一個(gè)數(shù)論函數(shù)及其均值

1、西北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)網(wǎng)絡(luò)版)2004年10月，第2卷，第10期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineOct.2004，Vol.2，No.10________________________收稿日期：20040824基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10271093）；陜西省教育廳基金資助項(xiàng)目（2002A11）審稿人：張文鵬，男，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博土生導(dǎo)師一個(gè)數(shù)論函數(shù)及其均值趙小鵬(渭南師范

2、學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西渭南714000)摘要：引入了一個(gè)新的數(shù)論函數(shù)，研究了其均值性質(zhì)，并給出了一個(gè)有趣的漸近公式。關(guān)鍵詞：數(shù)論函數(shù)；均值；漸近公式中圖分類(lèi)號(hào)：O156.4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1000274X(2004)009931引言及結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)n，我們定義IS(n)o為不超過(guò)n的最大平IS(1)=1IS(2)=1IS(3)=1IS(4)=2IS(5)=2IS(6)=2IS(7)=2IS(8)=2，IS(9)=3，IS(10)=3

3、，…?，F(xiàn)在對(duì)任意實(shí)數(shù)x，我們考慮函數(shù)xIS(x)，即實(shí)數(shù)x的平方分?jǐn)?shù)部分。文獻(xiàn)[1]建議研究此函數(shù)的性質(zhì)。關(guān)于這一問(wèn)題的研究，筆者至今尚未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)。而這一問(wèn)題本身是重要的，它可以幫助我們了解平方分?jǐn)?shù)部分函數(shù)分布的規(guī)律性。本文中，我們對(duì)此問(wèn)題作了一般化處理。設(shè)IK(n)表示不超過(guò)n的最大k次冪，以及FK(n)=nIK(n)。本文主要研究了FK(n)的均值性質(zhì)，并利用初等方法給出了FK(n)的一個(gè)有趣的漸近公式。即就是證明下面的：定理1對(duì)

4、任意實(shí)數(shù)，有漸近公式1?x)()12(2)(22122kkkkxnxOxkknFK???????由下面定理的證明過(guò)程不難看出本文中的技巧性是非常強(qiáng)的，然而結(jié)論是十分粗糙的，即就是定理中的誤差項(xiàng)不夠精確!是否存在一個(gè)比我們的定理更精確的漸近公式仍然是一個(gè)有意義的難題!由此定理我們還可以得到下面的3個(gè)推論：推論1對(duì)任意實(shí)數(shù)，我們有1?x)(32))((23xOxnISnxn?????推論2設(shè)表示不超過(guò)的最大立方數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有漸近公式)

5、(nICn1?x)(109))((3435xOxnICnxn?????推論3設(shè)表示不超過(guò)的最大四次方數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，我們有漸近公式)(nIFn1?x)(78))((2347xOxnIFnxn?????3的一個(gè)漸近公式，其中為任意非負(fù)實(shí)數(shù)。對(duì)于該函數(shù)其他性質(zhì)，我們將做進(jìn)一步研究。r參考文獻(xiàn)：[1]SMARACHEF.OnlyproblemsNotsolutions[M].Chicago:XiquanPubl.House1993.[2]T

6、OMM.Apostol.IntroductiontoAnalyticNumberThey[M].NewYk:SpringerVerlag1976.（編輯曹大剛）AnarithmeticalfunctionitsmeanvalueZHAOXiaopeng(DepartmentofMathematicsWeinanTeacher’sCollegeWeinan714000China)Abstract:Anewarithmeticalfunct

7、ionisintroducedthepropertiesofitsmeanvaluearestudied.Alsoaninterestingasymptoticfmulaisgiven.Keywds:ArithmeticalfunctionMeanvalueAsymptoticfmula作者簡(jiǎn)介趙小鵬，男，陜西周至人，生于1968年3月，1990年畢業(yè)于西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，1997年至2002年先后在陜西師范大學(xué)、西北大學(xué)進(jìn)修學(xué)習(xí)，現(xiàn)任渭南