespacebyasymmetricalcompressionmethodtochoosethebestsamplespacesimplifythesolutionofclassicalprobabilitymodel.Keywds:classicalprobabilitymodelprobabilitysamplespace引言古典概型是概率論中最重要的內(nèi)容之一，在概率論中占有很重要的地位。古典概型的求

7、解包含兩個(gè)步驟：第一步：選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，使它滿足有限和等可能的?要求，A是為的某個(gè)子集；第二步：先計(jì)算樣本點(diǎn)總數(shù)n，然后計(jì)算事件的有利場(chǎng)?合數(shù)m。如何構(gòu)造樣本空間是古典概型解題首要問題。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，概率論在科學(xué)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。樣本空間在概率學(xué)習(xí)中往往被忽視，但是它的選取在問題解決中至關(guān)重要，本文避開在其構(gòu)造中可能會(huì)出現(xiàn)的總總錯(cuò)誤，只在正確思想的前提下，通過舉例說明樣本空間的選取在解題過程中的重要性。1古典概型變量古典

8、概型也叫創(chuàng)痛概率，其定義是由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出的。如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，而且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這3例3有mn個(gè)球，一個(gè)是黑色，一個(gè)是白色，其余的都是紅色，把這mn個(gè)球隨意的放??進(jìn)m個(gè)袋中，每個(gè)袋子放n個(gè)球。求黑色球和白色球放在同一個(gè)袋中的概率。解如果此題用計(jì)算排列組合的方法去解，是很困難的。但是如果用類似前面例題的方法來解答就容易多了，首先要注意題目所描述的條件等價(jià)于隨機(jī)的把mn個(gè)球依次排列，只

9、要我們注?意黑球白球的位置。假設(shè)黑球已經(jīng)先放好，那么白球的可能位置一共有(mn1)個(gè)，而有利場(chǎng)合數(shù)，即白色球落入黑球所在的袋子，有（n1）個(gè)，即所求概率為(n1)（mn1）。f例4任意選取一正整數(shù)，求該數(shù)的平方被5整除的概率。解須注意到不能把全體正整數(shù)作為此題的樣本空間，這樣的空間是無限的，所以不是等可能的。所以首先要進(jìn)行分析，正整數(shù)的平方能不能被5整除取決于此正整數(shù)的末位數(shù)，即它們可以是0，1…9這十個(gè)數(shù)中的一個(gè)。任取一個(gè)正整數(shù)的含義

10、就是十個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的可能性是相等的。即選取樣本空間=012^9。所求概率事件A=05，即P（A）==。?21015以上我們就是通過幾個(gè)例題了解適當(dāng)選擇樣本空間的重要性。2.3典型例題解析對(duì)于同一個(gè)問題，樣本空間也可以有不同的取法。而且在計(jì)算時(shí)應(yīng)該要注意基本事件的總數(shù)和有利場(chǎng)合數(shù)的計(jì)算要在一個(gè)樣本空空間中進(jìn)行。例1在一個(gè)盒子中有十個(gè)相同的球，分別標(biāo)記為12，…10，從中任意選取一球，則此球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率。解法一：若選擇樣本空間S=12，

11、…，10，則基本事件的總數(shù)為n=10，A=選取球的號(hào)碼為偶數(shù)，事件A的基本事件數(shù)m=5，因此p（A）==mn12解法二：設(shè)A=所取的球號(hào)碼為偶數(shù)，B=所取球的號(hào)碼為奇數(shù)，所選取的樣本空間為S=A，B，由AB的對(duì)稱性可得P(A)=12例2袋子中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，把球隨機(jī)的摸出來（一次摸一個(gè)不放回），直到袋子中剩下的球相同，求剩下的球都是黑球的概率。解：假設(shè)摸球直到全部摸完為止，則“最后全剩下的為黑球”（事件A）和“最后摸出的為黑球”（

12、事件B）為同一問題，可以繼續(xù)這樣思考：如果到最后全剩下黑球（A發(fā)生），最后摸出的必是黑球（B發(fā)生，所以AB）反之，若最后摸出的為黑球（B發(fā)生），則最后剩下的同?顏色球必包含這最后一個(gè)球，即剩下的球必是黑球（A發(fā)生，即BA）。所以這兩個(gè)事件是?相等的。事件B也就是在低（ab）此摸出黑球，概率為aab2.3對(duì)稱壓縮法在古典概型中，對(duì)等的事件發(fā)生的概率的相等的。對(duì)于結(jié)構(gòu)處于完全對(duì)稱和平等地位的事件，發(fā)生的概率應(yīng)該是相同的，而且這樣不但可以很大

13、幅度的成倍的壓縮樣本空間，并且可以甩開繁瑣的排列組合，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的過程和步驟，達(dá)到事半功倍的效果。這種通過對(duì)稱性成倍壓縮樣本的方法叫做對(duì)稱壓縮法。因?yàn)樵诠诺涓判椭械目赡苄詻Q定了在這個(gè)模型中的事件具有對(duì)稱性。其優(yōu)點(diǎn)是可以拋開種種糾纏不清的關(guān)系，直接得到結(jié)果。例1袋子中有a個(gè)白球和b個(gè)黑球，每次從袋子里任意取出的球不再放回去，連續(xù)取出個(gè)k球（ab），求第次取出的為白球的概率。k?k解方法一：設(shè)A為所求事件，把a(bǔ)個(gè)白球和b個(gè)黑球看作不同，而