心理與教育統(tǒng)計學03

1、1,恬靜的統(tǒng)計學家改變了我們的世界；不是通過發(fā)現(xiàn)新的事實或者開發(fā)新技術(shù)，而是通過改變我們的推理、實驗和觀點的形成方式┅ Ian Hacking,2,第三章 集中 量,3,數(shù)據(jù)分布的特征和測度,4,集中趨勢的測度,§3.1 算術(shù)平均數(shù)( 等距數(shù)據(jù)和比率數(shù)據(jù))§3.2 中位數(shù)和百分位數(shù)( 順序數(shù)據(jù))&

2、#167;3.3 眾數(shù)(等距數(shù)據(jù)和比率數(shù)據(jù))§3.4 其他度量,5,集中趨勢 (Central tendency),一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，反過來，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)選用哪一個測度值來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類型來確定,

3、6,§3.1 算術(shù)平均數(shù),7,,一、算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。,8,均 值 (概念要點),1. 集中趨勢的測度值之一2. 最常用的測度值3. 一組數(shù)據(jù)的均衡點所在4. 易受極端值的影響5. 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于稱名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù),9,,1、觀察值的總和等于算術(shù)平均數(shù)的N倍2、各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的總和等于零。3、若一組觀察值是由兩部分

4、（或幾部分）組成，這組觀察值的算術(shù)平均數(shù)可以由組成部分的算術(shù)平均數(shù)而求得。,10,二、均值的計算方法,1、設一組數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ，… ，XN 簡單均值的計算公式為,2、設分組后的數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ，… ，XK 相應的頻數(shù)為： F1 ， F2，… ，F(xiàn)K加權(quán)均值的計算公式為,11,簡單均值 (算例),原始數(shù)據(jù):10591368,12,加權(quán)均值（算例）,【例3.8】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算50 名工人

5、日加工零件數(shù)的均值,13,,14,均 值 (數(shù)學性質(zhì)),1.各變量值與均值的離差之和等于零,2. 各變量值與均值的離差平方和最小,15,均 值 (數(shù)學性質(zhì)),3. 每一個數(shù)加一個常數(shù) C，所得均值等于原均值加上 常數(shù) C,4. 每一個數(shù)乘以一個常數(shù) C，所得均值等于原均值乘 以常數(shù) C,16,均值的特點與應用,優(yōu)點：反應靈敏；計算簡單、嚴密確定；適合進一步代數(shù)運算；受抽樣變動的影響較小。缺點：易受極

6、端數(shù)據(jù)的影響；出現(xiàn)模糊不清得數(shù)據(jù)時，無法計算。應用：數(shù)據(jù)同質(zhì)性原則； 一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)都比較準確、可靠；無極端值的影響；而且還要通過它計算其他統(tǒng)計量。,17,§3.2 中位數(shù)和百分位數(shù),18,,一、中位數(shù)的概念：中位數(shù)是位于依一定大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，大于及小于這一數(shù)值各有一半數(shù)據(jù)分布著。,19,中位數(shù) median (概念要點),1. 集中趨勢的測度值之一2. 排序后處于中間位置上的值，記

7、為 Md,不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于稱名數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即,20,1、原始數(shù)據(jù)的計算方法,21,順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例),【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計算甲城市家庭對住房滿意狀況評價的中位數(shù)。,解：中位數(shù)的位置為： 300/2＝150從累計頻數(shù)看，中位數(shù)的在“一般”這一組別中。因此 Md＝一般,22,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

8、(5個數(shù)據(jù)的算例),原始數(shù)據(jù): 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5,中位數(shù) ? 22,?,23,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個數(shù)據(jù)的算例),原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8排 序

9、: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6,?,24,根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計算：,3. 該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(要點及計算公式),25,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例),【例3.5】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計算50 名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù),26,

10、三、百分位數(shù)的概念及其計算方法,1、百分位數(shù)的概念百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。在教育測量中，常通過計算某個原始分數(shù)所屬的百分位數(shù)來說明、解釋、評價它在團體中的位置。2、百分位數(shù)的計算方法,27,中位數(shù)的特點與應用,優(yōu)點：簡單、容易理解，穩(wěn)健。缺點：不穩(wěn)定、受抽樣影響大；計算時不用所有數(shù)據(jù)；計算時要對數(shù)據(jù)先排序；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進一步代數(shù)運算。應用：一般用在下列情形：當數(shù)據(jù)有極

11、端值；兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不清楚；需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值。,28,§3.3 眾數(shù)（mode）,29,一、眾數(shù)的概念要點,集中趨勢的測度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用 M0 表示不受極端值的影響可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)有理論眾數(shù)與粗略眾數(shù),30,眾數(shù)的不唯一性,無眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8,一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8

12、 5 5,多于一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,31,二、眾數(shù)的計算方法,1、用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)例如，一組原始數(shù)據(jù)2、4、3、6、4、5、4,32,稱名數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.1】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計算眾數(shù),解：這里的變量為“廣告類型”，這是個定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%

13、，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即 Mo＝商品廣告,33,順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計算眾數(shù),解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”。甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即 Mo＝不滿意,34,,2、用公式求理論眾數(shù)的近似值：（1）皮爾遜的經(jīng)驗法：頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時才能使用。,35,金氏插補法,1. 眾數(shù)的值與相

14、鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān),4. 該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布,2. 相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù),3. 相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計算,36,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.3】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù),37,眾數(shù)的特點與應用,優(yōu)點：簡單、容易理解。缺點：不穩(wěn)定、受分組影響；計算時不用所有數(shù)據(jù)；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進一步代數(shù)運算。應用：一般

15、用在下列情形：需要快速確定一組數(shù)據(jù)的代表值；數(shù)據(jù)不同質(zhì)；當數(shù)據(jù)有極端值；,38,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系,,,,39,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點和應用,眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應用,40,§3.4 其他度量,41,一、加權(quán)平均數(shù),加權(quán)平均數(shù)是不同數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)

16、。計算公式有兩種形式：,42,二、幾何平均數(shù),1. 集中趨勢的測度值之一2. N 個變量值乘積的 N 次方根3. 主要用于計算平均發(fā)展速度4. 計算公式為,,43,幾何平均數(shù)的應用————學習進步率,【例3.9】在一項有關(guān)閱讀能力的實驗中，得到這樣的結(jié)果。閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍為40％，第二遍為52％，第三遍為65％，第四遍為75％，第五遍為86％，第六遍為97％。在該實驗研究中被試閱讀能力的平均進

17、步率是多少？閱讀能力的平均增加比率又是多少。,44,計算步驟和過程,lgMg=0.3846/5=0.07692; Mg=1.19377,表3-9,45,簡化計算,【例3.10】 有一個學生第一周記住20個英文單詞，第二周記住23個，第三周記住26個，第四周記住30個，第五周記住34個，問該生學習記憶英文單詞的平均進步率是多少？,46,幾何平均數(shù)的應用——人數(shù)、經(jīng)費增加率,【例3.11】 某校連續(xù)

18、四年的畢業(yè)人數(shù)為：980、1100、1200、1300人，問畢業(yè)生平均增長率是多少？若該校畢業(yè)生一直按此增長率變化，問再過五年后的畢業(yè)人數(shù)是多少？,五年后的畢業(yè)人數(shù)為：,47,【例3.12】 某校1950年的教育經(jīng)費是10萬元，1982年的教育經(jīng)費是121萬元，問該校教育經(jīng)費年增長率是多少？若一直按此比率增加，1990年該校的教育經(jīng)費是多少？,1990年該校的教育經(jīng)費是：,48,調(diào)和平均數(shù) harmonic mean (概念要點),1

19、.集中趨勢的測度值之一均值的另一種表現(xiàn)形式一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)4.易受極端值的影響5.用于 比率數(shù)據(jù)，描述學習速度6. 不能用于稱名數(shù)據(jù)和 順序數(shù)據(jù)7. 計算公式為,原來只是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)！,49,調(diào)和平均數(shù)的應用,主要用來描述學習速度方面的問題反應指標一般有兩種形式： （1）學習任務量相同而所用時間不等； （2）學習的時間相同，而工作量不等。先求出單位時間的工作量，其調(diào)和平均就是平

20、均學習速度,50,【例3.13】（學習任務量相同而所用時間不等）在一個學習實驗中，請六名被試分別完成相同的10道作業(yè)題。這六名被試花費的時間依次為0.8小時，1.0小時，1.2小時， 1.5小時， 2.5小時，5.0小時。計算這六名被試平均完成這10道作業(yè)題的速度。,解： 先求出單位時間的工作量 ：,調(diào)和平均數(shù)的應用舉例,51,【例3.14】（學習的時間相同，而工作量不等）在一個學習實驗中，統(tǒng)計了六名被試在2小時的解題量，依次為24題，