第28講平面向量的數(shù)量積

1、第28講平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積項(xiàng)目一項(xiàng)目一知識概要知識概要1兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0≤θ≤180)叫作向量a與bOA→OB→的夾角2平面向量的數(shù)量積已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，我們把|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab＝|a||b|cosθ.3平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a方向上的射影|b|cosθ的乘積或b的長度|b|與a

2、在b方向上的射影|a|cosθ的乘積4平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)ea＝ae＝|a|cosθ；(2)a，b，a⊥b?ab＝0；(3)|a|＝；aa(4)cosθ＝；ab|a||b|(5)|ab|≤|a||b|.5平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律(1)ab＝ba；(2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)；(3)(a＋b)c＝ac＋bc.6平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2，

3、由此得到(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝x2＋y2或|a|＝.x2＋y2(2)設(shè)兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.評注評注求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義本題從不同角度創(chuàng)造性地解題，充分利用了已知條件任務(wù)二任務(wù)二求向量的夾角與向量的模問題求向量的夾角與向量的模問題【例2】(1)已知向量a，b夾角為45，且|a|＝1，|2a－b

4、|＝，則|b|＝________.10(2)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2.若A＝λ＋，且AB→AC→AB→AC→P→AB→AC→⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________AP→BC→分析分析利用數(shù)量積的定義ab＝|a||b|cosθ.答案答案(1)3(2)2712解析解析(1)利用平面向量的數(shù)量積概念、模的概念求解∵a，b的夾角為45，|a|＝1，∴ab＝|a||b|cos45＝|b|，22|2a－b|2＝4－4|b|＋|b|

5、2＝10，∴|b|＝3.222(2)由⊥知＝0，AP→BC→AP→BC→即＝(λ＋)(－)AP→BC→AB→AC→AC→AB→＝(λ－1)－λA2＋2AB→AC→B→AC→＝(λ－1)32－λ9＋4＝0，解得λ＝.(－12)712評注評注(1)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，它是求距離常用的公式aa(2)要注意向量運(yùn)算律與實(shí)數(shù)運(yùn)算律的區(qū)別和聯(lián)系在向量的運(yùn)算中，靈活運(yùn)用運(yùn)算律，達(dá)到

6、簡化運(yùn)算的目的任務(wù)三任務(wù)三數(shù)量積的綜合應(yīng)用問題數(shù)量積的綜合應(yīng)用問題【例3】已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝，求△ABC的面積π3分析分析(1)由m∥n可得△ABC的邊角關(guān)系，再利用正弦定理邊角互化即可證得結(jié)論；(2)由m⊥p得a、b關(guān)系，再利用余弦定理得ab，代入面積公