第十四章模糊數(shù)學(xué)分析方法

1、第十四章 模糊數(shù)學(xué)分析方法,本章學(xué)習(xí)要點(diǎn) 在教育技術(shù)研究中具有許多不確定因素,通常是指隨機(jī)性和模糊性，其中模糊性表現(xiàn)為客觀事物在類屬、性態(tài)方面定義的不精確和不明晰，它與精確性相對(duì)。要描述對(duì)象的模糊性特征，就需要運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)，通過模糊數(shù)學(xué)分析，實(shí)現(xiàn)由模糊向精確的轉(zhuǎn)化。本章中介紹了模糊數(shù)學(xué)分析的基本概念；具體論述了在模糊數(shù)學(xué)分析中隸屬函數(shù)的確定以及模糊關(guān)系與模糊矩陣的確定；詳細(xì)說明了模糊綜合評(píng)判方法和模糊聚類分析

2、方法。 通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)了解模糊數(shù)學(xué)分析的基本概念，明確隸屬函數(shù)的分布統(tǒng)計(jì)求法、對(duì)比平均求法和模糊統(tǒng)計(jì)法，掌握模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算、模糊關(guān)系的合成以及模糊關(guān)系合成圖解法的使用，能夠熟練的運(yùn)用模糊綜合評(píng)判方法和模糊聚類分析方法分析解決教育技術(shù)研究中的具體問題。本章內(nèi)容結(jié)構(gòu) 教育技術(shù)研究中的不確定性 模糊關(guān)系

3、 普通集合及其特征函數(shù) 模糊矩陣 模糊集合及其隸屬函數(shù) 模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算 模糊關(guān)系的合成 隸屬函

4、數(shù)的分布統(tǒng)計(jì)求法 模糊關(guān)系合成圖解法 對(duì)比平均法求隸屬函數(shù) 模糊統(tǒng)計(jì)法求隸屬函靈敏 模糊變換 模糊綜合評(píng)判的原理

5、 模糊綜合評(píng)判應(yīng)用實(shí)例-網(wǎng)絡(luò)課程評(píng)價(jià) 模糊聚類分析基

6、本原理 模糊等價(jià)矩陣聚類法 最大樹法,模糊數(shù)學(xué)分析的基概念,模糊綜合評(píng)判方法,模糊關(guān)系與模糊矩陣,隸屬函數(shù)的確定,模糊聚類分析方法,,,,,,第一節(jié) 模糊數(shù)學(xué)分

7、析的基本概念 在自然科學(xué)或社會(huì)科學(xué)研究中,存在著許多定義不很嚴(yán)格或者說具有模糊性的概念。這里所謂的模糊性，主要是指客觀事物的差異在中間過渡中的不分明性，如某一生態(tài)條件對(duì)某種害蟲、某種作物的存活或適應(yīng)性可以評(píng)價(jià)為“有利、比較有利、不那么有利、不利”；災(zāi)害性霜凍氣候?qū)r(nóng)業(yè)產(chǎn)量的影響程度為“較重、嚴(yán)重、很嚴(yán)重”，等等。這些通常是本來就屬于模糊的概念，為處理分析這些“模糊”概念的數(shù)據(jù)，便產(chǎn)生了模糊集合論。 根據(jù)集

8、合論的要求，一個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)于一個(gè)集合，要么屬于，要么不屬于，二者必居其一，且僅居其一。這樣的集合論本身并無法處理具體的模糊概念。為處理這些模糊概念而進(jìn)行的種種努力，催生了模糊數(shù)學(xué)。模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)是模糊集。模糊集的理論是1965年美國自動(dòng)控制專家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出來的，近10多年來發(fā)展很快。 模糊集合論的提出雖然較晚，但目前在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛。實(shí)踐證明，模糊數(shù)學(xué)在農(nóng)業(yè)中主要用于病蟲測(cè)報(bào)、種植

9、區(qū)劃、品種選育等方面，在圖像識(shí)別、天氣預(yù)報(bào)、地質(zhì)地震、交通運(yùn)輸、醫(yī)療診斷、信息控制、人工智能等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用也已初見成效。從該學(xué)科的發(fā)展趨勢(shì)來看，它具有極其強(qiáng)大的生命力和滲透力。一、教育技術(shù)研究中的不確定性 （一） 教育技術(shù)研究中具有許多不確定性因素，這些不確定性因素來源主要有如下幾個(gè)方面： 1、研究對(duì)象活動(dòng)出現(xiàn)條件的不確定性，具有概率的特征。 2、研究對(duì)象類屬的邊界具有不清晰和性態(tài)不確定的特征。

10、3、研究對(duì)象信息顯示的不充分及其無序性所導(dǎo)致的不清晰特征。 4、研究中使用的某些概念、命題在語言語義上的多義與歧義導(dǎo)致的不確定性。 5、某些數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理誤差所導(dǎo)致的不確定性。 6、描述對(duì)象的內(nèi)涵和外延與對(duì)象稱謂之間的不貼切，詞不達(dá)意所導(dǎo)致的不確定。,（二）各種不確定因素可分為兩類： 1、隨機(jī)性。特征：關(guān)于對(duì)象在類屬和性態(tài)方面的定義是完全確定的，但對(duì)象出現(xiàn)的條件方面是概率的、不確定的

11、。和必然性相對(duì)。 2、模糊性。特征：表征對(duì)象在認(rèn)識(shí)中的分辨界限是不確定的，即對(duì)象在類屬、性態(tài)方面的定義是不精確的、不明晰的。和精確性相對(duì)。 隨機(jī)性與模糊性的關(guān)系,客觀事物,以事物性態(tài)、類屬邊界為判據(jù),數(shù)理統(tǒng)計(jì),以事物出現(xiàn)的條件為依據(jù),模糊數(shù)學(xué),確定性,

12、必然性,精確性,隨機(jī)性,模糊性,不確定性,,,,,,,,,,,,,,,,,二、普通集合及其特征函數(shù) 1、集合的基本概念 論域，被討論對(duì)象的全體叫做論域，對(duì)稱全域，通常用大寫字母U、E、X、Y等來表示。 元素，組成某一集合的單個(gè)對(duì)象就稱為該集合的一個(gè)元素，通常用小寫字母表示。 子集，由同一集合中的部分元素組成一個(gè)新集合，稱為原集合的一個(gè)

13、子集，通常用大寫字母表示。 集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它們括起來表示集合的全域。 2、集合的基本運(yùn)算 并集、交集、差集、補(bǔ)集。三、模糊集合及其隸屬函數(shù) 1、模糊集合：無明確邊界的集合。 2、模糊集合的特點(diǎn)：把原來普通集合對(duì)類屬、性態(tài)的非此即彼的絕對(duì)屬于或不屬于的判定，轉(zhuǎn)化為對(duì)類屬、性態(tài)做從0互1不同程度的相對(duì)判定。

14、3、隸屬函數(shù)：為了將普通集合與模糊集合加以區(qū)別，把模糊集合的特征函數(shù)稱為隸屬函數(shù)。,第二節(jié) 隸屬函數(shù)的確定一、隸屬函數(shù)的分布統(tǒng)計(jì)求法 利用統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)計(jì)算隸屬函數(shù)或隸屬度的步驟： 1、確定集合的因素 2、選擇部分學(xué)生進(jìn)行試驗(yàn) 3、找出各因素?cái)?shù)據(jù)中的最大值和最小值算出分組組距、計(jì)算數(shù)據(jù)落在各組中的數(shù)，根據(jù)次數(shù)分布情況確定較為適合的隸屬度。二、對(duì)比平均法求隸屬函數(shù)

15、 設(shè)論域U={x1，x2， x3，… ，xn} 論域中各因素之間按照某一種性為標(biāo)準(zhǔn)，以每兩個(gè)因素為一組，判定它們各自們歸屬這一標(biāo)準(zhǔn)的程度，并用符號(hào)g(xi,xj)表示(i,j=1，2，…，n)。三、模糊統(tǒng)計(jì)法求隸屬函數(shù) 模糊統(tǒng)計(jì)法的步驟： （1）確定論域與因素集。 （2）要求參與實(shí)驗(yàn)者就論域中各給出的點(diǎn)是否屬于因素集的各元素進(jìn)行投票。 （3）統(tǒng)計(jì)投票結(jié)

16、果，求出隸屬函數(shù)。,例14-4 設(shè)論域U年齡={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20個(gè)人參與投票，結(jié)果如表14.7所示：,表14.7投票結(jié)果表,,,則有u20對(duì)“年青人”這一概念的隸屬度： μ20=20/20=1 u20對(duì)“老年人”這一概念的隸屬度： μ20=0/20=0所以，μ20={1，0}。同理可求出年齡論域中各點(diǎn)對(duì)于因素集的隸屬度 μ35={0.

17、8，0} μ50={0.1，0.9} μ65={0，0.95},第三節(jié) 模糊關(guān)系與模糊矩陣一、模糊關(guān)系 1、關(guān)系，描寫事物之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型之一就是關(guān)系，常用符號(hào)“X”來表示。 2、模糊關(guān)系，是普遍關(guān)系的推廣，普通關(guān)系只能描述元素間關(guān)系的有無，而模糊關(guān)系則描述元素之間關(guān)系的多少。 例14-6 在醫(yī)學(xué)上常用公式：體重B（公斤）=身高A（厘米）－100

18、來表示標(biāo)準(zhǔn)體重，這就給出了身高（A）與體重（B）的普通關(guān)系。 若A={140，150，160，170，180} B={40，50，60，70，80} 身高與體重的普通關(guān)系如表14.8所示：,表14.8身高與體重的普通關(guān)系,但人的胖瘦不同，對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的情況，身高與體重的關(guān)系應(yīng)該以接近標(biāo)準(zhǔn)的程度來描述，這就導(dǎo)致產(chǎn)生如表14.9所示的模糊關(guān)系。它能更深刻、更完整地給出身高與體重的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

19、,例14-7 設(shè)有一組同學(xué)（徐X，張X，王X），他們選修英，日，俄，法四種外語中的任幾門，他們選修和結(jié)業(yè)成績?nèi)缦拢?徐X 英語 85 徐X 日語 70 徐X 俄語 75 張X 英語 90 王X 英語

20、 70 王X 法語 80,表14.9 身高與體重的模糊關(guān)系,二、模糊矩陣 1、矩陣 矩陣可以用來表現(xiàn)關(guān)系，如果集合A有m個(gè)元素，集合B有n個(gè)元素、我們可以用矩陣R來表示由集合A到集合B的關(guān)系,表14.10 掌握外語的程度,其中rij=0或1，1≤i≤m，1≤j≤n。,2、模糊矩陣 當(dāng)論域A×B為有限集時(shí)，模糊關(guān)系可以用矩

21、陣形式來表示，該矩陣元素rij 僅在閉區(qū)間[0，1]中取值，即0 ≤rij ≤1，此矩陣稱為模糊矩陣。,其中0≤rij≤1，1≤i≤m，1≤j≤n。,模糊矩陣是研究模糊關(guān)系的重要工具，當(dāng)它用來表示模糊關(guān)系時(shí)，其中rij表示集合A中第i個(gè)元素和集合B中第個(gè)j元素之間的關(guān)聯(lián)程度，例14-7中小組成員外語成員與外語學(xué)科的關(guān)聯(lián)程度可以用如下矩陣形式表示它們之間的模糊關(guān)系。,三、模糊關(guān)系矩陣的運(yùn)算設(shè) 和 是A×

22、;B中模糊關(guān)系。,（1） 和 的并。 ∪　 =(rij∨sij),（2） 和 的交。 ∨　 =(rij∩sij),（3） 和 的補(bǔ)。 R=(

23、1－Rij) S=(1－Sij),其中，“∧”表示rij與sij相比較后取較小者 “∨”表示rij與sij相比較后取較大者,五、模糊關(guān)系合成圖解法圖解法計(jì)算模糊關(guān)系的合成的步驟： 1、畫出關(guān)系合成圖 2、在圖中找出xi到zj的各種可能途徑； 3、在同一路徑中相比較取隸屬度最小者

24、作為該路徑的隸屬度； 4、把路徑所取得隸屬度中最大者作為qij的元素值； 5、畫出模糊關(guān)系合成矩陣。,第四節(jié) 模糊綜合評(píng)判方法一、模糊變換 1、模糊向量 對(duì)于一個(gè)有限模糊集合X可以表為： = {x1，x2，x3，…，xn} xi是各元素相應(yīng)的隸屬度 (xi)，其中0≤xi≤1 （i=1，2，…

25、，n）對(duì)于只有一行的模糊矩陣又可以看成模糊向量，如： = {x1，x2，x3，…. ，xn}是一個(gè)模糊向量 2、模糊變換 現(xiàn)有一個(gè)模糊矩陣： ={ rij}，其中0≤rij≤1, × =Y稱為模糊變換。,模糊變換的結(jié)果為：,式中的各分量：,模糊變換：,Yi= (xk

26、∧rkj)(k=1,2,…,m),={y1，y2，…，ym},[例14-10]給出 =（0.2，0.5，0.3），,Y1=(0.2∧0.2)∨(0.5∧0)∨(0.3∧0.2) =0.2∨0∨0.2 =0.2y2=(0.2∧0.7)∨(0.5∧0.4)∨(0.3∧0.3) =0.2∨0.4∨0.3 =0.4y3=(0.2∧0.1)∨(0.5∧0.5)∨(0.3∧0.4) =0.1∨0.5∨0.3

27、 =0.5y4=(0.2∧0)∨(0.5∧0.1)∨(0.3∧0.1) =0∨0.1∨0.1 =0.1,3、歸一化處理,式中 各分量的計(jì)算如下：,由于 中各元素之和，即 =1，為了保證處理后 ≠1，需要進(jìn)行歸一化處理，其方法是取Y’i= ，故有：,經(jīng)歸一化后的模糊變換結(jié)果為：,Y’i=0.2/1.2=0.167Y’i=0.4/1.2=0.333Y’i=0.5/1.2=0

28、.417Y’i=0.1/1.2=0.083,三、模糊綜合評(píng)判應(yīng)用實(shí)例——網(wǎng)絡(luò)課程評(píng)價(jià) 例14-11 我們對(duì)于某學(xué)校的校園網(wǎng)絡(luò)一期建設(shè)情況進(jìn)行評(píng)判，設(shè)包括三個(gè)因素，即硬件建設(shè)，軟件建設(shè)、人員培訓(xùn)，用論域U表示為： U={硬件建設(shè)（u1），軟件建設(shè)（u2），人員培訓(xùn)（u3）} 而評(píng)語論域V表示為： V={很好（v1），較好（v2），可以（v3），不好（v4）}

29、 亦即分為四個(gè)等級(jí)，并用百分比或小數(shù)表示?，F(xiàn)邀請(qǐng)一些專門人員進(jìn)行評(píng)價(jià)，若用人數(shù)的百分比來表示評(píng)價(jià)結(jié)果如表14.13所示；,表14.13評(píng)價(jià)結(jié)果,第五節(jié) 模糊聚類分析方法 聚類分析是指根據(jù)事物本身的特性，將事物性質(zhì)上的親疏程度進(jìn)行分類的方法。一、模糊聚類分析基本原理 （一）聚類分析步驟如下： 1、確定樣本統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化 2、標(biāo)定距離，建立相似關(guān)系矩陣

30、 3、進(jìn)行聚類 （二）模糊等價(jià)矩陣聚類 1、模糊等價(jià)關(guān)系 通過標(biāo)定距離，可以建立樣本之間的相似關(guān)系矩陣，但模糊關(guān)系必須是模糊等價(jià)關(guān)系才能聚類。模糊等價(jià)關(guān)系的條件是模糊關(guān)系必須同時(shí)具有： （1）自反性 （2）對(duì)稱性 （3）傳遞性 2、模糊等價(jià)矩陣聚類的步驟：

31、 （1）標(biāo)定距離，建立相似關(guān)系矩陣。 （2）求傳遞閉倉。 （3）動(dòng)態(tài)聚類,（4）畫出動(dòng)態(tài)聚類圖三、最大樹方法 1、最大樹方法的畫法 最大樹方法，就是構(gòu)造一個(gè)特殊的圖，它有N個(gè)頂點(diǎn)，N-1條邊，頂點(diǎn)之間通過邊連通，但不包任何回路。 具體畫法，先畫出頂點(diǎn)集中的某一個(gè)i，然后按rij從大到小的順序依次