保角映射

1、44保角映射的物理應用保角映射的物理應用拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式為工程數(shù)學中最重要偏微分方為工程數(shù)學中最重要偏微分方02???程式之一，因為它應用于有關(guān)重力場、靜電場、穩(wěn)態(tài)熱傳程式之一，因為它應用于有關(guān)重力場、靜電場、穩(wěn)態(tài)熱傳導以及不可壓縮流體之流動問題導以及不可壓縮流體之流動問題本文所及者皆為二維問題，它們雖原三維空間內(nèi)之物本文所及者皆為二維問題，它們雖原三維空間內(nèi)之物理系統(tǒng)，但是諸如位勢中與空間第三坐標無關(guān)，因此拉普理系統(tǒng)，但是

2、諸如位勢中與空間第三坐標無關(guān)，因此拉普拉斯方程為拉斯方程為（1）022222??????????yx????稱曲線稱曲線常數(shù)為等位線常數(shù)為等位線?)(yx?定義1對于區(qū)域內(nèi)的實值函數(shù)（或），G)(yx?)(z?如果其本身以及一階、二階偏導數(shù)連續(xù)而且滿足（1），則稱在內(nèi)調(diào)和或是區(qū)域的調(diào)和函數(shù)?G?G注意：對于定義中調(diào)和函數(shù)的光滑性要求可以減弱。可以說明調(diào)和性是共性映射（保角映射）下的不變性質(zhì)，因為若是區(qū)域到的共性映射，記)(?zz?DG，

3、不難驗證：))(()(??zuU?)()()(2zuzU??????因此，若在內(nèi)調(diào)和，必有在內(nèi)調(diào)和)(zuG)(?UD定義2設和在區(qū)域內(nèi)調(diào)和，如果)(zu)(zvG比較兩式可得：，有2()2()xgyxygyy??????故.2()2ygyydyC????因此，。22222xyvxyC????從而得到解析函數(shù)()()()fzuxyivxy??2222()(2)22xyxyxyixyiC???????????2222222ixixyyxi

4、xyyiC???????.212iziC?????????定義定義3設為區(qū)域為區(qū)域內(nèi)一調(diào)和函數(shù)，且內(nèi)一調(diào)和函數(shù)，且為()xy?D)(yx?內(nèi)的內(nèi)的“共軛共軛”調(diào)和函數(shù)，則調(diào)和函數(shù)，則為解為解D()()()Fzxyixy????析函數(shù)，稱此析函數(shù)，稱此為對應于實位勢為對應于實位勢的復位勢的復位勢)(zF)(z?說明：應用復位勢說明：應用復位勢有兩優(yōu)點其一，就技術(shù)層面來有兩優(yōu)點其一，就技術(shù)層面來F說，解析函數(shù)說，解析函數(shù)較其實部，虛部函數(shù)更