概率論第四章

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),1,分布函數(shù)能完整地描述 r.v.的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道 r.v.的某些特征.,判斷燈管質(zhì)量時(shí), 既看燈管的平均壽命,平均壽命越長(zhǎng),偏離程度越小, 質(zhì)量就越好;,又要看 燈管壽命與平均壽命的偏離程度,例如：,2,考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是

2、否小.,由上面例子看到，與 r.v. 有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要特征 , 這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.,3,4.1數(shù)學(xué)期望,4,1、數(shù)學(xué)期望定義,(1) 離散型,5,(2)、連續(xù)型,6,已知隨機(jī)變量X的分布律：,例,求數(shù)學(xué)期望E（X）,解,7,已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,例,求數(shù)學(xué)期望。,解,8,幾個(gè)重要r.v.的期望,1.0-1分布的數(shù)學(xué)期望,2. 二項(xiàng)分

3、布B(n, p),9,3.泊松分布,4. 均勻分布U(a, b)或R（a,b),10,5.指數(shù)分布,11,6. 正態(tài)分布N(?, ?2),12,常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望,1.二點(diǎn)分布:設(shè) 則 2.二項(xiàng)分布:設(shè) 則 3.泊松分布:設(shè) 則4.均勻分布:設(shè) 則 5.指數(shù)分

4、布:設(shè) 則6.正態(tài)分布:設(shè) 則,13,定理 1：,設(shè) Y=g(X), g(x) 是連續(xù)函數(shù)，（1）若 X 的分布率為且 絕對(duì)收斂, 則 EY=,二、 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,14,定理 2：,15,例 設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的分布列為,試計(jì)算： 和

5、 。,,,,16,由數(shù)學(xué)期望的定義可得,解,,,,17,已知 X 的 概率密度為,例 已知 X 服從 上的均勻分布，計(jì)算 的數(shù)學(xué)期望。,解,,,則所求 的數(shù)學(xué)期望為：,18,例 設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為,試計(jì)算 和

6、 。,由定義，,解,,,,19,,,,20,例 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,21,設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),EX,22,23,例 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y的密度函數(shù)分別為,求E（XY）,解,,24,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),如果 X、Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，C 為任意常數(shù)，且 都存在，則數(shù)學(xué)期望有以下四條常見(jiàn)的性質(zhì)。,,,,如果 X

7、 與 Y 相互獨(dú)立，則,25,證明,（2）連續(xù)型 設(shè)X~f(x),則,（3）離散型 設(shè)(X,Y)聯(lián)合分布為 P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2…),26,（4）連續(xù)型 設(shè)(X,Y)~f(x,y),則,由X,Y相互獨(dú)立得,27,推論1 設(shè)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望都存在，則,推論2 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且數(shù)學(xué)期望都存在，則,性質(zhì)（3）和

8、性質(zhì) （4）可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量上，即成立：,28,解 X的密度函數(shù)為,例設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求,所以,而,所以,29,例 設(shè)二維 r.v. (X ,Y ) 的 概率密度 為,求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X),解,30,由數(shù)學(xué)期望性質(zhì),31,4.2 方差一. 定義與性質(zhì),32,若E [X - E(X)]2 存在, 則稱其為隨機(jī),定義,即 D (X ) =

9、 E [X - E(X)]2,變量 X 的方差, 記為D (X ),D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏離平均值 的平均偏離程度,33,若 X 為離散型 r.v.，分布律為,若 X 為連續(xù)型r.v. ，概率密度為 f (x),34,因?yàn)?DX= E(X-EX)2,=E[X2-2X(EX)+(EX)2],=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2,=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2,=EX

10、2-(EX)2,(注:EX是常數(shù)),計(jì)算方差的常用公式：,35,方差的計(jì)算步驟,Step 1: 計(jì)算期望 E(X),Step 2: 計(jì)算 E(X2),Step 3: 計(jì)算 D(X),離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)型,36,D (C) = 0,D (aX ) = a2D(X),,D(aX+b ) = a2D(X),,特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則,37,性質(zhì) 1 的證明：,性質(zhì) 2 的證明：,38,性質(zhì) 3 的證明：,當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)

11、立時(shí)，,注意到，,,39,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,常見(jiàn)分布的方差,40,二項(xiàng)分布的方差,分布律,方差,X ~ B ( n, p ),推導(dǎo)？,41,方法二 引入隨機(jī)變量,相互獨(dú)立，,故,42,泊松分布的方差,分布律,方差,推導(dǎo)？,43,,,44,均勻分布的方差,分布密度,方差,,,45,正態(tài)分布的方差,分布密度,方差,,,,46,指數(shù)分布的方差,分布密度,方差,,,47,常見(jiàn)分布及其期望和方差列表P84,分布名稱

12、 數(shù)學(xué)期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布,48,例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,1)求D（X）, 2)求,49,50,例 已知 X 的 概率密度為,其中 A ,B 是常數(shù)，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. 設(shè) Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),51,解 (1),,,,,52,(2),53,§ 4.4 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

13、,問(wèn)題 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X ,Y ):,已知聯(lián)合分布,,邊緣分布,對(duì)二維隨機(jī)變量,除每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性外, 相互之間可能還有某種聯(lián)系問(wèn)題是用一個(gè)怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.,數(shù),反映了隨機(jī)變量 X , Y 之間的某種關(guān)系,54,稱,為 X ,Y 的協(xié)方差. 記為,定義,顯然，,55,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式,由協(xié)方差

14、的定義及期望的性質(zhì)，可得,Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]},=E(XY)-E(X)E(Y),即,當(dāng)COV(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。,56,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,57,例如，設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為,，則容易算得 X 與Y 顯然是不獨(dú)立的，因?yàn)?Y 的取值是由 X 來(lái)定的。,

15、,58,求 cov (X ,Y ),解,59,,,60,二、 相關(guān)系數(shù),定義 對(duì)二維隨機(jī)變量（X，Y），如果 存在，則稱之為 X 與Y 的相關(guān)系數(shù)，記為 。,,,,61,相關(guān)系數(shù)具有以下性質(zhì)：,當(dāng) X、Y 相互獨(dú)立時(shí)，,,,,62,由性質(zhì)（3）知道，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定不相關(guān)，但反過(guò)來(lái)不一定成立。而對(duì)正態(tài)分布而言，獨(dú)立性與不相關(guān)性是一致的。,對(duì)于協(xié)方差，具有以下幾