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1、ODCBAOEDCBAFOEDCBAFOEDCBA《圓的證明與計(jì)算圓的證明與計(jì)算》專題研究圓的證明與計(jì)算是中考中的一類重要的問(wèn)題,此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的發(fā)揮有重要的影響,所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點(diǎn)分析:一、考點(diǎn)分析:1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來(lái)證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理:主要是用來(lái)證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)
2、圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主要是用來(lái)證明——直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來(lái)證明——垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理:主要是用來(lái)證明直線是圓的切線.(7)切線長(zhǎng)定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái)互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析二、考題形式分析:主要以解答題的形式出現(xiàn)第1問(wèn)主要是判定切線;第2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算:①求
3、線段長(zhǎng)(或面積);②求線段比;③求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比)。三、解題秘笈三、解題秘笈:1、判定切線的方法:、判定切線的方法:(1)若切點(diǎn)明確,則若切點(diǎn)明確,則“連半徑,證垂直連半徑,證垂直”。常見(jiàn)手法有:全等轉(zhuǎn)化;平行轉(zhuǎn)化;直徑轉(zhuǎn)化;中線轉(zhuǎn)化等;有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直;(2)若切點(diǎn)不明確,則若切點(diǎn)不明確,則“作垂直,證半徑作垂直,證半徑”。常見(jiàn)手法:角平分線定理;等腰三角形三線合一,隱藏角平分線;總而言之,要
4、完成兩個(gè)層次的證明:①直線所垂直的是圓的半徑(過(guò)圓上一點(diǎn));②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例:(1)如圖,AB是⊙O的直徑,BC⊥AB,AD∥OC交⊙O于D點(diǎn),求證:CD為⊙O的切線;(2)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O,交斜邊AC于D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),連結(jié)DE,求證:DE是⊙O的切線.(3)如圖,以等腰△ABC的一腰為直徑作
5、⊙O,交底邊BC于D,交另一腰于F,若DE⊥AC于E(或E為CF中點(diǎn)),求證:DE是⊙O的切線.(4)如圖,AB是⊙O的直徑,AE平分∠BAF,交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥AF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,求證:CD是⊙O的切線.2、與圓有關(guān)的計(jì)算:、與圓有關(guān)的計(jì)算:計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比,通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合,形式復(fù)雜,無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系,選擇定理進(jìn)
6、行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,找出所求線段與已知線段的關(guān)系,從而化未知為已知,解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的如右圖:(1)DE切⊙OE是BC的中點(diǎn);?(2)若DE切⊙O,則:①DE=BE=CE;②D、O、B、E四點(diǎn)共圓∠CED=2∠A?③CDCA=4BE2BABCBDCDRDE??圖形特殊化:在(圖形特殊化:在(1)的條件下)的條件下如圖1:DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;?如圖2
7、:若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若AB=BF,則:①②31?EFDE21?RBE圖形圖形4:如圖,⊿ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F,基本結(jié)論有:基本結(jié)論有:(1)DE⊥ACDE切⊙O;?(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:①⊿DFC是等腰三角形;②EF=EC;③D是的中點(diǎn)。④與基本圖形基本圖形1的結(jié)論重合。⑤連AD,產(chǎn)生母子三角形。圖形圖形5::以直角梯形ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于E,
8、基本結(jié)論有基本結(jié)論有:(1)如圖1:①ADBC=CD;②∠COD=∠AEB=90;③OD平分∠ADC(或OC平分∠BCD);(注:在①、②、③及④“CD是⊙O的切線”四個(gè)論斷中,知一推三)④ADBC=2=R2;AB41(2)如圖2,連AE、CO,則有:CO∥AE,CO?AE=2R2(與基本圖形2重合)(3)如圖3,若EF⊥AB于F,交AC于G,則:EG=FG.圖形圖形6:如圖:直線PR⊥⊙O的半徑OB于E,PQ切⊙O于Q,BQ交直線PQ
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