定積分的性質(zhì)

1、4定積分的性質(zhì)教學(xué)目的與要求：1.理解并掌握定積分的性質(zhì)極其證明方法.2.逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：1.定積分的性質(zhì)極其證明方法.2.應(yīng)用定積分的性質(zhì)證明定積分的有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)內(nèi)容：一定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1若f在[ab]上可積，k為常數(shù)，則kf在[ab]上也可積，且.（1）????bbkfxdxkfxdxaa???證當(dāng)k=0時(shí)結(jié)綸顯然成立.當(dāng)k時(shí)由于0?????11.nniiiiiikfxkJkfxJ

2、???????????其中J=因此當(dāng)f在[ab]上可積時(shí)由定義任給????dfab?00T??????存在當(dāng)時(shí)??1niiifxJk???????從而??1.niiikfxkJ???????即kf在［ab］上可積，且????.bbkfxdxkJkfxdxaa????性質(zhì)２若f﹑g都在［ab］可積，則f在［ab］上也可積，且g?（2）????????.bbbfxgxdxfxdxgxdxaaa???????????證明與性質(zhì)１類同。注1性質(zhì)

3、１與性質(zhì)２是定積分的線性性質(zhì)，合起來(lái)即為????????bbbafxgxdxafxdxgxdxaaa????????????其中a﹑為常數(shù)。?等式（3）??????bcbfxdxfxdxfxdxaac?????證[充分性]由于f在[ac]與[cb]上都可積，故任給分別存在對(duì)[ac]與[cb]的分割0??，使得“TT與2iiT??????“““.2iiT??????現(xiàn)令它是[ab]的一個(gè)分割且有“TTT??“.iiiiiiTTT?????

4、?????????????????由此證得f在[ab]上可積.[必要性]已知f在[ab]上可積故任給存在對(duì)[ab]的某分割T使得0??在T上再增加一個(gè)分點(diǎn)C得到一個(gè)新的分割由3習(xí)題第一題又有.iT??????.?T.iiiiTT??????????????分割在[ac]和[cb]上的部分分別構(gòu)成對(duì)[ac]和[cb]的分割記為則有?T“TT和iiiiTT??????????????“““iiiiTT???????????????這就證得f

5、在[ab]和[bc]上都可積.在證得上面結(jié)果的基礎(chǔ)上最后來(lái)證明等式(3).為此對(duì)[ab]作分割T恒使點(diǎn)C為其中的一個(gè)分點(diǎn)這時(shí)T在[ac]與[cb]上的部分各自構(gòu)成對(duì)[ac]與[cb]的分割分別記為.由于TT??與??????iiiiiiTTTfff????????????????????因此當(dāng)時(shí)對(duì)上式取極限就得到(3)式成立.??00“0TTT???同時(shí)有注性質(zhì)4及公式(3)稱為關(guān)于積分區(qū)間的可加性.當(dāng)時(shí)(3)式的幾何意義就是曲邊梯形面