軌跡方程的五種求法例題

1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法一、直接法一、直接法按求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡整理，主要用于動(dòng)點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時(shí)例1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：122??yx，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)??0???（如圖），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線【解析解析】：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有??MQMN，即???MQONMO22，??????2

2、222)2(1yxyx整理得0)41(4)1()1(222222???????????xyx，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程若1??，方程化為45?x，它表示過點(diǎn))045(和x軸垂直的一條直線；若λ≠1，方程化為2222222)1(3112?????????yx）－（，它表示以)012(22???為圓心，13122????為半徑的圓二、代入法二、代入法若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）依賴已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)N而運(yùn)動(dòng)，則可將轉(zhuǎn)化后的動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)入已知曲線的方程或滿

3、足的幾何條件，從而求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個(gè)或兩個(gè)以上動(dòng)點(diǎn)的情況例2已知拋物線12??xy，定點(diǎn)A（3，1），B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個(gè)軌跡為哪種曲線【解析解析】：設(shè))()(11yxByxP，由題設(shè)，P分線段AB的比2??PBAP?，∴.2121212311??????yyxx解得2123232311????yyxx.又點(diǎn)B

4、在拋物線12??xy上，其坐標(biāo)適合拋物線方程，∴.1)2323()2123(2????xy整理得點(diǎn)P的軌跡方程為)31(32)31(2???xy其軌跡為拋物線三、定義法三、定義法若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程此法一般用于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空、選擇題的形式出現(xiàn)???????????.)1(2)1(212121ttytx由12??ttOQOP和1xxOQOP?得???????????

5、?????????222222tytxtytx或其中t＞1消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為)22(222??xyx和)22(222????xyx其軌跡為拋物線yx222?在直線22?x右側(cè)的部分和拋物線yx222??在直線22??x在側(cè)的部分五、交軌法五、交軌法一般用于求二動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程例6已知兩點(diǎn))20()22(QP?以及一條直

6、線?：y=x，設(shè)長為2的線段AB在直線?上移動(dòng)，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程【解析解析】：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動(dòng)而變化，故可設(shè))11()(??ttBttA，則PA：)2)(2(222???????txttyQB：).1(112??????txtty消去t，得.082222?????yxyx當(dāng)t=－2，或t=－1時(shí)，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是.0822222??????yxxyx以上是求動(dòng)