大學(xué)物理下第15章量子力學(xué)基礎(chǔ)

1、量子力學(xué)基礎(chǔ),第十五章,15-1 德布羅意波 實(shí)物粒子的波粒二象性,一、德布羅意波,德布羅意提出了物質(zhì)波的假設(shè)： 一切實(shí)物粒子(如電子、質(zhì)子、中子)都與光子一樣,具有波粒二象性。,運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子的能量E、動(dòng)量p與它相關(guān)聯(lián)的波的頻率? 和波長(zhǎng)? 之間滿足如下關(guān)系：,德布羅意公式(或假設(shè)),與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱(chēng)為德布羅意波(或物質(zhì)波),電子的德布羅意波長(zhǎng)為,例如：電子經(jīng)加速電勢(shì)差 U加速后,例：一質(zhì)量m0=0.05Kg

2、的子彈，v=300m/s，求 其物質(zhì)波的波長(zhǎng)。,解：,即4.4?10-25Å,結(jié)論：1 宏觀物體的德布羅意波長(zhǎng)太短，顯示不出其波動(dòng)性；2 對(duì)質(zhì)量很小的微觀粒子，其德布羅意波長(zhǎng)可以與原子尺寸( 0.1nm 左右)數(shù)量級(jí)相同，因而波動(dòng)性非常明顯。,二、德布羅意波的實(shí)驗(yàn)證明 (電子衍射實(shí)驗(yàn)),1927年戴維孫和革末用加速后的電子投射到晶體上進(jìn)行電子衍射實(shí)驗(yàn)。,衍射最大值：,電子的波長(zhǎng)：,一切微觀粒子都具有波粒二象性

3、。,實(shí)驗(yàn)表明電流極大值正好滿足此式,電流出現(xiàn)峰值,戴維孫—革末實(shí)驗(yàn)中,1927 年湯姆遜（G·P·Thomson）以600伏慢電子（?=0.5Å）射向鋁箔，也得到了像X射線衍射一樣的衍射，再次發(fā)現(xiàn)了電子的波動(dòng)性。,1937年戴維遜與GP湯姆遜共獲當(dāng)年諾貝爾獎(jiǎng),（G·P·Thomson為電子發(fā)現(xiàn)人J·J·Thmson的兒子）,爾后又發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子、中子的衍射,L.V.德

4、布羅意 電子波動(dòng)性的理論研究,1929諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),C.J.戴維孫 通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)晶體對(duì)電子的衍射作用,1937諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),三、德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋,1926年，德國(guó)物理學(xué)家玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波，認(rèn)為個(gè)別微觀粒子在何處出現(xiàn)有一定的偶然性，但是大量粒子在空間何處出現(xiàn)的空間分布卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,微觀粒子的空間位置要由概率波來(lái)描述，概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率。任意時(shí)刻不具有確定的位置

5、和確定的動(dòng)量。,15-2 不確定關(guān)系 Uncertainty Relation,電子具有波粒二象性，也可產(chǎn)生類(lèi)似波的單縫衍射的圖樣，若電子波長(zhǎng)為?，則讓電子進(jìn)行單縫衍射則應(yīng)滿足：,明紋,暗紋,{,1、位置的不確定程度,用單縫來(lái)確定電子在穿過(guò)單縫時(shí)的位置,電子在單縫的何處通過(guò)是不確定的!只知是在寬為a的的縫中通過(guò).,電子在單縫處位置的不確定程度,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

6、,,,,,,,,,,,,,,,,,,2、單縫處電子的動(dòng)量的不確定程度,先強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：電子衍射是電子自身的波粒二象性結(jié)果，不能歸于外部的原因，即不是外界作用的結(jié)果。,如有人認(rèn)為衍射是電子與單縫的作用，即電子與單縫材料中的原子碰撞的結(jié)果，碰撞后電子的動(dòng)量大小與方向均發(fā)生改變，但實(shí)驗(yàn)告訴我們衍射的花樣與單縫材料無(wú)關(guān)，只決定于電子的波長(zhǎng)與縫寬a，可見(jiàn)不能歸結(jié)于外部作用。,顯然，電子通過(guò)單縫不與單縫材料作用，因此通過(guò)單縫后，其動(dòng)量大小P不變。但不同

7、的電子要到達(dá)屏上不同的點(diǎn)。故各電子的動(dòng)量方向有不同。,X方向電子的位置不確定量為：,電子大部分都到達(dá)中央明紋處.,研究正負(fù)一級(jí)暗紋間的電子。這部分電子在單縫處的動(dòng)量在X軸上的分量值為：,為一級(jí)暗紋的衍射角,,由單縫暗紋條件：,,為一級(jí)暗紋的衍射角,到達(dá)正負(fù)一級(jí)暗紋間的電子在單縫處的動(dòng)量在X軸上的分量的不確定量為,考慮到在兩個(gè)一級(jí)極小值之外還有電子出現(xiàn)，所以：,經(jīng)嚴(yán)格證明此式應(yīng)為：,這就是著名的海森伯不確定關(guān)系式,設(shè)有一個(gè)動(dòng)量為P，質(zhì)量

8、為m的粒子，能量,考慮到E的增量：,能量與時(shí)間不確定關(guān)系式,即：,,,3、能量與時(shí)間不確定關(guān)系,這說(shuō)明原子光譜有一定寬度，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)。,原子處于激發(fā)態(tài)的平均壽命一般為,于是激發(fā)態(tài)能級(jí)的寬度為：,對(duì)于微觀粒子的能量 E 及它在能態(tài)上停留的平均時(shí)間Δt 之間滿足關(guān)系：,不確定關(guān)系式的理解,1. 用經(jīng)典物理學(xué)量——?jiǎng)恿?、坐?biāo)來(lái)描寫(xiě)微觀粒子行為時(shí)將會(huì)受到一定的限制 。經(jīng)典手段對(duì)于微觀粒子不適用。,即不可能同時(shí)準(zhǔn)確地知道粒子的位置和動(dòng)量，經(jīng)典

9、力學(xué)中軌道的概念不存在了。這是玻爾理論的缺陷之一。,? x?px ? h,2.不確定關(guān)系說(shuō)明粒子永遠(yuǎn)不可能靜止。,靜止的概念：粒子的位置確定同時(shí)動(dòng)量為零。,由不確定關(guān)系：,即使在0（K）運(yùn)動(dòng)也不能停止----零點(diǎn)能存在。,3.不確定關(guān)系給出了宏觀物理與微觀物理的分界線,判斷的依據(jù)：普朗克常數(shù)h,若h與問(wèn)題中其它相關(guān)數(shù)量相比可視為零----視為經(jīng)典粒子；,否則，必須視為量子粒子。,W.海森堡 創(chuàng)立量子力學(xué)，并導(dǎo)致氫的同素異形的發(fā)現(xiàn),1

10、932諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),,,,所以坐標(biāo)及動(dòng)量可以同時(shí)確定,1. 宏觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)能否同時(shí)確定？,例 子彈質(zhì)量m=0.1kg , 速度測(cè)量的不確定量是??x=10-6 m/s 。 (應(yīng)當(dāng)說(shuō)這個(gè)測(cè)量夠精確的了！)，求子彈坐標(biāo)的不確定量。,解 按不確定關(guān)系: ? x?px ? h,則子彈坐標(biāo)的不確定量為,可見(jiàn), 子彈的速度和坐標(biāo)能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定。 這表示，不確定關(guān)系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來(lái)

11、研究它的運(yùn)動(dòng)。,電子的動(dòng)量是不確定的，應(yīng)該用量子力學(xué)來(lái)處理。,2. 微觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)是否永遠(yuǎn)不能同時(shí)確定？,例 估算氫原子中電子速度的不確定量。,解 電子被束縛在原子球內(nèi), 坐標(biāo)的不確定量是?x=10-10m(原子的大小), 按不確定關(guān)系: ? x?px ? h,則電子速度的不確定量為,電子速度的不確定量是如此之大！ 可見(jiàn),微觀粒子的速度和坐標(biāo)不能同時(shí)準(zhǔn)確測(cè)定。 這也表明，不確定關(guān)系施加的限制不允許我們用經(jīng)典

12、理論來(lái)研究氫原子的問(wèn)題，像氫原子這樣的微觀粒子只能用量子力學(xué)理論來(lái)處理。,例 波長(zhǎng)?=5000Å的光沿x軸正方向傳播，波長(zhǎng)的不確定量為??=10-3Å，求光子坐標(biāo)的不確定量。,解 光子的動(dòng)量,按不確定關(guān)系: ? x?px ? h, 則光子坐標(biāo)的不確定量為,結(jié)論：能否用經(jīng)典方法來(lái)描述某一問(wèn)題，關(guān)鍵在 于由不確定關(guān)系所加限制能否被忽略。,單色平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程,1 、波函數(shù),定義：描述微觀粒子

13、的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的概率波的數(shù)學(xué)式子,15-3 薛定諤方程,一、波函數(shù) 概率密度,自由粒子的物質(zhì)波波函數(shù),2 、概率密度,三維空間,1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)?,波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)銓釋?zhuān)úǘ鰾orn）,,,,,?代表什么？看電子的單縫衍射：,1）大量電子的一次行為：,極大值,極小值,中間值,較多電子到達(dá),較少電子到達(dá),介于二者之間,波強(qiáng)度大，,大,小,波強(qiáng)度小，,波強(qiáng)介于二者之間,粒子的觀點(diǎn),波動(dòng)的觀點(diǎn),,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2）一個(gè)粒子多次的重復(fù)行為,極大值,極小值,中間值,電子較多次到達(dá),電子較少次到達(dá),介于二者之間,波強(qiáng)度大，,大,小,波強(qiáng)度小，,波強(qiáng)介于二者之間,粒子的觀點(diǎn),波動(dòng)的觀點(diǎn),,則波函數(shù)模的平方表征了t 時(shí)刻，在空間(x,y,z)處出現(xiàn)粒子的概率密度,,結(jié)論： 某時(shí)刻空間某體元dv中出現(xiàn)粒子的幾率 正比于該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方和體積元

15、 體積：,通常比例系數(shù)取1:,,物質(zhì)波與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別,經(jīng)典波的波函數(shù)是實(shí)數(shù)，具有物理意義，可測(cè)量。,可測(cè)量，具有物理意義,1)物質(zhì)波是復(fù)函數(shù)，本身無(wú)具體的物理意義， 一般是不可測(cè)量的。,2)物質(zhì)波是概率波。有意義的是相對(duì)取值。,等價(jià),對(duì)于經(jīng)典波,對(duì)于物質(zhì)波,,3 、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件與歸一化條件,1）波函數(shù)具有有限性,在空間是有限函數(shù),2）波函數(shù)是連續(xù)的,3）波函數(shù)是單值的,粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值,4

16、）滿足歸一化條件,,（歸一化條件）,因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件,（Narmulisation）,波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有限和連續(xù),應(yīng)當(dāng)指出，物質(zhì)波與經(jīng)典物理中的波動(dòng)是不同。對(duì)機(jī)械波, y 表示位移;對(duì)電磁波, y 表示電場(chǎng)E或磁場(chǎng)B，波強(qiáng)與振幅A的平方成正比。 在量子力學(xué)中,物質(zhì)波不代表任何實(shí)在的物理量的波動(dòng), 波的振幅的平方?? (x,y,z,t)?2表示粒子在t 時(shí)刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率。,在

17、量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是用波函數(shù)? (x,y,z,t)來(lái)描述的。,但描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)? (x,y,z,t)又到那里去尋找呢？ 答案是：求解薛定諤方程。,微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的 決定性規(guī)律。,牛頓說(shuō)：只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒 子的軌跡是已知的，決定性的。,量子力學(xué)說(shuō)：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá)某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布；即只知道|?|2大的地方粒子出現(xiàn)的可能

18、性大，|?|2小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的。（非決定性的）,解：利用歸一化條件,例：求波函數(shù)歸一化常數(shù)和概率密度。,二、薛定諤方程,自由粒子：未受力作用的粒子，其動(dòng)量、能量不變，故其物質(zhì)波的頻率、波長(zhǎng)不變，傳播方向不變。,描述粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)和粒子所處條件的關(guān)系式稱(chēng)為薛定諤方程。該方程是量子力學(xué)的基本方程，揭示了微觀物理世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。它的重要性猶如牛頓方程對(duì)于經(jīng)典力學(xué)，麥克斯韋方程組對(duì)于

19、電磁學(xué)。描述概率波的波函數(shù)是薛定諤方程的解,,,一維自由粒子的波函數(shù),1、薛定諤方程,①對(duì)于非相對(duì)論粒子,這就是一維自由粒子（含時(shí)間）薛定諤方程,②在外力場(chǎng)中粒子的總能量為：,一維薛定諤方程,三維薛定諤方程,拉普拉斯算符,哈密頓量算符,薛定諤方程,如勢(shì)能函數(shù)不是時(shí)間的函數(shù),代入薛定諤方程得：,用分離變量法將波函數(shù)寫(xiě)為：,2、定態(tài)薛定諤方程,,粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度,幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)，波函數(shù)描述的是定態(tài),粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中,E.薛定諤

20、量子力學(xué)的廣泛發(fā)展,1933諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng),一維定態(tài)薛定諤方程的應(yīng)用：,（1）微觀粒子運(yùn)動(dòng)所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,（2）寫(xiě)出U的函數(shù)式，代入方程解,（3）波函數(shù)連續(xù)，單值，有限且歸一化---標(biāo)準(zhǔn)化條件,（4）為使方程解的合理（邊界條件，標(biāo)準(zhǔn)化條件等），自然得到量子條件,三、一維無(wú)限深勢(shì)阱,金屬中的自由電子可看作在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng),勢(shì)能函數(shù)為：,邊界條件:,模型:自由粒子在金屬中運(yùn)動(dòng),要逸出須克服電子引力,相當(dāng)于勢(shì)能突然增大。,當(dāng) x

21、 a 時(shí)，,對(duì)Ⅱ區(qū)：,通解為,波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)、單值、有限,方程的通解為：,對(duì)Ⅰ區(qū)：,利用邊界條件定A，B,可得：,又：,得：,一維無(wú)限深勢(shì)阱的波函數(shù)為：,1.能量是量子化的。,(n=1,2,……),是粒子的基態(tài)能級(jí)。注意,這與經(jīng)典理論所得結(jié)果是不同的。因?yàn)楦鶕?jù)經(jīng)典理論, 粒子的最低能量應(yīng)該為零。E1又稱(chēng)為零點(diǎn)能。,可見(jiàn)，粒子的能量只能取不連續(xù)的值，這叫做能量量子化。整數(shù) 叫做量子數(shù)。 當(dāng)n =1,討論,2.粒子

22、在勢(shì)阱內(nèi)的概率分布,極大：,所以，粒子出現(xiàn)的幾率與 有關(guān)，有極大和極小,極小:,一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例 設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度為a的一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其波函數(shù)為,求：(1)粒子的能量和動(dòng)量；(2)概率密度最大的位置。⑶粒子在0～ 間找到的幾率。,解 (1),量子數(shù)n=3,粒子的能量:,又,(2)概率密度最大的位置。,粒子出現(xiàn)在勢(shì)阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為,有

23、極大值的充要條件是,解得,⑶粒子在0到 間被找到的幾率為,1. 設(shè)一維勢(shì)場(chǎng)分布為：,則能量為E的粒子在該勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其薛定諤方程為：,四、勢(shì)壘貫穿、隧道效應(yīng),而一維定態(tài)問(wèn)題的波函數(shù)為：,方程的通解為：,代表沿x正方向傳播的入射波;,代表沿x正方向傳播的反射波。,? 按經(jīng)典理論粒子將完全跨越勢(shì)壘到達(dá) x > 0 的區(qū)域，而量子力學(xué)表明粒子在此處發(fā)生反射和透射，粒子在

24、勢(shì)壘內(nèi)外皆有一定的出現(xiàn)概率。,上式表明粒子能量小于勢(shì)壘高度時(shí)，粒子仍能透入勢(shì)壘達(dá)一定深度，在經(jīng)典物理中這是不可能的。,?,全反射時(shí)，光波能透過(guò)界面進(jìn)入空氣達(dá)數(shù)個(gè)波長(zhǎng)的深度（滲透深度）。,電子的隧道結(jié)：在兩層金屬導(dǎo)體之間夾一薄絕緣層。,電子的隧道效應(yīng)：電子可以通過(guò)隧道結(jié)。,2,Ⅰ區(qū)薛定諤方程為：,Ⅱ 區(qū)薛定諤方程為：,Ⅲ 區(qū)薛定諤方程為：,Ⅰ區(qū)粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)的概率為,勢(shì)壘越寬透過(guò)的概率越小，(V0-E)越大透過(guò)的概率越小。,,按經(jīng)典理論

25、Ex2 區(qū)域，而量子力學(xué)的計(jì)算卻表明，在 x >x2 的區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)不為零，即粒子可在 x > x2 的空間出現(xiàn)，這種現(xiàn)象好象是在勢(shì)壘中挖了一條隧道，故稱(chēng)隧道效應(yīng)。,掃描隧道顯微鏡STM (Scanning tunneling microscopy),原理： 電子穿過(guò)金屬表面的勢(shì)壘形成隧道電流,隧道電流I與樣品和針尖間距離a的關(guān)系,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,樣品表面,隧道電流,掃描探針,,

26、,,計(jì)算機(jī),,放大器,,,樣品,探針,運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng),,,,,顯示器,掃描隧道顯微鏡（Scanning Tunneling Microscope）示意圖,原理：根據(jù)量子力學(xué)原理，由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于金屬表面之內(nèi)，電子云密度并不是在表面邊界處突變?yōu)榱?。在金屬表面以外，電子云密度呈指?shù)衰減，衰減長(zhǎng)度約為1nm。,用一個(gè)極細(xì)的、只有原子線度的金屬針尖作為探針，將它與被研究物質(zhì)(稱(chēng)為樣品)的表面作為兩個(gè)電極，當(dāng)樣品表

27、面與針尖非?？拷?距離＜1nm)時(shí)，兩者的電子云略有重疊，在兩極間加上電壓，在電場(chǎng)作用下，電子就會(huì)穿過(guò)兩個(gè)電極之間的勢(shì)壘，通過(guò)電子云的狹窄通道流動(dòng)，從一極流向另一極，產(chǎn)生隧道電流。通過(guò)探測(cè)固體針尖與表面原子產(chǎn)生的隧道電流可以分辨固體表面形貌。 當(dāng)針尖在樣品表面上方掃描時(shí)，即使其表面只有原子尺度的起伏，也將通過(guò)其隧道電流顯示出來(lái)。借助于電子儀器和計(jì)算機(jī)，在屏幕上即顯示出樣品的表面形貌。 STM有兩種工作方式。一種稱(chēng)為恒電流

28、模式 ，另一種工作模式是恒高度工作。 局限性只能測(cè)量導(dǎo)體，不能測(cè)量非導(dǎo)體，如果要測(cè)量非導(dǎo)體，可用原子力顯微鏡（Atomic Force Microscope）,用掃描隧道顯微鏡的針尖在銅表面上搬運(yùn)和操縱48個(gè)Fe原子,使它們排成圓形。圓形上原子的某些電子向外傳播逐漸減小,同時(shí)向圓內(nèi)傳播的電子相互干涉,形成干涉波。,,五、一維諧振子,粒子的勢(shì)能函數(shù),薛定諤方程,算符的本征值方程,1、算符的本征值和本征函數(shù),15-4 力學(xué)量的

29、算符表示,2、對(duì)應(yīng)原理,對(duì)x求導(dǎo)并整理,一 、力學(xué)量的算符表示,一維自由粒子的定態(tài)波函數(shù),動(dòng)量算符,角動(dòng)量算符,總能量算符,動(dòng)能算符,坐標(biāo)算符,3、力學(xué)量算符,所以動(dòng)量算符,任意力學(xué)量總可以用一個(gè)對(duì)應(yīng)的算符來(lái)表示，即力學(xué)量與算符之間存在普遍的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,,1、態(tài)的疊加原理,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

30、,,,,,,,,,,,,,,,,,,電子雙縫實(shí)驗(yàn)：,單縫“1”打開(kāi)，“2”關(guān)閉，波函數(shù)為?1,,單縫“2”打開(kāi)，“1”關(guān)閉，波函數(shù)為?2,,雙縫都打開(kāi)，波函數(shù)為?：,,,,,二 、力學(xué)量的平均值,雙縫實(shí)驗(yàn)中：,注意：雙縫衍射出現(xiàn)的粒子幾率分布正好與此結(jié)果 相同。且只有波函數(shù)是復(fù)數(shù)時(shí)，幾率密度才 與實(shí)際相同。復(fù)數(shù)已本質(zhì)地進(jìn)入量子力學(xué)。 這不同于用槍打靶時(shí)的概率相加。,

31、（滿足歸一化條件）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,態(tài)疊加原理：,,如果?1、?2、 ····?n都是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加也是這個(gè)系統(tǒng)一個(gè)狀態(tài)。,即：,也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。,2 、力學(xué)量測(cè)量結(jié)果的概率,粒子處于 態(tài)時(shí)，測(cè)得 和 的概率分別是：,3 、力學(xué)量的平均值,粒子處于 態(tài)時(shí)，測(cè)得的數(shù)值可能為 ， ，…

32、 的概率分別是：,力學(xué)量 在某態(tài) 中的測(cè)量平均值：,如果 未歸一化，則,例：在阱寬為a 的無(wú)限深勢(shì)阱中,一個(gè)粒子的狀態(tài)為,多次測(cè)量其能量。問(wèn),?每次可能測(cè)到的能量值和相應(yīng)概率？,?能量的平均值？,解：已知無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的,則,?多次測(cè)量能量(可能測(cè)到的值),?能量的平均值,概率各1/2,三 、算符的對(duì)易和不確定關(guān)系,算符可對(duì)易的兩個(gè)力學(xué)量可以同時(shí)具有確定值，算符不可對(duì)易的兩個(gè)

33、力學(xué)量存在不確定關(guān)系。,15-5 氫原子的量子理論,氫原子由一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)電子組成，質(zhì)子質(zhì)量是電子質(zhì)量的1837倍，可近似認(rèn)為質(zhì)子靜止，電子受質(zhì)子庫(kù)侖電場(chǎng)作用而繞核運(yùn)動(dòng)。,電子勢(shì)能函數(shù),電子的定態(tài)薛定諤方程為,一、氫原子的薛定諤方程,由于氫原子中心力場(chǎng)是球?qū)ΨQ(chēng)的，采用球坐標(biāo)處理。,定態(tài)薛定諤方程為：,用分離變量求解，令,代入方程可得：,上式可分解為兩個(gè)方程：,解上述方程并注意到波函數(shù)必須滿足標(biāo)準(zhǔn)條件：連續(xù)、單值、有限，可得到

34、以下結(jié)論：,2、角動(dòng)量量子化,l ：角量子數(shù),1、氫原子的能量量子化,n ：主量子數(shù),3、角動(dòng)量空間取向量子化,ml ：磁量子數(shù),與玻爾理論的結(jié)果一致，但玻爾理論是人為加上的量子化假設(shè)，而量子力學(xué)中是求解薛定諤方程自然得到的結(jié)果。,電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量在空間的取向不連續(xù)，只能取一些特定的方向，即角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的投影必須滿足量子化條件：,量子數(shù)的意義：,1 主量子數(shù)n,主量子數(shù)決定著氫原子的能量，E與n的依賴(lài)關(guān)系與波爾理論相同。,2

35、 角量子數(shù)l,角動(dòng)量有確定值，為,角動(dòng)量是量子化的，叫軌道角動(dòng)量。習(xí)慣用小寫(xiě)字母表示電子具有某一軌道角動(dòng)量的量子態(tài)，,3 磁量子數(shù)ml,由波函數(shù) ψnlm(r,?,?) 描寫(xiě)的定態(tài)，不但具有確定的能量和角動(dòng)量的大小，而且具有確定的Lz(角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的分量),角動(dòng)量的分量也只能取分立值。,即表示：即使角動(dòng)量量值相同，由于角動(dòng)量是一個(gè)矢量，其在空間可以有不同的取向，且取向是量子化的。,二、基態(tài)氫原子的波函數(shù),波函數(shù)：,電子的波

36、函數(shù)：,對(duì)于基態(tài)氫原子三個(gè)量子數(shù)：,求解方程，得,其中 為第一玻爾半徑,基態(tài)能級(jí),三 電子的概率分布和電子云,按波函數(shù)的幾率解釋可求出氫原子中電子出現(xiàn)在體積元r-r+d r, ?- ?+ d ?,?- ?+d ?的概率為|Rnl(r)Ylm(?, ? )|2r2sin?drd?d?, 對(duì)?,?積分可求出與原子核距離為r,厚度為dr的球殼內(nèi)電子出現(xiàn)的概率,電子徑向幾率分布,同理，對(duì)r積分，考慮徑向函數(shù)的歸一化條件，可得電子角向幾

37、率分布,氫原子中電子的徑向幾率分布,氫原子中電子的角向幾率分布,原子中的電子不是按軌道運(yùn)動(dòng),而是以一定的概率密度分布于核周?chē)臻g,稱(chēng)之為電子云。,一 、電子自旋, 自旋量子數(shù),15-6 多電子原子中的電子分布,1921年，斯特恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.Gerlach）發(fā)現(xiàn)一些處于S 態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場(chǎng)中一束分為兩束。,1925年，烏侖貝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密特(S.A.Goudsmit)

38、提出： 除軌道運(yùn)動(dòng)外，電子還存在一種自旋運(yùn)動(dòng)。 電子具有自旋角動(dòng)量和相應(yīng)的自旋磁矩。,自旋角動(dòng)量,自旋角動(dòng)量的空間取向是量子化的，在外磁場(chǎng)方向投影,電子自旋及空間量子化,“自旋”不是宏觀物體的“自轉(zhuǎn)”只能說(shuō)電子自旋是電子的一種內(nèi)部運(yùn)動(dòng),二、 多電子原子系統(tǒng),多電子的原子中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用(n ,l ,ml ,,ms)四個(gè)量子數(shù)表征：,（1）主量子數(shù)n，可取n=1,2,3,4,… 決定原子中電子能量

39、的主要部分。,（2）角量子數(shù)l，可取l=0,1,2,…(n-1) 確定電子“軌道”角動(dòng)量的值。,nl表示電子態(tài),如 1s 2p,（3）磁量子數(shù)ml，可取ml=0,± 1 ,± 2,…±l 決定電子“軌道”角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的分量。,（4）自旋磁量子數(shù)ms，只取ms= ±1/2 確定電子自旋角動(dòng)量在外磁場(chǎng)方向的分量。,“原子內(nèi)電子按

40、一定殼層排列”主量子數(shù)n相同的電子組成一個(gè)主殼層。n=1,2,3,4,…,的殼層依次叫K,L,M,N,…殼層。每一殼層上，對(duì)應(yīng)l=0,1,2,3,…可分成s,p,d,f…分殼層。,（1）泡利(W.Pauli)不相容原理,在同一原子中，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的四個(gè)量子數(shù)（即處于完全相同的狀態(tài)）。,各殼層所可能有的最多電子數(shù):,當(dāng) n 給定，l 的可取值為0,1,2,…,n-1共n個(gè);,當(dāng) l 給定，ml的可取值為0

41、,±1,±2,…,±l共2l+1個(gè);,當(dāng) n,l,ml 給定，ms的可取值為±1/2共2個(gè).,給定主量子數(shù)為 n 的殼層上，可能有的最多電子數(shù)為：,原子殼層和分殼層中最多可能容納的電子數(shù),原子系統(tǒng)處于正常態(tài)時(shí)，每個(gè)電子總是盡先占據(jù)能量最低的能級(jí)。,（2）能量最小原理,我國(guó)科學(xué)家徐光憲總結(jié)的規(guī)律：,,,,K,,,,,,,K,,,,,,,K,,,,,,,K,,,,,,,K,,,,,,,K,,,,,,L

42、,,,L,,,L,,,,,,,,,,,,,,,L,,,,,,,,,,L,,,,,,,,,,M,,,M,,,,,,,2 He,3 Li,10 Ne,11 Na,17 Cl,8 O,例1、在主殼層n=3中可占有的最多電子數(shù),n=3(共18個(gè)）,,共有9個(gè),若n=3,l=3有多少量子態(tài)數(shù),零！,例3、對(duì)應(yīng)n=4氫原子的最大角動(dòng)量值為多少？,此時(shí)角動(dòng)量在空間去向如何？（與oz軸夾角）,,,,,例 當(dāng)氫原子從某初始狀態(tài)躍遷到激發(fā)能（從基態(tài)到