心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)03

1、1,恬靜的統(tǒng)計(jì)學(xué)家改變了我們的世界；不是通過(guò)發(fā)現(xiàn)新的事實(shí)或者開(kāi)發(fā)新技術(shù)，而是通過(guò)改變我們的推理、實(shí)驗(yàn)和觀點(diǎn)的形成方式┅ Ian Hacking,2,第三章 集中 量,3,數(shù)據(jù)分布的特征和測(cè)度,4,集中趨勢(shì)的測(cè)度,§3.1 算術(shù)平均數(shù)( 等距數(shù)據(jù)和比率數(shù)據(jù))§3.2 中位數(shù)和百分位數(shù)( 順序數(shù)據(jù))&

2、#167;3.3 眾數(shù)(等距數(shù)據(jù)和比率數(shù)據(jù))§3.4 其他度量,5,集中趨勢(shì) (Central tendency),一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測(cè)度集中趨勢(shì)就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值不同類(lèi)型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢(shì)測(cè)度值低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值適用于高層次的測(cè)量數(shù)據(jù)，反過(guò)來(lái)，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)測(cè)度值并不適用于低層次的測(cè)量數(shù)據(jù)選用哪一個(gè)測(cè)度值來(lái)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類(lèi)型來(lái)確定,

3、6,§3.1 算術(shù)平均數(shù),7,,一、算術(shù)平均數(shù)的概念算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡(jiǎn)稱(chēng)為平均數(shù)或均數(shù)。,8,均 值 (概念要點(diǎn)),1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2. 最常用的測(cè)度值3. 一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在4. 易受極端值的影響5. 用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù),9,,1、觀察值的總和等于算術(shù)平均數(shù)的N倍2、各觀察值與算術(shù)平均數(shù)之差的總和等于零。3、若一組觀察值是由兩部分

4、（或幾部分）組成，這組觀察值的算術(shù)平均數(shù)可以由組成部分的算術(shù)平均數(shù)而求得。,10,二、均值的計(jì)算方法,1、設(shè)一組數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ，… ，XN 簡(jiǎn)單均值的計(jì)算公式為,2、設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ，… ，XK 相應(yīng)的頻數(shù)為： F1 ， F2，… ，F(xiàn)K加權(quán)均值的計(jì)算公式為,11,簡(jiǎn)單均值 (算例),原始數(shù)據(jù):10591368,12,加權(quán)均值（算例）,【例3.8】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50 名工人

5、日加工零件數(shù)的均值,13,,14,均 值 (數(shù)學(xué)性質(zhì)),1.各變量值與均值的離差之和等于零,2. 各變量值與均值的離差平方和最小,15,均 值 (數(shù)學(xué)性質(zhì)),3. 每一個(gè)數(shù)加一個(gè)常數(shù) C，所得均值等于原均值加上 常數(shù) C,4. 每一個(gè)數(shù)乘以一個(gè)常數(shù) C，所得均值等于原均值乘 以常數(shù) C,16,均值的特點(diǎn)與應(yīng)用,優(yōu)點(diǎn)：反應(yīng)靈敏；計(jì)算簡(jiǎn)單、嚴(yán)密確定；適合進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)的影響較小。缺點(diǎn)：易受極

6、端數(shù)據(jù)的影響；出現(xiàn)模糊不清得數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法計(jì)算。應(yīng)用：數(shù)據(jù)同質(zhì)性原則； 一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都比較準(zhǔn)確、可靠；無(wú)極端值的影響；而且還要通過(guò)它計(jì)算其他統(tǒng)計(jì)量。,17,§3.2 中位數(shù)和百分位數(shù),18,,一、中位數(shù)的概念：中位數(shù)是位于依一定大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，大于及小于這一數(shù)值各有一半數(shù)據(jù)分布著。,19,中位數(shù) median (概念要點(diǎn)),1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2. 排序后處于中間位置上的值，記

7、為 Md,不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對(duì)值之和最小，即,20,1、原始數(shù)據(jù)的計(jì)算方法,21,順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例),【例3.4】根據(jù)中數(shù)據(jù)，計(jì)算甲城市家庭對(duì)住房滿(mǎn)意狀況評(píng)價(jià)的中位數(shù)。,解：中位數(shù)的位置為： 300/2＝150從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)的在“一般”這一組別中。因此 Md＝一般,22,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

8、(5個(gè)數(shù)據(jù)的算例),原始數(shù)據(jù): 24 22 21 26 20排 序: 20 21 22 24 26位 置: 1 2 3 4 5,中位數(shù) ? 22,?,23,數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù) (6個(gè)數(shù)據(jù)的算例),原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8排 序

9、: 5 6 8 9 10 12位 置: 1 2 3 4 5 6,?,24,根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計(jì)算：,3. 該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(要點(diǎn)及計(jì)算公式),25,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(算例),【例3.5】根據(jù)表3-5中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50 名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù),26,

10、三、百分位數(shù)的概念及其計(jì)算方法,1、百分位數(shù)的概念百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。在教育測(cè)量中，常通過(guò)計(jì)算某個(gè)原始分?jǐn)?shù)所屬的百分位數(shù)來(lái)說(shuō)明、解釋、評(píng)價(jià)它在團(tuán)體中的位置。2、百分位數(shù)的計(jì)算方法,27,中位數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用,優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解，穩(wěn)健。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受抽樣影響大；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；計(jì)算時(shí)要對(duì)數(shù)據(jù)先排序；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般用在下列情形：當(dāng)數(shù)據(jù)有極

11、端值；兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚；需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值。,28,§3.3 眾數(shù)（mode）,29,一、眾數(shù)的概念要點(diǎn),集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用 M0 表示不受極端值的影響可能沒(méi)有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)有理論眾數(shù)與粗略眾數(shù),30,眾數(shù)的不唯一性,無(wú)眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8,一個(gè)眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8

12、 5 5,多于一個(gè)眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,31,二、眾數(shù)的計(jì)算方法,1、用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)例如，一組原始數(shù)據(jù)2、4、3、6、4、5、4,32,稱(chēng)名數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.1】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù),解：這里的變量為“廣告類(lèi)型”，這是個(gè)定類(lèi)變量，不同類(lèi)型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%

13、，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類(lèi)別，即 Mo＝商品廣告,33,順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.2】根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù),解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類(lèi)別”。甲城市中對(duì)住房表示不滿(mǎn)意的戶(hù)數(shù)最多，為108戶(hù)，因此眾數(shù)為“不滿(mǎn)意”這一類(lèi)別，即 Mo＝不滿(mǎn)意,34,,2、用公式求理論眾數(shù)的近似值：（1）皮爾遜的經(jīng)驗(yàn)法：頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)才能使用。,35,金氏插補(bǔ)法,1. 眾數(shù)的值與相

14、鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān),4. 該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布,2. 相鄰兩組的頻數(shù)相等時(shí)，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù),3. 相鄰兩組的頻數(shù)不相等時(shí)，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算,36,數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)(算例),【例3.3】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù),37,眾數(shù)的特點(diǎn)與應(yīng)用,優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、容易理解。缺點(diǎn)：不穩(wěn)定、受分組影響；計(jì)算時(shí)不用所有數(shù)據(jù)；總數(shù)乘以眾數(shù)不等于數(shù)據(jù)的總和；不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。應(yīng)用：一般

15、用在下列情形：需要快速確定一組數(shù)據(jù)的代表值；數(shù)據(jù)不同質(zhì)；當(dāng)數(shù)據(jù)有極端值；,38,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系,,,,39,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用,眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對(duì)稱(chēng)分布或接近對(duì)稱(chēng)分布時(shí)應(yīng)用,40,§3.4 其他度量,41,一、加權(quán)平均數(shù),加權(quán)平均數(shù)是不同數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)

16、。計(jì)算公式有兩種形式：,42,二、幾何平均數(shù),1. 集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2. N 個(gè)變量值乘積的 N 次方根3. 主要用于計(jì)算平均發(fā)展速度4. 計(jì)算公式為,,43,幾何平均數(shù)的應(yīng)用————學(xué)習(xí)進(jìn)步率,【例3.9】在一項(xiàng)有關(guān)閱讀能力的實(shí)驗(yàn)中，得到這樣的結(jié)果。閱讀的遍數(shù)與每遍理解的程度依次是：第一遍為40％，第二遍為52％，第三遍為65％，第四遍為75％，第五遍為86％，第六遍為97％。在該實(shí)驗(yàn)研究中被試閱讀能力的平均進(jìn)

17、步率是多少？閱讀能力的平均增加比率又是多少。,44,計(jì)算步驟和過(guò)程,lgMg=0.3846/5=0.07692; Mg=1.19377,表3-9,45,簡(jiǎn)化計(jì)算,【例3.10】 有一個(gè)學(xué)生第一周記住20個(gè)英文單詞，第二周記住23個(gè)，第三周記住26個(gè)，第四周記住30個(gè)，第五周記住34個(gè)，問(wèn)該生學(xué)習(xí)記憶英文單詞的平均進(jìn)步率是多少？,46,幾何平均數(shù)的應(yīng)用——人數(shù)、經(jīng)費(fèi)增加率,【例3.11】 某校連續(xù)

18、四年的畢業(yè)人數(shù)為：980、1100、1200、1300人，問(wèn)畢業(yè)生平均增長(zhǎng)率是多少？若該校畢業(yè)生一直按此增長(zhǎng)率變化，問(wèn)再過(guò)五年后的畢業(yè)人數(shù)是多少？,五年后的畢業(yè)人數(shù)為：,47,【例3.12】 某校1950年的教育經(jīng)費(fèi)是10萬(wàn)元，1982年的教育經(jīng)費(fèi)是121萬(wàn)元，問(wèn)該校教育經(jīng)費(fèi)年增長(zhǎng)率是多少？若一直按此比率增加，1990年該校的教育經(jīng)費(fèi)是多少？,1990年該校的教育經(jīng)費(fèi)是：,48,調(diào)和平均數(shù) harmonic mean (概念要點(diǎn)),1

19、.集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一均值的另一種表現(xiàn)形式一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)4.易受極端值的影響5.用于 比率數(shù)據(jù)，描述學(xué)習(xí)速度6. 不能用于稱(chēng)名數(shù)據(jù)和 順序數(shù)據(jù)7. 計(jì)算公式為,原來(lái)只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！,49,調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用,主要用來(lái)描述學(xué)習(xí)速度方面的問(wèn)題反應(yīng)指標(biāo)一般有兩種形式： （1）學(xué)習(xí)任務(wù)量相同而所用時(shí)間不等； （2）學(xué)習(xí)的時(shí)間相同，而工作量不等。先求出單位時(shí)間的工作量，其調(diào)和平均就是平

20、均學(xué)習(xí)速度,50,【例3.13】（學(xué)習(xí)任務(wù)量相同而所用時(shí)間不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)中，請(qǐng)六名被試分別完成相同的10道作業(yè)題。這六名被試花費(fèi)的時(shí)間依次為0.8小時(shí)，1.0小時(shí)，1.2小時(shí)， 1.5小時(shí)， 2.5小時(shí)，5.0小時(shí)。計(jì)算這六名被試平均完成這10道作業(yè)題的速度。,解： 先求出單位時(shí)間的工作量 ：,調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用舉例,51,【例3.14】（學(xué)習(xí)的時(shí)間相同，而工作量不等）在一個(gè)學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了六名被試在2小時(shí)的解題量，依次為24題，