巧用定積分求極限(數(shù)學分析)

1、第1頁共1616頁定積分在求極限中的應用定積分在求極限中的應用1、知識準備、知識準備1.11.1緒論緒論微積分學在大學的數(shù)學學習中占有相當重要的地位.然而求極限又是微積分學中常常要面臨的問題.因此積累更多求極限的方法應是每位大學生必備的素養(yǎng).求極限的方法層出不窮最常用的方法有極限的定義和性質(zhì)重要極限的結(jié)論洛必達法則以及泰勒公式等.應用極限的定義時往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比較明顯只需要根據(jù)極限的定義把相關(guān)式子進行放縮便可得到相應的結(jié)果.但是

2、這種方法一方面敘述上比較麻煩另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴格也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達法則是用于解決“”型的極限和“”型極限的.00??泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運算的問題通過泰勒展式后可以達到某些項抵消效果.但若仔細觀察這些方法其特點不是表達較繁瑣就是僅僅應用到微分學知識.事實上微分學和積分學的關(guān)系正如中小學時代學習過的加法與減法乘法與除法乘方與開方以及冪運算與取對

3、數(shù)運算的關(guān)系一樣他們互為逆運算.倘若也能用到積分學知識來解決求極限的問題那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.1.1.2定積分的概念下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的定義:定積分定積分:設函數(shù)在閉區(qū)間上有定義在閉區(qū)間內(nèi)任意插入n1個分點將()fx??ab??ab分成n個區(qū)間記作乘積(稱??ab[]xiixx?(12iiixxxin?????）1[]iixx????()iifx??為積分元)把這些乘積相加得到和

4、式(稱為積分形式)設1()niiifx????若極限存在唯一且該極限值與區(qū)是的分法??max:1ixin?????01lim()niiifx????????ab及分點的取法無關(guān)則稱這個唯一的極限值為函數(shù)在上的定積分記作i?()fx??ab即.否則稱在上不可積.ba()fxdx?01()lim()nbaiiifxdxfx????????()fx??ab注1:由牛頓萊布尼茲公式知計算定積分與原函數(shù)有關(guān)故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在

5、區(qū)間進行特殊分割分點進行特殊的取法得到的和式()bafxdx???abi?極限存在且與定積分的值相等但反之不成立這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)請讀者要真正第3頁共1616頁是由唯一確定的因為對給定的若時能使得當時有則N??100N?nN?||naa???或更大的數(shù)時此不等式自然成立.所以不是唯一的.事實上在許多場合下最重101N?N要的是的存在性而不是它的值有多大.基于此在實際使用中的也不必限于自然數(shù)NN只要是正數(shù)即可而且把“”改為“”也無妨

6、.NnN?nN?函數(shù)的極限設函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)對于任意給定的正()fx0xA數(shù)(不論它有多么小)總存在某正數(shù)使得當滿足不等式時對應的函??x00xx????數(shù)值都滿足不等式那么常數(shù)就叫做函數(shù)當時的極限記()fx()fxA???A()fx0xx?為.00lim()()()xxfxAfxAxx????或當可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限定義的思想是一致的都是相應的某個表達上的值無限地接近某個常數(shù)值.不同的是數(shù)列是離散的

7、數(shù)列中的項在跳躍式地接近而函數(shù)是連續(xù)的函數(shù)值在逐漸地接近但二者都能與相應的常數(shù)值以任意程度地接近.2、定積分與極限2.12.1定積分在求極限中應用概述不難看出無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限它們都與定積分的定義存在著千絲萬縷的關(guān)系那么就讓我們來揭曉它們之間玄機與奧秘吧.事實上定積分的定義中蘊含著一列數(shù)｛｝的和并且只要充分地小和()iifx??ix?式就可以任意地接近確定的實數(shù)J=這正是極限思想的存在即1()niiifx????()bafx

8、dx?.這就為我們求極限提供了一種獨特而有力的方法——利1lim()J()nbiianifxfxdx?????????用定積分求極限.因為在積分學中有大量的積分公式所以我們運用之解決眾多類型的和式極限.2.22.2定積分求極限中應用思想的形成先讓我們看一個簡單的例子:例1.求極限.111lim()122nJnnn???????…分析:此極限式的求解不容易直接用極限的定義解決因為該法往往是用來一邊計算一邊證明某個極限結(jié)果已經(jīng)比較明顯的問題