離散數(shù)學(xué)自考第一章課后習(xí)題和答案

1、,離散數(shù)學(xué),,楊老師yangjj@scnu.edu.cn,,離散數(shù)學(xué)（又稱計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)）是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，是計(jì)算機(jī)專業(yè)課程中的核心基礎(chǔ)課程之一。離散數(shù)學(xué)以是研究：離散量的結(jié)構(gòu)和相互之間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對(duì)象一般為：有限或可數(shù)個(gè)元素（例如：自然數(shù)、整數(shù)、真假值、有限個(gè)結(jié)點(diǎn)等），而離散性也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的顯著特點(diǎn)。,離散數(shù)學(xué),,離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的其他課程如：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、算法分析、邏輯設(shè)計(jì)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、容錯(cuò)技術(shù)

2、、人工智能等有密切的聯(lián)系。它是這些課程的先導(dǎo)和基礎(chǔ)課程。第一部分：數(shù)理邏輯 第二部分：集合論第三部分：代數(shù)系統(tǒng) 第四部分：圖論,第一章 命題演算,命題概念基本連接詞與復(fù)合命題合式公式與聯(lián)結(jié)詞優(yōu)先順序命題公式的等價(jià)變化、命題符號(hào)化構(gòu)造真值表證明等價(jià)式不構(gòu)造真值表證明蘊(yùn)含式范式與主范式，∏，∑互化應(yīng)用P、T規(guī)則的推理證明CP規(guī)則與間接推理證明,1.1 命題概念,命題：具有唯一真值的陳述句叫命題，亦可簡

3、稱為語句。(1)命題可以是真的，或者是假的，但不能同時(shí)為真又為假(2)命題所用符號(hào)：常用大寫２６個(gè)英文字母表示命題。用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。(3)命題中所有的“真”用“Ｔ”表示，　 命題中所有的“假”用“Ｆ”表示。(4)命令句，感嘆句，疑問句均不是命題。,判斷下列句子中哪些構(gòu)成命題8是偶數(shù)；雪是黑的；明年國慶節(jié)是個(gè)春天；3+8>9我是大學(xué)生；火星上有生物；星期五下午開會(huì)嗎？請(qǐng)勿吸煙；這束花多么的好

4、看??！x+y >5.,命題命題命題命題命題命題疑問句 不是命題祈使句 不是命題感嘆句 不是命題無法確定真值 不是命題,,表示命題的符號(hào)稱為命題標(biāo)示符，例：P：今天中午十點(diǎn)下雨； [24]：今天上午十點(diǎn)下雨；此處的P，[24]就是標(biāo)示符。一個(gè)命題標(biāo)示符如表示確定命題，就稱為命題常量，如果命題標(biāo)示符只標(biāo)志命題的位置，就稱為命題變?cè)?，因?yàn)槊}變?cè)梢员硎救我饷}，他不能確定真值因此不是命題,1.2

5、復(fù)合命題與聯(lián)結(jié)詞,原子命題：不能再分解的命題，不包含任何聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：經(jīng)過一些聯(lián)結(jié)詞復(fù)合而成的命題。在命題演算中也有類似的日常生活中的聯(lián)結(jié)詞稱做：“命題聯(lián)結(jié)詞”下面先介紹五個(gè)常用的命題聯(lián)結(jié)詞。,,１．否定詞：（否定運(yùn)算、非運(yùn)算）（１）符號(hào) ¬ ,讀作“非”，“否定”，設(shè)命題為Ｐ，則在Ｐ的前面加否定詞¬ ，變成¬Ｐ， ¬Ｐ讀做“Ｐ的否定”或“非Ｐ”例：Ｐ：北京是一座城市。

6、 ¬Ｐ：北京不是一座城市。Ｑ：每一種生物均是動(dòng)物。F¬Ｑ：有一些生物不是動(dòng)物。T這里¬Ｑ不能講成“每一種生物都不是動(dòng)物”為假命題了。對(duì)量化命題的否定，除對(duì)動(dòng)詞進(jìn)行否定外，同時(shí)對(duì)量化詞也要加以否定。（2） ¬Ｐ的真值由P的真值來確定,,２．合取詞（“合取”、“積”、“與”運(yùn)算）符號(hào)　“Λ” 設(shè)Ｐ，Ｑ為兩個(gè)命題，則ＰΛＱ稱Ｐ與Ｑ的合取，讀作：“Ｐ與Ｑ”、“Ｐ與Ｑ的合取”、“Ｐ并且Ｑ

7、”等。定義（由真值表給出）：,,當(dāng)且僅當(dāng)Ｐ和Ｑ的真值均為“Ｔ”，則（ＰΛＱ）的真值為“Ｔ”。否則，其真值為“Ｆ”。注意：Ｐ和Ｑ是互為獨(dú)立的；地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交換而不會(huì)影響ＰΛＱ的結(jié)果。在日常生活中，合取詞應(yīng)用在二個(gè)有關(guān)系的命題之間。而在邏輯學(xué)中，合取詞可以用在二個(gè)毫不相干的命題之間舉例：（a）P：王華的成績很好 Q：王華的品德很好。 則ＰΛＱ：王華的成績很好并且品

8、德很好。 （b P：我們?nèi)シN樹 Q：房間里有一臺(tái)電視機(jī) 則ＰΛＱ：我們?nèi)シN樹與房間里有一臺(tái)電視機(jī)。 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 則ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6,,３．析取詞（或運(yùn)算）（１）符號(hào)“∨” 設(shè)Ｐ、Ｑ為二個(gè)命題，則（Ｐ∨Ｑ）稱作Ｐ與Ｑ的“析取”，讀作：

9、“Ｐ或Ｑ”。（２）定義（由真值表給出）：,,當(dāng)且僅當(dāng)Ｐ、Ｑ均為“Ｆ”時(shí)，（Ｐ∨Ｑ）為“Ｆ”。否則，其真值為“Ｔ”區(qū)分“可兼或”與“不可兼或（異或，排斥或）” 析取詞為可兼或即:P和Q均為“T”時(shí)（P∨Q）為“T”， “不可兼或”中當(dāng)P和Q均為“T”時(shí)，則P異或Q為“F”,可兼“或”：燈泡有故障或開關(guān)有故障。今晚寫字或看書。今天下雨或打雷。,不可兼“或”：他通過電視看雜技或到劇場看雜技。 他乘火車去北京或乘飛機(jī)去北

10、京。,,４．單條件聯(lián)結(jié)詞：（１）符號(hào)“→”，讀作：“如果…則…”、“如果…那么…”Ｐ、Ｑ為二個(gè)命題，（Ｐ→Ｑ）為新的命題，讀作：“如果Ｐ則Ｑ”，“Ｐ僅當(dāng)Ｑ”，“Ｑ當(dāng)且Ｐ”，“Ｐ是Ｑ的充分條件”。（２）定義（由真值表定義）：,,當(dāng)Ｐ為“Ｔ”，Ｑ為“Ｆ”時(shí)，則（Ｐ→Ｑ）為“Ｆ”，否則（Ｐ→Ｑ）均為“Ｔ”?！　　　　　　　　。校悍Q為前件、條件、前提、假設(shè)Ｑ：稱為后件、結(jié)論。（３）舉例： （a）P：我拿起一本書

11、 Q：我一口氣讀完了這本書 P→Q：如果我拿起一本書，則我一口氣讀完了這本書。 （b）P：月亮出來了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出來了，則 3×3=9。（善意推定）,,５．雙條件聯(lián)結(jié)詞（“等價(jià)”詞、“同”聯(lián)結(jié)詞、“等同”詞）（１）符號(hào)“?”設(shè)Ｐ、Ｑ為二個(gè)命題，則Ｐ?Ｑ讀作：“Ｐ當(dāng)且僅當(dāng)Ｑ”，“Ｐ等價(jià)Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要條件”。（２

12、）定義（見真值表）：,,每當(dāng)Ｐ和Ｑ的真值相同時(shí)，則（Ｐ?Ｑ）的真值為“Ｔ”，否則（Ｐ?Ｑ）的真值為“Ｆ”。（３）舉例：? 春天來了當(dāng)且僅當(dāng)燕子飛回來了。?平面上二直線平行，當(dāng)且僅當(dāng)這二直線不相交。 ?２＋２＝４當(dāng)且僅當(dāng)雪是白色的。 （兩者沒有關(guān)系，但是確實(shí)命題）（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ交換位置不會(huì)改變真值表中的值。,,６．命題聯(lián)結(jié)詞在使用中的優(yōu)先級(jí)（１）先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外（２）運(yùn)算時(shí)聯(lián)結(jié)詞的優(yōu)先次序

13、為： ¬ 　Λ　∨　→ ? （由高到低）（３）聯(lián)結(jié)詞按從左到右的次序進(jìn)行運(yùn)算 ¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括號(hào)，因?yàn)椤埃帧边\(yùn)算是可結(jié)合的。（ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ可省去括號(hào)，因?yàn)榉仙鲜鲆?guī)定而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括號(hào)不能省去，因?yàn)椤啊辈粷M足結(jié)合律。　 （４）最外層的括號(hào)一律均可省去（Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可寫成Ｐ→Ｑ∨Ｒ,,７．命題聯(lián)結(jié)詞小結(jié)：（1）五個(gè)聯(lián)結(jié)詞的含義與日常生活中的聯(lián)結(jié)詞的含義大致相同。（2

14、）“或”可分為可兼或（∨）和異或（ ▽ ）（不可兼或） （3） 除“¬”為一元運(yùn)算外，其余四個(gè)均為二元運(yùn)算。（4）“→”當(dāng)前件為“Ｆ”時(shí)，不論后件怎樣，則單條件命題的真值均為“Ｔ”。（5）命題聯(lián)結(jié)詞是命題或命題之間的聯(lián)結(jié)詞，而不是名詞之間、數(shù)字之間和動(dòng)詞之間的聯(lián)結(jié)詞。,,以上介紹了五種常用的聯(lián)結(jié)詞及其相應(yīng)的復(fù)合命題形式。數(shù)理邏輯的特點(diǎn)是把邏輯推理變成類似數(shù)學(xué)演算的完全形式化了的邏輯演算，為此，首先要把推理所涉及到的各命題

15、符號(hào)化。步驟如下：①找出各簡單命題，分別符號(hào)化。②找出各聯(lián)結(jié)詞，把簡單命題逐個(gè)聯(lián)結(jié)起來。約定： （1）我們只注意命題的真假值，而不再去注意命題的漢語意義。（2）對(duì)命題聯(lián)結(jié)詞，我們只注意真值表的定義，而不注意它日常生活中的含義。,,例. 將下列命題符號(hào)化：（1）李明是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生，他住在312室或313室。（2）張三和李四是朋友。（3）雖然交通堵塞，但是老王還是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)了車站。（4）只有一個(gè)角是直角的三角形才是直角三角

16、形。（5）老王或小李中有一個(gè)去上海出差。,,解：（1）首先用字母表示簡單命題。P：李明是計(jì)算機(jī)系的學(xué)生。Q：李明住在312室。該命題符號(hào)化為：P?Q（2）張三和李四是朋友。是一個(gè)簡單句該命題符號(hào)化為：P（3）首先用字母表示簡單命題。P：交通堵塞。 Q：老王準(zhǔn)時(shí)到達(dá)了車站。該命題符號(hào)化為：P?Q,,（4）首先用字母表示簡單命題。P：三角形的一個(gè)角是直角。Q：三角形是直角三角形。該命題符號(hào)化為：?P? ?Q

17、（5）首先用字母表示簡單命題。P：老王去上海出差。Q：小李去上海出差。也可符號(hào)化為： （P??Q）?（?P?Q）或者 （P ? Q） ? ? （P?Q）,,作業(yè)：P61：a、c、d、g、i、k3：a、c、e4：b、d,1.3 命題公式與真值表,１．命題公式命題常元：表示確定的命題｛T，F(xiàn)｝。命題變?cè)阂哉婕贋槠渥冇蛑冊(cè)驔]有指定真值的命題。常用大寫英文字母Ａ…Ｚ表示。命題公式：由命題變?cè)?、常元、?lián)結(jié)

18、詞、括號(hào)，以規(guī)定的格式聯(lián)結(jié)起來的字符串。命題公式亦可稱為合式公式。,,定義：命題演算的合式公式規(guī)定為：１）單個(gè)命題變?cè)且粋€(gè)合式公式。２）若Ａ是合式公式，¬Ａ也為合式公式。３）若Ａ、Ｂ是合式公式，則（ＡΛＢ）、（Ａ∨Ｂ）、（Ａ→Ｂ）、（Ａ?Ｂ）均為合式公式。 ４）當(dāng)且僅當(dāng)有限次使用 （１）（２）（３）所生成的公式才是命題公式。 （2）（3）即為關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)算是封閉的。子公式：設(shè)Ai為公式的A的一部分，

19、且Ai是一個(gè)子公式，稱Ai是A的子公式。,,２．命題公式的真值表 :定義：命題變?cè)锰囟ǖ拿}來取代，這一過程稱為對(duì)該命題變?cè)M(jìn)行指派。真指派：指定的指派使得命題變?cè)獮檎?；假指派：指定的指派使得命題變?cè)獮檎妗Ｃ}公式可以看成是一個(gè)以真假值為定義域和真假值為值域的一個(gè)函數(shù)。 寫成ｙ＝ｆ(x)例如：公式 P ?(Q ?R) 定義三元函數(shù) Y(P，Q，R)＝ P ?(Q ?R),,《定義》：命題公式A在其所有可能的

20、賦值下取得的值列成的表稱為A的真值表。真值表中，真值T、F可分別用1、0代替構(gòu)造真值表的步驟如下：1)找出給定命題公式中所有的命題變?cè)?，列出所有可能的賦值。2)按照從低到高的順序?qū)懗雒}公式的各層次。3)對(duì)應(yīng)每個(gè)賦值，計(jì)算命題公式各層次的值，直到最后計(jì)算出整個(gè)命題公式的值。,,例１．構(gòu)造命題公式¬（（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ）的真值表：,２個(gè)命題變?cè)校唇M真值指派；３個(gè)命題變?cè)?3＝ ８組真值指派，ｎ個(gè)則有個(gè)2n個(gè)真值指派,３

21、．命題公式的永真式、永假式和可滿足式,定義：設(shè)A為一命題公式，若A在它的各種指派情況下，其取值均為真，則稱公式A為重言式或永真式。定義：設(shè)A為一命題公式，若A在它的各種指派情況下，其取值均為假，則稱公式A為矛盾式或永假式定義：設(shè)A為一命題公式，若A在各種真值指派下至少存在一組成真指派，則稱A為可滿足式。（可滿足式為既不是永真式又不是永假式的命題公式）討論：（１）永真式的否定為永假式（¬Ｔ＝Ｆ）；永假式的否定為永真式（

22、¬Ｆ＝Ｔ）。（２）二個(gè)永真式的析取、合取、蘊(yùn)含、等價(jià)均為永真式。,,列出A：(P??Q)?(P?Q) 與B：(P??R)?(P?R)的真值表：,1.4.1等價(jià)式,定義：如果對(duì)兩個(gè)公式Ａ，Ｂ不論作何種指派，它們真值均相同，則稱Ａ，Ｂ是邏輯等價(jià)的，亦說Ａ（Ｂ）等價(jià)于Ｂ（Ａ）。并記作：Ａ?Ｂ,,定理：設(shè)X是合式公式A的子公式，若有Y也是一個(gè)合式公式，且X=Y，如果將A中的X用Y置換，得到公式B，則A ?B。例1：證明Q ?（P

23、∨（P ΛQ）） ?Q ?P。設(shè)：A： Q ?（P∨（P ΛQ）） 因?yàn)?P∨（P ΛQ） ?P 故B：Q ?P，即A ?BP12例2、3、4P14 題2 a） P ? （Q ?P） ? ¬ P ∨ （ Q ?P ） （ 等值公式） ? ¬ P ∨ （ ¬ Q ∨ P） （ 等值公式）

24、 ? P ∨ ¬ P ∨ ¬ Q （交換律） ? ¬ P ? （¬ P ∨ ¬ Q） （ 等值公式） ? ¬ P ? （ P ? ¬ Q ） （ 等值公式） 得證,,定理：命題公式Ａ?Ｂ的充要條件是Ａ?Ｂ為永真式證明： （１）充分性：Ａ?Ｂ為永真式，即

25、Ａ、Ｂ有相同的真值，所以Ａ?Ｂ。（２）必要性：Ａ?Ｂ，即Ａ、Ｂ有相同的真值表，所以Ａ?Ｂ為永真式。說明：“?”為等價(jià)關(guān)系符，Ａ?Ｂ表示Ａ和Ｂ有等價(jià)關(guān)系。Ａ?Ｂ不為命題公式　 “?”為等價(jià)聯(lián)結(jié)詞（運(yùn)算符），Ａ、Ｂ為命題公式，則（Ａ?Ｂ）也為一命題公式。,1.4.2蘊(yùn)含式,定義：命題公式P稱為永真蘊(yùn)含命題公式Q，當(dāng)且僅當(dāng)P→Q是一個(gè)永真式， 記作：P?Q，稱P蘊(yùn)含Q。 “? ”是關(guān)系符，Ａ? Ｂ不為命題公式例：證明：Ｐ? Ｐ

26、∨Ｑ；ＰΛＱ? P（１）列出真值表 證明：Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）和（ＰΛＱ）→Ｐ為永真式（２）可用等價(jià)公式證：Ｐ→（Ｐ∨Ｑ） ? ¬Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）? T（ＰΛＱ）→Ｐ? ¬（ＰΛＱ）∨Ｐ ? ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨Ｐ? T,,定理：設(shè)P、Q為任意兩個(gè)命題公式，P?Q的充分必要條件是P?Q， Q ? P。證明：　若P ? Q ，則P ? Q為一永真式由定律：

27、（ P ? Q ）?（ P → Q ）Λ（ Q → P ） ∴（ P → Q ）且（ Q → P ）也為一永真式 即： P ? Q且Q ? P成立反之　　 P ? Q且Q ? P 　則P?Q也成立此定理把“?”和“? ”之間建立了相應(yīng)的關(guān)系。說明若是要證明P?Q，只需證明P ? Q且Q ? P,,證明上述永真蘊(yùn)含式的方法有三種：（１）把“? ”關(guān)系符改為“→”聯(lián)結(jié)詞，證明它為永真式。(a)真值表法 (

28、b)命題演算法（２）＊若前件為真，則命題公式為“Ｔ” ，只需找出使單條件命題前件為“Ｔ”的所有真值指派，試看能否導(dǎo)致后件均為“Ｔ”，若為“Ｔ”，則永真蘊(yùn)含關(guān)系成立。（３）＊ 由于（ P → Q ） ? （ ¬ Q → ¬ P ），找出使單條件命題的后件均為“Ｆ”的所有真值指派，試看前件的所有真值是否為“Ｆ”，若是，則蘊(yùn)含成立。,,例：ＰΛ（Ｐ→Ｑ） ? Ｑ前件為“Ｔ”的所有指派為Ｐ、（Ｐ→Ｑ）均為“Ｔ”，

29、Ｐ→Ｑ為“Ｔ”，∵Ｐ為“Ｔ”，∴Ｑ也應(yīng)為“Ｔ”，∴ＰΛ（Ｐ→Ｑ） ? Ｑ成立,例：¬ＱΛ（Ｐ→Ｑ） ? ¬Ｐ后件為“Ｆ”的所有條件是：Ｐ為“Ｔ”， 代入前件得（?。┤簦褳椋?，則¬ＱΛ（Ｐ→Ｑ）為“Ｆ”；（ⅱ）若Ｑ為Ｆ，則¬ＱΛ（Ｐ→Ｑ）為“Ｆ”；　∴¬ＱΛ（Ｐ→Ｑ） ? ¬Ｐ成立,,討論一下永真式可得出三個(gè)結(jié)論：（１）若一個(gè)命題公式等價(jià)于一個(gè)永真式，則該公式一

30、定為永真式。（２）若一個(gè)永真的命題公式永真蘊(yùn)含一個(gè)命題公式，則此命題公式一定也為永真式。（３）若一個(gè)永假的命題公式永真蘊(yùn)含一個(gè)命題公式，則該公式可能是永真式、永假式或可滿足的。,常用的蘊(yùn)含式如下：,ＰΛＱ? Ｐ （ＰΛＱ? Ｑ） 化簡式Ｐ?Ｐ∨Ｑ　（Ｑ?Ｐ∨Ｑ） 附加式¬P ?Ｐ→Ｑ Ｑ? Ｐ→Ｑ 變形附加式¬（Ｐ→Ｑ） ? Ｐ ¬（Ｐ→Ｑ） ? ¬Ｑ　變形

31、簡化式ＰΛ（Ｐ→Ｑ） ?Ｑ 假言推論¬ＱΛ （Ｐ→Ｑ） ¬Ｐ 拒取式¬ＰΛ（Ｐ∨Ｑ） ? Ｑ 析取三段論（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｑ→Ｒ） ? （Ｐ→Ｒ） 條件三段論（Ｐ?Ｑ）Λ（Ｑ?Ｒ） ? （Ｐ?Ｒ） 雙條件三段論（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｒ→Ｓ） Λ（Ｐ∨Ｒ）? （Ｑ→Ｓ）合取構(gòu)造二難（Ｐ→Ｑ）Λ（Ｒ→Ｓ） Λ（Ｐ∨Ｒ）? （ＱΛＳ）析取構(gòu)造二難Ｐ→Ｑ? （Ｐ∨Ｒ→Ｑ∨Ｒ） 前后件附加Ｐ→Ｑ? （Ｐ

32、ΛＲ→ＱΛＲ） 前后件附加,,作業(yè)：P14 b、d、fa、c、e,1.5.最小聯(lián)結(jié)詞與范式,任何一個(gè)命題公式都可由五個(gè)聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行等價(jià)代換。（Ｐ?Ｑ） ?（Ｐ→Ｑ） Λ（Ｑ→Ｐ） Ｐ→Ｑ? ¬Ｐ∨Ｑ ＰΛ Ｑ? ¬ （¬Ｐ∨ ¬Ｑ） Ｐ∨ Ｑ? ¬（ ¬ＰΛ ¬Ｑ）由上式公式說明五個(gè)聯(lián)結(jié)詞均可以轉(zhuǎn)化為 {¬，∨}，或{¬， Λ}

33、定義：我們把{¬，∨}，或{¬， Λ}稱為命題公式或者最小聯(lián)結(jié)詞。一個(gè)命題公式的等價(jià)變換，可以有多種不同的形式表達(dá)。那如何能化成標(biāo)準(zhǔn)形式及范式的呢？定義：把命題公式化歸為一種標(biāo)準(zhǔn)的形式，稱此標(biāo)準(zhǔn)形式為范式。,,定義：一個(gè)命題公式稱為合取范式，當(dāng)且僅當(dāng)他具有形式：A1 Λ A2 Λ…ΛAn ， A1 ， A2 ，…An為命題變?cè)捌浞穸ǖ乃M成的析取式。定義：一個(gè)命題公式稱析取范式，當(dāng)且僅當(dāng)他具有形式：

34、A1 ∨ A2 ∨…∨An ， A1 ， A2 ，…An為命題變?cè)捌浞穸ǖ乃M成的合取式。命題變?cè)奈鋈∈揭喾Q為“和”。合取式亦稱為“積”。所以：合取范式為命題變?cè)捌浞穸ǖ暮椭e；析取方式為命題變?cè)捌浞穸ǖ姆e之和。,,求命題公式的析取范式方法可按下列三步（或四步）進(jìn)行：（１）利用等價(jià)公式：化去“→”、“?”聯(lián)結(jié)詞，把命題公式變?yōu)榕c其等價(jià)的用{¬，∧，∨}表達(dá)的公式。 例:

35、 Ｐ→Ｑ?¬Ｐ∨Ｑ， Ｐ?Ｑ?（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧¬Ｑ） ?（¬Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨¬Ｑ） （２）將“¬”深入到原子命題變?cè)?，并使變?cè)白疃嘀挥幸粋€(gè)“¬”詞。例： ¬（¬Ｐ∨¬Ｑ）?¬ ¬Ｐ∧ ¬ ¬Ｑ ?Ｐ∧Ｑ（３）利用“

36、∧”對(duì)“∨”的分配，將公式化成為析取范式。（４）除去永假項(xiàng)得最簡析取范式。,,（例：求¬（Ｐ∨Ｑ）?（Ｐ∧Ｑ）的析取范式： 解：原式 ?(¬（Ｐ∨Ｑ）∨ （Ｐ∧Ｑ）) ∧ (¬（Ｐ∧Ｑ）∨ ¬（Ｐ∨Ｑ）) ?(¬ （Ｐ∨Ｑ）∧ （Ｐ∧Ｑ）) ∨ (¬ ¬ （Ｐ∨Ｑ）∧ ¬ （Ｐ∧Ｑ）) -----（1）化去?詞 ?（¬Ｐ∧ ¬

37、;Ｑ∧Ｐ∧Ｑ）∨（（Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）） -----（2）將“¬”深入到變?cè)懊?，并最多保留一個(gè)? ?（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ∧Ｐ∧Ｑ）∨（（Ｐ∧ ¬Ｐ）∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｑ∧ ¬Ｑ））-----（3）“∧”對(duì)“∨”的分配，化成為析取范式 ?（Ｐ∧¬Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ） -----（4）最簡析取范式,

38、,求一個(gè)命題公式的合取范式的方法和求析取范式的方法類同：第（１）、（２）步相同；第（３）利用“∨”對(duì)“∧”的分配就行；第（４）去掉永真的析取項(xiàng)。,,例：求Ｑ∨¬（Ｐ→Ｑ）∨¬（Ｐ∨Ｑ）的合取范式原式 ? Ｑ∨¬（¬Ｐ∨Ｑ）∨¬（Ｐ∨Ｑ）　　 ——化去“→”詞?Ｑ∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）　　 —

39、—“¬”深入到變?cè)?，并最多保留一個(gè)?（（Ｑ∨Ｐ）∧（Ｑ∨ ¬Ｑ））∨（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ） ——“∨”對(duì)“∧”的分配 ?（Ｑ∨Ｐ∨ ¬Ｐ）∧（Ｑ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｐ）∧（Ｑ∨Ｐ∨ ¬Ｑ）∧（Ｑ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｑ）?Ｔ（最簡合取范式）,,定義：在ｎ個(gè)命題變?cè)暮先∈街?，若每個(gè)變?cè)捌浞穸ú⒉煌瑫r(shí)存在，且二者之一出現(xiàn)一

40、次且僅出現(xiàn)一次，稱為布爾合取或小項(xiàng)。例：命題變?cè)狿和Q，其小項(xiàng)為： P Λ Q， ¬P Λ Q， P Λ ¬Q， ¬P Λ ¬Q對(duì)三個(gè)命題變?cè)vＰ，Ｑ，Ｒ，其小項(xiàng)為：Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、 Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、 Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ、 ¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、 ¬Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、¬Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、

41、2;Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ,,有上式可知，若是有2個(gè)變?cè)№?xiàng)有22=4個(gè)，若是有3個(gè)變?cè)?，小?xiàng)有23=8個(gè)。推廣到一般：ｎ個(gè)命題變?cè)獦?gòu)成的不同小項(xiàng)有2n個(gè)（n∈I+）。使得每個(gè)極小項(xiàng)為真的賦值僅有一個(gè)。可以用二進(jìn)制編碼表示。Ｐ與¬Ｐ分別用1、0表示。例：對(duì)三個(gè)命題變?cè)vＰ∧Ｑ∧Ｒ，其小項(xiàng)為：m111=Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、 m110=Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、 m101=Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、m10

42、0=Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ、 m011= ¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、 m010= ¬Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ、m001= ¬Ｐ∧¬Ｑ∧Ｒ、 m000= ¬Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ,,根據(jù)書本P17，表1.5.1可知：（1）每個(gè)小項(xiàng)具有一個(gè)相應(yīng)編碼，只有編碼與其真是指派相同時(shí)，該小項(xiàng)真值為T，在其余2n-1種指派情況下為F。m011= ¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ，只有當(dāng)Ｐ

43、、Ｑ、Ｒ的真值分布為F、T、T是，小項(xiàng)m011= ¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ真值為1，其余7種指派均為F。（2）任意兩個(gè)小項(xiàng)的的合取式永假；m100∧ m010=（Ｐ∧¬Ｑ∧¬Ｒ）∧(¬Ｐ∧Ｑ∧¬Ｒ） ?Ｐ∧ (¬Ｐ∧Ｑ∧ ¬Ｑ∧ ¬Ｒ∧¬Ｒ ?T（3）全體小項(xiàng)的析取式為用真。,,定義：對(duì)給定的命題公式來講，僅含有小

44、項(xiàng)的析取的等價(jià)式稱為給定命題公式的主析取范式。即小項(xiàng)之“和”為主析取范式。定理：在真值表中，一個(gè)公式的真值為Ｔ的指派所對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)的析取，即為此公式的主析取范式。定理：任意含n個(gè)命題變?cè)姆怯兰偈矫}公式，其主析取式是唯一的。,,例：求出Ｐ→Ｑ、Ｐ∨¬Ｑ、 ¬（Ｐ∧Ｑ）、Ｐ∧¬Ｑ的主析取范式,Ｐ→Ｑ?（¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）Ｐ∨

45、 ¬Ｑ?（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ） ¬（Ｐ∧Ｑ）? （¬Ｐ∧¬Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）Ｐ∧¬Ｑ?（Ｐ∧¬Ｑ）,,討論此定理：（1）只要命題公式不是永假式，則一定可以根據(jù)該命題公式的真值表直接寫出其主析取范式，其方法是找出該公式為“Ｔ”的行，對(duì)應(yīng)寫出小項(xiàng)的析取式，且一定是唯一的。（2）若命題

46、公式是含有n個(gè)變?cè)挠勒媸剑瑒t它的主析取范式一定含有2n個(gè)極小項(xiàng)。（3）若二個(gè)命題公式對(duì)應(yīng)的主析取范式相同，則此二個(gè)命題公式一定是等價(jià)的。（4）命題公式的主析取范式中小項(xiàng)的個(gè)數(shù)一定等于對(duì)應(yīng)真值表中真值為“Ｔ”的個(gè)數(shù)。,,下面介紹不用真值表，直接求命題公式主析取范式的方法，分四步：（１）將命題公式化歸為與其等價(jià)的析取范式； （２）除去永假項(xiàng)，合并基本積中相同項(xiàng)（例：Ｐ∧Ｐ∧Ｑ?Ｐ∧Ｑ），變?yōu)樽詈單鋈》妒健＃ǎ常├锰碜冊(cè)姆椒ǎ?/p>

47、將所有析取范式變?yōu)樾№?xiàng)。例：二個(gè)變?cè)小ⅲ?，利用“∧”?duì)或“∨”的分配添項(xiàng)　?。?Ｐ∧（Ｑ∨¬Ｑ） ?（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ） Ｑ?Ｑ∧（Ｐ∨¬Ｐ） ?（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）（４）合并相同的極小項(xiàng)變?yōu)橐豁?xiàng)。,,例1：求（Ｐ∧（Ｐ→Ｑ））∨Ｑ的主析取范式解：原式?（Ｐ∧¬Ｐ）∨（Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ

48、 ----（1）化為析取范式? （Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ ----（2）消去永假項(xiàng)，變?yōu)樽詈單鋈》妒?（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｑ∧（Ｐ∨¬Ｐ））?（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ） ----（3）添項(xiàng)?（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）

49、 ----（4）合并相同最小項(xiàng),,例2：證明Ｐ∨（¬Ｐ∧Ｑ）?Ｐ∨Ｑ 證明方法是寫出二個(gè)命題公式的主析范式，看其是否相同：（Ｑ∨¬Ｑ）∧Ｐ∨（¬Ｐ∧Ｑ） ?（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）而Ｐ∨Ｑ ? （Ｐ∧（Ｑ∨¬Ｑ））∨（Ｑ∧（Ｐ∨¬Ｐ）） ?（Ｐ∧Ｑ）

50、∨（Ｐ∧¬Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ） ?（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）主析范式相同，∴有Ｐ∨（¬Ｐ∧Ｑ） ?Ｐ∨Ｑ,,定義：在ｎ個(gè)命題變?cè)奈鋈∈街?，若每個(gè)變?cè)c其否定，并不同時(shí)存在，且二者之一出現(xiàn)一次且僅出現(xiàn)一次，則稱這種布爾析取或大項(xiàng)。Ｐ與¬Ｐ分別用0、1表示例：命題變?cè)狿和Q，其大項(xiàng)為： P ∨ Q， ¬P ∨ Q， P ∨ &#

51、172;Q， ¬P ∨ ¬Q對(duì)三個(gè)命題變?cè)vＰ，Ｑ，Ｒ，其大項(xiàng)為：M000=Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、 M001=Ｐ∨Ｑ∨ ¬Ｒ、 M010=Ｐ∨ ¬Ｑ∨Ｒ、M011=Ｐ∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ、 M100= ¬Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、 M101= ¬Ｐ∨Ｑ∨ ¬Ｒ、M110= ¬Ｐ∨ ¬Ｑ∨Ｒ、 M111= ¬Ｐ

52、∨ ¬Ｑ∨ ¬Ｒ推廣到一般：ｎ個(gè)命題變?cè)獦?gòu)成的不同大項(xiàng)有2n個(gè)（n∈I+）。使得每個(gè)大項(xiàng)為真的賦值僅有一個(gè)。,,定理：在真值表中，一個(gè)公式的真值為F的指派所對(duì)應(yīng)的大項(xiàng)的合取，即為此公式的主合取范式。在真值表中真值為“Ｆ”的個(gè)數(shù)等于主合取范式中大項(xiàng)的個(gè)數(shù)。定理：任意含有n個(gè)命題變?cè)姆怯勒婷}公式A，其主合取范式是唯一的。,,例：求出（Ｐ→Ｑ）、（Ｐ∨Ｑ）、¬（Ｐ∧Ｑ）、（Ｐ∧Ｑ）的主合取范式。

53、直接寫出其主合取范式： （Ｐ→Ｑ） ?（¬Ｐ∨Ｑ）（大項(xiàng)）（Ｐ∨Ｑ） ? （Ｐ∨Ｑ） ¬（Ｐ∧Ｑ） ?（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）（Ｐ∧Ｑ） ? （Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨ ¬Ｑ）∧（ ¬Ｐ∨Ｑ）,,討論（１）與命題公式等價(jià)的主合范式中大項(xiàng)的個(gè)數(shù)等于其真值表中真值為“Ｆ”的個(gè)數(shù)。由真值表找大項(xiàng)的方法為：將表中值為“Ｆ”的對(duì)應(yīng)真值指派中，把變?cè)獙懗煞穸?，把變?cè)姆穸▽懗勺冊(cè)?。（２）?/p>

54、要命題公式不是永真式，則一定可以寫出對(duì)應(yīng)與其等價(jià)的唯一的主合取范式。３）若命題公式為含有ｎ個(gè)變?cè)挠兰偈?，則主合取范式包含了2n個(gè)大項(xiàng)的合取式。（４）可用主合取范式判定二個(gè)命題公式是否等價(jià)。,,５）已知一個(gè)命題公式的主析取范式，則一定可以直接寫出與其等價(jià)的主合取范式來。反之也行。例：Ｐ∨ ¬Ｑ ?（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）

55、 ……主析范式 ?¬ （ ¬Ｐ∧Ｑ）?Ｐ∨ ¬Ｑ……主合取范式（６）對(duì)應(yīng)于有ｎ個(gè)變?cè)拿}公式，則一定有：主析范式極小項(xiàng)數(shù)＋主合范式極大項(xiàng)數(shù)＝　2n,,下面介紹不用真值表求一命題公式主合取范式的方法：（1）化為與命題公式等價(jià)的合取范式；（2）除去真值為“T”的析取項(xiàng)和除去析取項(xiàng)中相同變?cè)抑槐Ａ粢粋€(gè)，變?yōu)樽詈喓先∈剑?/p>

56、（3）添項(xiàng)，使析取項(xiàng)均變?yōu)闃O大項(xiàng)；例如：Ｐ、Ｑ為二個(gè)變?cè)?，即：?Ｐ∨（Ｑ∧?Ｑ） ? （Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨ ?Ｑ）（4）合并相同的極大項(xiàng)，保留一項(xiàng)。例：求Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ的主合取范式 解：原式 ?Ｐ∧（¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ　　　　　?（Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ　　　　　?（Ｐ∨Ｑ） ∧Ｑ　　　　　? （Ｐ∨Ｑ）∧（ ?Ｐ∨Ｑ）,,根據(jù)小項(xiàng)與大項(xiàng)的剛好相反的編碼規(guī)則，主析取式與主合取式可以寫成統(tǒng)一

57、的編碼：（Ｐ∧（Ｐ→Ｑ））∨Ｑ?（Ｐ∧Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）（主析取式）=m11 ∨m01=∑（1，3）?（Ｐ∨Ｑ）∧ （¬Ｐ∧Ｑ）（主合取式）=M 00∧M10 =∏（0，2）¬（Ｐ∧Ｑ）? （¬Ｐ∧¬Ｑ）∨（¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧¬Ｑ）（主析取式）= m00 ∨m01 ∨m10 =∑（0，1，2） ?（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）

58、 （主合取式）= m11 = ∏（3）,m，M的小標(biāo)為二進(jìn)制，而∑， ∏的小標(biāo)為對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制,,已知A主析取式范式，如何求主合取式范式？求出A的主析取式中為包含小項(xiàng)的小標(biāo)。把1的求出的小標(biāo)寫成與之相反的對(duì)應(yīng)大項(xiàng)。把2中寫成的大項(xiàng)合取，幾位A的主合式范式。,1.6.推理理論,按公認(rèn)的推論規(guī)則，從前提集合中推導(dǎo)出一個(gè)結(jié)論來，這樣的推導(dǎo)過程稱為演繹，或者叫形式證明。在任何論證中，若認(rèn)定前提是真的，且從前提集合推導(dǎo)出結(jié)論的論

59、證是遵守了邏輯規(guī)則的，則我們稱此結(jié)論是合法的。根據(jù)邏輯規(guī)則推導(dǎo)出來的任何結(jié)論稱為有效結(jié)論。推論規(guī)則就是指確定論證的有效性的判據(jù)，常是用命題形式表示這些規(guī)則，而不涉及實(shí)際命題和它的真值。,,本節(jié)介紹的證明方法，歸納分成三類：（一）真值表技術(shù)；（二）主范式方法及等值演算法；（三）構(gòu)造論證。 真值表技術(shù)的主要依據(jù)是“→”的真值表定義。若Ｐ?Ｑ當(dāng)且僅當(dāng)（Ｐ→Ｑ）為永真式。,1.6.1真值表技術(shù),定義：設(shè)H1，H2,…Hm,Ｃ都是

60、命題公式，當(dāng)且僅當(dāng)H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hm ?Ｃ，才可以說Ｃ是前提集合｛ H1，H2,…Hm ｝的有效結(jié)論。從給定真值表常用的判斷方法有二種： （１）檢查真值表中H1，H2,…Hm全部為“Ｔ”的所有行，看結(jié)論Ｃ是否也均為“Ｔ”，若Ｃ均為“Ｔ”，則結(jié)論有效。否則結(jié)論無效。（２）看結(jié)論Ｃ為“Ｆ”的所有行，檢查每行前提H1，H2,…Hm中是否至少有一個(gè)為Ｆ，若有“Ｆ”，則結(jié)論有效；若有均為“Ｔ”的行，則結(jié)論無效。,,例：試證明

61、下列結(jié)論是否有效，畫出真值表：,由真值表可見：（１）Ｐ，Ｐ→Ｑ?Ｑ　　　　　　　　　　 有效（２）Ｐ→Ｑ，?Ｐ?Ｑ　　　　　　 　　　無效（３）Ｐ→Ｑ， ? （Ｐ∧Ｑ） ? ?Ｐ 　　 　有效（４） ?Ｐ，Ｐ?Ｑ? ? （Ｐ∧Ｑ）　 　　　有效（５）Ｐ→Ｑ，Ｑ?Ｐ　　 　　　　　 　無效,,例：H1：如果大連是一個(gè)大城市，則大寨是一個(gè)鄉(xiāng)村； Ｐ→Ｑ　 H2：大寨是一個(gè)鄉(xiāng)村

62、；　?。选。茫捍筮B是一個(gè)大城市；　?。袆t：Ｐ→Ｑ，Ｑ?Ｐ 無效或者稱：Ｐ不能從前提集合中推導(dǎo)出來。,1.6.2主范式方法及等值演算法,表1.6.2及表1.6.3是常用的等值公式及蘊(yùn)含公式在推理過程中，如果命題變?cè)^多，會(huì)多次使用表1.6.2及表1.6.3。每一個(gè)推理過程就是一系列命題公式序列，其中命題公式或者是已知的前提，或者是由某些前提應(yīng)用推理規(guī)則得到的結(jié)論。常用的推理規(guī)則有：P規(guī)則：在推導(dǎo)的任何步驟上都可以引入前提（條

63、件）T規(guī)則（1）在證明的任何步驟上，所證明的結(jié)論都可以作為后續(xù)證明的前提。 （2）等價(jià)的命題公式置換。,,例2 證明： (P∨Q),(P ?R),(Q ?S)?S∨R 步驟 推理過程 規(guī)則 根據(jù) (1) (P∨Q) P (2) ? P ?Q T(1) E16 (3)

64、 Q ?S P (4) ? P ?S T(2)(3) I6 (5) ? S ?P T(4) E18 (6) P ?R P (7) ? S ?R T(6) I6 (8) S∨R T(7)

65、 E16,1.6.3間接證明（反證法，歸謬法）,定義：由一組前提H1，H2，…，Hn，利用一些公認(rèn)的推理，根據(jù)已知的等價(jià)或蘊(yùn)含公式推演得到的一個(gè)結(jié)論，級(jí)命題公式C，記作： H1 ∧ H2 ∧ …∧ Hn┣C定理：推理H1 ∧ H2 ∧ …∧ Hn┣C為有效推理的充分必要條件是H1 ∧ H2 ∧ …∧ Hn ? C為永真式。定義：設(shè)H1 ， H2 ，…， Hn 是可滿足式。則稱H1 ， H2 ，…， Hn 是相容的，

66、若H1 ， H2 ，…， Hn 是永假式稱H1 ， H2 ，…， Hn 是不相容的定理：若H1 ∧ H2 ∧ …∧ Hn ? ? C為永假式，則H1 ∧ H2 ∧ …∧ Hn┣C成立,,例:證明: R?¬Q, R∨S , S?¬Q, P?Q ? ¬P (1) ¬ (¬P) 假設(shè)前提 (2) P T(1)

67、 (3) P?Q P (4) Q T(2)(3) (5) S?¬Q P (6) Q?¬S T(5) (7) ¬S T(4)(6) (8) R∨S P (9) R T(7)(8)

68、 (10) R?¬Q P (11) ¬Q T(9)(10) (12)Q ∧ ¬Q T(4)(11),,CP規(guī)則：如果能從Q和給定的前提集合P中推導(dǎo)出R來，則就能從前提集合中推導(dǎo)出（Q ? R）來。即: (P∧Q?R)則：P ? (Q?R)例2: P?Q ? P?(P ∧Q) (1) P

69、 附加前提 (2) P?Q P (3) Q T(1)(2) I (4) P ∧Q T(1)(3) (5) P?(P ∧Q) CP,,例：一位計(jì)算機(jī)工作者協(xié)助公安人員審查一起謀殺案，經(jīng)調(diào)查，他認(rèn)為下列情況均是真的。 （1）會(huì)計(jì)張某或鄰居王某謀害了廠長。 （2）

70、如果會(huì)計(jì)張某謀害了廠長，則謀害不可能發(fā)生在半夜。 （3）如果鄰居王某的證詞不正確，則在半夜時(shí)房里燈光未滅。 （4）如果鄰居王某的證詞是正確的，則謀害發(fā)生在半夜。 （5）在半夜房子里的燈光滅了，且會(huì)計(jì)張某曾貪污過。解：設(shè) P：會(huì)計(jì)張某謀害了廠長 Q：鄰居王某謀害了廠長 N：謀害發(fā)生在半夜 O：鄰居王某的證詞是正確的 R：半夜時(shí)房子的

71、燈光滅了 A：會(huì)計(jì)張某曾貪污過,,列出條件公式： (1) P∨Q (4) O?N (2) P?¬N (5) R?A (3) ¬O? ¬ R推導(dǎo)過程為： (1) R?A P (6) N T

72、(2) R T (7) P?¬N P(3) ¬O? ¬R P (8) ¬P T(4) O T (9) P∨Q P(5) O? N P (10) Q T結(jié)論：鄰居王

73、某謀害了廠長；,,作業(yè)P261 a、c、d4 b,,學(xué)習(xí)第一章要注意以下幾點(diǎn)：（1）弄清命題與陳述句的關(guān)系。（2）弄清由5種基本聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題的邏輯關(guān)系及其真值。特別是要弄清蘊(yùn)含式”P?Q“的邏輯關(guān)系及其真值。（3）記住常用的蘊(yùn)含式和等價(jià)式，這是學(xué)好命題邏輯的關(guān)鍵問題。（4）會(huì)準(zhǔn)確地求出給定公式的主析取范式和主合取范式。掌握主析取范式與真值表、成真賦值、主合取范式的關(guān)系。（5）會(huì)用多種方法判斷公式的類型及判斷兩個(gè)公