多元函數(shù)的極值及其求法

1、第十一講第十一講二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值要求：要求：理解多元函數(shù)極值的概念，會用充分條件判定二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。問題提出問題提出：在實(shí)際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的最大值，最小值問題，與一元函數(shù)相類似，多元函數(shù)的最大值，最小值與極大值，極小值有密切的關(guān)系，因此以二元函數(shù)為例，來討論多元函數(shù)的極值問題一二元函數(shù)的極值一二元函數(shù)的極值定義定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)的所有)(yxfz?)(00

2、yx，如果總有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處)()(00yxyx?)()(00yxfyxf?)(yxfz?)(00yx有極大值；如果總有，則稱函數(shù)在點(diǎn)有極小值)()(00yxfyxf?)(yxfz?)(00yx函數(shù)的極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)例1函數(shù)在點(diǎn)處不取得極值，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)xyz?)00()00(的任一鄰域內(nèi)總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn))00(例2函數(shù)在點(diǎn)處有極小值2243yxz??)

3、00(因?yàn)閷θ魏斡?(yx0)00()(??fyxf從幾何上看，點(diǎn)是開口朝上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)，曲面在點(diǎn))000(2243yxz??處有切平面，從而得到函數(shù)取得極值的必要條件)000(0?z定理定理1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn))(yxfz?)(00yx)(00yx的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即，0)(00?yxfx0)(00?yxfy幾何解釋幾何解釋若函數(shù)在點(diǎn)取得極值，那么函數(shù)所表示的曲面在點(diǎn))(yx

4、fz?)(00yx0z處的切平面方程為)(000zyx))(())((0000000yyyxfxxyxfzzyx?????是平行于坐標(biāo)面的平面xoy0zz?類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為有的，均有，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極大值)00()(?yx0)00()(??fyxf)00(注意注意2極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)，若對可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣？例4求函數(shù)的極值xyxyxyxf933)(2233?????解先解方程

5、組，求得駐點(diǎn)為，?????????????063096322yyfxxfyx)23()03()21()01(??再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)，，66??xfxx0?xyf66??yfyy在點(diǎn)處，，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處有極小值為)01(0726122?????BAC0?A)01(；5)01(??f在點(diǎn)處，，所以不是極值；)21(0722????BAC)21(f在點(diǎn)處，，所以不是極值；)03(?0722????BAC)03(?f在點(diǎn)處，，又，所以函數(shù)在

6、點(diǎn)處有極大值為)23(?0722???BAC0?A)23(?31)23(??f二函數(shù)的最大值與最小值二函數(shù)的最大值與最小值求最值方法求最值方法：⑴將函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的全部極值點(diǎn)求出；)(yxfD⑵求出在邊界上的最值；即分別求一元函數(shù)，的)(yxfD1(())fxx?2(())fxx?最值；⑶將這些點(diǎn)的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值實(shí)際問題求最值實(shí)際問題求最值根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最值一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi))(yxfD