建筑造型裝飾與三維動(dòng)畫 第5章

1、第5章 曲線和曲面,5.1 參數(shù)表示曲線和曲面的基礎(chǔ)知識,5.1.1 曲線和曲面的表示方法1．顯式表示顯式表示是將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)表示成方程的形式，且一個(gè)坐標(biāo)變量能夠用其余的坐標(biāo)變量顯式的表示出來。2．隱式表示隱式表示不要求坐標(biāo)變量之間一一對應(yīng)，它只是規(guī)定了各坐標(biāo)變量必須滿足的關(guān)系。3．參數(shù)表示參數(shù)表示是將曲線上各點(diǎn)的坐標(biāo)表示成參數(shù)方程的形式。假定用t表示參數(shù)，參數(shù)t在[0，1]區(qū)間內(nèi)變化，當(dāng)t

2、=0時(shí)，對應(yīng)曲線段的起點(diǎn)，當(dāng)t=1時(shí)，對應(yīng)曲線段的終點(diǎn)。,與顯式、隱式方程相比，用參數(shù)方程表示曲線和曲面更為通用，其優(yōu)越性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）曲線的邊界容易確定。（2）點(diǎn)動(dòng)成線。（3）具有幾何不變性。（4）易于變換。（5）易于處理斜率為無窮大的情形。（6）表示能力強(qiáng)。,5.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率與撓率1．位置矢量2．切矢量3．法矢量主法矢量 、副

3、法矢量 法平面、密切平面 、副法平面,,,4．曲率和撓率,,,5.1.3 樣條表示1．插值、逼近和擬合給定一組稱為控制點(diǎn)的有序坐標(biāo)點(diǎn)，通過這些控制點(diǎn)，可以構(gòu)造出一條樣條曲線：如果樣條曲線順序通過每一個(gè)控制點(diǎn)，稱為對這些控制點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值樣條曲線；如果樣條曲線在某種意義下最接近這些控制點(diǎn)（不一定通過每個(gè)控制點(diǎn)），稱為對這些控制點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近樣條曲線；插值和逼近統(tǒng)稱為擬

4、合。,2．曲線的連續(xù)性（1）參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性1階參數(shù)連續(xù)性2階參數(shù)連續(xù)性（2）幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性1階幾何連續(xù)性2階幾何連續(xù)性,5.2 Hermite曲線,5.2.1 n次參數(shù)多項(xiàng)式曲線給定n+1個(gè)控制點(diǎn)，可以得到如下n次參數(shù)多項(xiàng)式曲線p(t)：經(jīng)過分解，上式可改寫為如下形式：通常，將T·M矩陣稱為n次參數(shù)多項(xiàng)式曲線的基函數(shù)（或稱調(diào)和函數(shù)、混合函數(shù)）。,,,5.2.2

5、 三次Hermite曲線的定義如果給定一段三次參數(shù)樣條曲線的兩個(gè)端點(diǎn)的位置矢量為p(0)、p(1)，切矢量為p’(0)、p’(1)，則三次Hermite曲線的矩陣表示為：通常，將T稱為矢量矩陣，將Mh稱為通用變換矩陣，將Gh稱為Hermite系數(shù)，將T?Mh稱為Hermite基函數(shù)。,,5.3 Bezier曲線,5.3.1 Bezier曲線的定義在空間給定n+1個(gè)控制點(diǎn)，其位置矢量表示為Pi（i = 0,

6、 1, …, n）?？梢员平扇缦碌膎次Bezier曲線：其中， 稱為伯恩斯坦（Bernstein）基函數(shù)，它的多項(xiàng)式表示為：,,,,依次用直線段連接相鄰的兩個(gè)控制點(diǎn)Pi，Pi+1，（i = 0, 1, …, n – 1），便得到一條n邊的折線P0P1P2…Pn，將這樣一條n邊的折線稱為Bezier控制多邊形（或特征多邊形），簡稱為Bezier多邊形。Bezier曲線和它的控制多邊形十分逼近，通常認(rèn)為控

7、制多邊形是對Bezier曲線的大致勾畫，因此在設(shè)計(jì)中可以通過調(diào)整控制多邊形的形狀來控制Bezier曲線的形狀。,1．一次Bezier曲線（n=1）一次多項(xiàng)式，有兩個(gè)控制點(diǎn)，其矩陣表示為： 顯然，它是一條以P0為起點(diǎn)、以P1為終點(diǎn)的直線段。,,2．二次Bezier曲線（n=2）二次多項(xiàng)式，有三個(gè)控制點(diǎn)，其矩陣表示為：顯然，它是一條以P0為起點(diǎn)、以P2為終點(diǎn)的拋物線。,,3

8、．三次Bezier曲線（n=3）三次多項(xiàng)式，有四個(gè)控制點(diǎn)，其矩陣表示為：可知，三次Bezier曲線是一條以P0為起點(diǎn)、以P3為終點(diǎn)的自由曲線。,,5.3.2 Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)1．正性2．端點(diǎn)性質(zhì)3．權(quán)性（規(guī)范性）4．對稱性5．最大值6．遞推性7．導(dǎo)函數(shù),5.3.3 Bezier曲線的性質(zhì)1．端點(diǎn)性質(zhì)位置矢量 切矢量 二階導(dǎo)矢 2．對稱性3．

9、凸包性4．幾何不變性5．變差縮減性6．仿射不變性,5.3.4 Bezier曲線的生成1．Bezier曲線的生成算法參見例5-22．手工繪制一段Bezier曲線3．Bezier曲線的連接4．Bezier曲線的升階與降階,5.4 B樣條曲線,5.4.1 B樣條曲線的定義在空間給定m + n + 1個(gè)控制點(diǎn)，用向量Pi表示（i = 0,1,…, m + n），稱n次參數(shù)曲線：為n次B樣條的第i段曲線(

10、i = 0, 1, …, m)。其中：Fl,n(t)是新引進(jìn)的B樣條基函數(shù)，即：這樣一共有m + 1段B樣條曲線，統(tǒng)稱為n次B樣條曲線。,,,依次用直線段連接相鄰的兩個(gè)控制點(diǎn)Pi+l與Pi+l+1（l = 0, 1, …, n –1），將得到的折線稱為第i段的B控制多邊形。由第i段的B控制多邊形決定的B樣條曲線稱為第i段B樣條曲線。由于任意一段的B樣條曲線具有相同的幾何性質(zhì)，因此取i = 0，即第0段的B樣條曲線進(jìn)

11、行研究，第0段的B樣條曲線定義式為：,,,5.4.2 B樣條曲線的表示及性質(zhì)以三次B樣條曲線為例：1、三次B樣條曲線的矩陣表示,,2、三次B樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)位置矢量切矢量二階導(dǎo)數(shù)3、三次B樣條曲線的連續(xù)性,5.4.3 B樣條曲線的生成1．B樣條曲線的生成算法參見例5-9 2．反求三次B樣條曲線控制點(diǎn)3．B樣條曲線與Bezier曲線的轉(zhuǎn)換,5.5　Coons曲面,5.5.1 參數(shù)曲面的基本概念定義雙參

12、數(shù)曲面的方程為： P(u,v)，u,v∈[0,1]則曲面片的四條邊界可以由參數(shù)曲線P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v)定義，曲面片的四個(gè)角點(diǎn)可以由P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定義。,5.5.2 Coons曲面的定義應(yīng)用Hermite曲線的基函數(shù)，可以構(gòu)造出一個(gè)雙三次Coons曲面，其矩陣表示為：

13、 其中：,,,,它稱為角點(diǎn)信息矩陣。,,5.5.3 Coons曲面的拼合設(shè)有兩塊相鄰的曲面片P與Q，兩塊Coons曲面片的拼接分為沿u方向的拼接和沿v方向的拼接。以沿u方向的拼接為例 ：1．若要滿足G 0連續(xù)，則要求P與Q有共同的邊界，即 。2．若要滿足G 1連續(xù)，則要求P與Q在共同的邊界上有相同的切平面，即

14、 ，k為常數(shù)。,,,5.6　Bezier曲面,5.6.1 Bezier曲面的定義及性質(zhì)1．Bezier曲面的定義在空間給定(n+1)×(m+1)個(gè)點(diǎn)Pij(i=0,1…n; j=0,1…m)，則可逼近生成一個(gè)n×m次的Bezier曲面片，其定義為：稱Pij為P(u,v)的控制頂點(diǎn)；把由兩組多邊形Pi0Pi1…Pim (i=0,1,…n)和P0jP1j…Pnj (j=0,1,…m)組成的網(wǎng)格稱為

15、P(u,v)的控制多面體（控制網(wǎng)格），記為{Pij}。同樣，P(u,v)是對{Pij}的逼近， {Pij}是P(u,v)的大致形狀的勾畫。,,由16個(gè)控制頂點(diǎn)所構(gòu)成的控制網(wǎng)格可繪制一個(gè)雙三次(3×3次)Bezier曲面片，其矩陣表示為：其中：,,,,2．Bezier曲面的性質(zhì)Bezier曲面的許多性質(zhì)與Bezier曲線的許多性質(zhì)完全一致。端點(diǎn)性質(zhì)邊界線的位置凸包性,5.6.2 Bezier曲面的生成參見

16、例5-10,5.7　B樣條曲面,5.7.1 B樣條曲面的定義在空間給定(n+1)×(m+1)個(gè)點(diǎn)Pij(i=0,1…n; j=0,1…m)，則可逼近生成一個(gè)n×m次的B樣條曲面片，其定義為：相比于Bezier曲面，B樣條曲面要更加逼近于控制網(wǎng)格。,,由16個(gè)控制頂點(diǎn)所構(gòu)成的控制網(wǎng)格可繪制一個(gè)雙三次(3×3次)B樣條曲面片，它的矩陣表示為：其中：,,,,,,5.7.2 B樣條曲面的