伊辛模型的平均場(chǎng)理論

1、伊辛模型的平均場(chǎng)理論,目錄,伊辛模型簡(jiǎn)介二維伊辛模型三維伊辛模型前景參考文獻(xiàn),1920年由德國(guó)物理學(xué)家威廉.愣次教授提出的，目的是為了給鐵磁體一個(gè)簡(jiǎn)化的物理圖像。 1925年，伊辛提出描寫鐵磁體的簡(jiǎn)化模型 伊辛結(jié)論：一維鐵磁模型如果只考慮最近鄰交互作用的話，是不可能有相變的。,研究對(duì)象： N個(gè)磁性原子定域；原子角動(dòng)量J=1/2； 磁矩?=eh?4?m；自旋位形?=?1；,伊辛模型 (Ising

2、model),在伊辛模型中鐵磁體內(nèi)原子相互作用能可表為(條件),伊辛本人是猶太人，在納粹德國(guó)時(shí)期，他有著坎坷的人生經(jīng)歷。一生發(fā)表過(guò)一篇論文、一篇人物傳記類論文：“作為物理學(xué)家的歌德”，其博士論文按照德國(guó)慣例也由一家出版社正式出版。他的那篇有關(guān)伊辛模型的SCI論文大概被引用了600余次，但是題目含有Ising model字樣的研究論文目前每年有800篇左右，可見(jiàn)影響巨大。其實(shí)，科學(xué)家的成名應(yīng)該是這種方式，以其名字命名的某種理論、效應(yīng)、現(xiàn)象

3、和方法能夠?yàn)楹笕怂芯坎⑶覍懭虢炭茣?模型說(shuō)明的問(wèn)題：,（介質(zhì)中某點(diǎn)的）等效磁場(chǎng)：,自發(fā)磁化：基態(tài)所有自旋具有相同取向（T=0）；低溫下多數(shù)原子具有相同取向。系統(tǒng)的位形{?i，i=1，2，…，N}決定系統(tǒng)能量。在外磁場(chǎng)B中,平均場(chǎng)近似,討論：1）第一項(xiàng)給出近鄰自旋對(duì)原子i的磁相作用；2）用平均場(chǎng)近似以后，自旋系統(tǒng)成為近獨(dú)立 粒子系統(tǒng)。,分析：由于熱運(yùn)動(dòng)，自旋取向無(wú)規(guī)則變化， Bi漲落不定處

4、理：用平均值近似。設(shè)近鄰原子數(shù)為z，,鐵磁-順磁轉(zhuǎn)變,系統(tǒng)的磁矩為：,根據(jù)定義應(yīng)有,由此研究鐵磁性物質(zhì)的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：存在一臨界溫度 （6

5、）,配分函數(shù)：,當(dāng)T>Tc而H=0時(shí)，物質(zhì)不磁化，沒(méi)有相變；當(dāng)T<Tc時(shí)，盡管仍有H=0，但磁化強(qiáng)度m可不為零（可取正值或負(fù)值），鐵磁性物質(zhì)存在相變。這個(gè)結(jié)論對(duì)一維、二維、三維點(diǎn)陣都應(yīng)成立，但嚴(yán)格的證明指出，二維、三維伊辛模型在臨界溫度以上仍有相變。這反映了平均場(chǎng)近似法的簡(jiǎn)單、粗糙。,,m(T,H)同μH的關(guān)系如圖 4所示。當(dāng)H→0時(shí),對(duì)于T＞0,有m(T,0)＝0?？梢?jiàn)，一維伊辛模型沒(méi)有自發(fā)磁化即不顯示鐵磁性，因而不發(fā)

6、生相變。,在一維伊辛模型中，不論鐵磁性或反鐵磁性，都不會(huì)實(shí)現(xiàn)有序的狀態(tài)。如對(duì)于ε＜0的鐵磁性物質(zhì)，在絕對(duì)零度時(shí)，所有自旋取向都是相同的，此時(shí)，處于能量最低的狀態(tài)。然而，如果熱力學(xué)溫度不等于零，是有限的，則平均位形由兩種相反的、相互競(jìng)爭(zhēng)的趨向所決定。一個(gè)是各個(gè)自旋的取向完全一致，使能量最低；另一個(gè)是各個(gè)自旋的取向?yàn)殡S機(jī)的，使熵最大。由于一維伊辛模型中每個(gè)自旋沒(méi)有足夠多的最近鄰自旋，因而不可能出現(xiàn)所有自旋取向完全相同的情況,而

7、是如圖5所示。,二維伊辛點(diǎn)陣的陣點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)×n=N,為便于計(jì)算，畫成圖6所示的情形。處理二維空間問(wèn)題的方法與一維的類似，只需將一維的每個(gè)陣點(diǎn)當(dāng)作一列，并逐列相加求和即可。,二維情況,無(wú)論從高溫端還是低溫端趨于Tc(即T→Tc+0或T→Tc-0)，比熱容с的值是相同的。圖7給出了比熱容隨溫度變化的曲線，并且同時(shí)畫出了布喇格—威廉斯平均場(chǎng)近似法所得結(jié)果的曲線（圖中虛線），以作比較。,布喇格—威廉斯平均場(chǎng)近似,昂薩格解,為弄清

8、T=Tc處相變的細(xì)節(jié)，還需進(jìn)一步考慮自發(fā)磁化（即計(jì)算自由能對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度H的導(dǎo)數(shù)，再讓H=0）。楊振寧于1952年采用微擾法得到了很好的結(jié)果。他證明自發(fā)磁化強(qiáng)度m(0,T)可表為 對(duì)應(yīng)于Tc的值，自發(fā)磁化強(qiáng)度隨溫度變化的曲線如圖8所示。,圖8 二維伊辛模型自發(fā)磁化強(qiáng)度線,關(guān)于三維的只言片語(yǔ),1949年Onsager和Kaufmann發(fā)表了使用旋子代數(shù)的新解法，人們才得以領(lǐng)會(huì)奧妙，計(jì)算其它晶格，并且開(kāi)始了求解三維伊辛模型的嘗試。三維

9、伊辛模型的問(wèn)題歸結(jié)為如何打開(kāi)非常混亂地糾纏編織在一起的無(wú)限多個(gè)各種各樣的紐結(jié)。 張志東的三維伊辛模型精確解的猜想,三維伊辛模型存在其他解的可能性 從數(shù)學(xué)上證明猜想的嚴(yán)格性 嚴(yán)格證明三維伊辛模型的低溫級(jí)數(shù)展開(kāi) 的收斂半徑為零 猜想和推定的精確解的深層次物理內(nèi)涵,1,2,3,4,前景,【1】汪志誠(chéng)；熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理；高教出版社（第四版）2000年 【2】黃昆；固體物理學(xué)；高教出版社；1985年