高中數(shù)學(xué)第四章定積分41定積分的概念分析“求汽車行駛的路程”感悟定積分概念的形成素材北師大版2-2!

1、14.14.1分析分析“求汽車行駛的路程求汽車行駛的路程”感悟定積分概念的形成感悟定積分概念的形成定積分概念的理解對大多數(shù)同學(xué)來說是比較抽象的.概念的形成不是以一段文字可以概括和說明的.而是要通過一種數(shù)學(xué)運(yùn)算來體現(xiàn)定積分的內(nèi)涵與意義.所以對這種運(yùn)算如果不能有一種清晰的認(rèn)識就很難真正把握定積分的定義.下面我們就把這一運(yùn)算過程通過“求汽車行駛的路程”詳細(xì)地分解開以助于同學(xué)們深刻理解其本質(zhì).一.提出問題提出問題汽車以速度v組勻速直線運(yùn)動時(shí)，經(jīng)

2、過時(shí)間t所行駛的路程為Svt?如果汽車作變速直線運(yùn)動，在時(shí)刻t的速度為??22vtt???（單位：kmh），那么它在0≤t≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程S（單位：km）是多少？分析：分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動的路程問題，化歸為勻速直線運(yùn)動的路程問題把區(qū)間??01分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于??vt的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的

3、近似值，在求和得S（單位：km）的近似值，最后讓n趨緊于無窮大就得到S（單位：km）的精確值（思想：思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動的路程）解：1分割分割在時(shí)間區(qū)間??01上等間隔地插入1n?個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間??01等分成n個(gè)小區(qū)間：10n??????，12nn??????，…，11nn???????記第i個(gè)區(qū)間為1(12)iiinnn?????????，其長度為:11iitnnn?????.

4、把汽車在時(shí)間段10n??????，12nn??????，…，11nn???????上行駛的路程分別記作：1S?，2S?，…，nS?顯然，1niiSS????3思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程S與由直線010ttv???和曲線22vt???所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程limnnSS???在數(shù)據(jù)上等于由直線10??tt0?v和曲線22vt???所圍成的曲邊梯形的面積一般地，

5、如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為??vvt?，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤t≤b內(nèi)所作的位移S二實(shí)例展示二實(shí)例展示例例彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力??Fxkx?（k為常數(shù)，x是伸長量），求彈簧從平衡位置拉長b所作的功分析：分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解：解：將物體用常力F沿力的方向移動距離x，則所

6、作的功為WFx??1分割分割在區(qū)間??0b上等間隔地插入1n?個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間??01等分成n個(gè)小區(qū)間：0bn??????，2bbnn??????，…，??1nbbn???????記第i個(gè)區(qū)間為??1(12)ibibinnn??????????，其長度為:??1ibibbxnnn??????.把在分段0bn??????，2bbnn??????，…，??1nbbn???????上所作的功分別記作：1W?，2W?，…，nW?（2）近似代替近似代