定積分概念之數(shù)學定義

1、定積分概念之數(shù)學定義,北京師范大學珠海分校歐陽順湘2004.12.6,抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型,求曲邊梯形的面積變力作功,一、求曲邊梯形的面積,(1)分割取近似：,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,,(2) 求和： 把n個小矩形的面積加起來。,,,二、變力作功,設質點 m 受力的作用沿 x 軸由點 a 移動至 b 點,并設 F 平行于 x 軸. 如果 F 是常量,則它對質點所作的功為W=F(b-a)

2、如果力 F 不是常量,而是質點所在位置的連續(xù)函數(shù)，那么對質點所作的功應如何計算呢?,分割,在區(qū)間 [a,b] 內任取 n-1 個分點,當各個小區(qū)間的長度都很小時，由于力F(x)的連續(xù)性，它在每個小區(qū)間上的變化不大，可以近似看作常量，即在Δx_i上任取一點 ξ_i , 把該點處的力 F(ξ_i)當作 Δx_i 上變力 F(x) 的近似值,近似求和－取極限,質點 m 從 x_i-1 位移到 x_i 時力 F(x) 所作的功 Δw_i 近似

3、為 ΔW_i ≈ F(ξ_i) Δx_i 從而， W ≈ Σ ΔW_i ≈ Σ F(ξ_i) Δx_i 再取極限。,§1.2 定積分的概念,定義(Definition):,,,,極限,存在。,記作：,,即,積分上限,積分下限,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,定積分的幾何意義,,定積分的幾何意義,,幾何意義：,§1.4

4、可積條件,定積分存在稱為可積，否則稱為不可積可積函數(shù)（integrable function）可積的必要條件；可積的充分條件。,必要條件,定理1 若函數(shù)f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上有界。任何可積函數(shù)一定是有界的。無界的函數(shù)一定不可積。有界函數(shù)才可能可積，但不一定可積。,充分條件,定理2 若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，或單調函數(shù)或只有有限個間斷點的有界函數(shù)， 則f(x

5、)在[a,b]上可積。,閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可積,只有有限個間斷點的有界函數(shù),單調函數(shù)可積,推論：分段單調的連續(xù)函數(shù)也可積,黎曼積分,在高等微積分中，我們這里定義的積分稱為黎曼積分這是為將同各種推廣的積分概念區(qū)分開來也是為了紀念黎曼,黎 曼,1850年，給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作,（Riemann, 1826－1866，德國）,黎曼簡介,黎曼是世界數(shù)

6、學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念的創(chuàng)造與想象。黎曼積分，黎曼幾何，黎曼猜想。。。,,柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的,,1850年，給出了“黎曼積分”的定義，提出函數(shù)可積的概念勒貝格在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點構成一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題,練習題,P110 1（1）,The End,,