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文檔簡介
1、主講:符春生,第五章,彎曲應力,,FS,M,FS,~τ,M=Mz,~σ,§5-1 概述,純彎曲梁分析截面上正應力,彎矩M作用產生什么應力?,純彎曲:如圖CD段。,剪切(橫力)彎曲:如圖AC段和BD段。,§5-2 梁彎曲時橫截面上的正應力,純彎曲梁:彎矩不為零,剪力為零,(1)橫線:變形后仍為直線,但轉過一角度,并與縱線仍正交。,一.純彎曲梁的正應力,中性層與橫截面的交線——中性軸z;,(2)縱線:彎成弧線
2、,上部縮短,下部伸長,,中間有一層縱線既不伸長,也不縮短——中性層。,1﹒幾何關系,(1)平面假設:橫截面變形后仍為平面,與彎曲后的縱線正交;,基本假設,(2)單向受力假設:各縱向線(纖維)之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。,ρ——變形后中性層的曲率半徑。,y——任一縱線到中性層的距離。,dθ——1-1和2-2截面的相對轉角。,任一條纖維的線應變?yōu)椋?2.物理關系:,3.靜力學關系:,Sz = 0——中性軸z通過橫截面的形心。,I
3、yz =0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。,EIz——彎曲剛度,,說明:,(2)符號:①由M與y的符號確定σ的符號;,⑴ 線彈性;,②由彎曲變形確定。,,① z軸為對稱時:,② z軸為非對稱時:,二.純彎曲正應力公式的推廣,例1 :一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面,圓形截面和工字形截面,試求以三種截面的最大拉應力。設矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。,解:該梁C截面的彎矩最大,
4、 Mmax=10×3=30kN.m,⑴矩形截面:,⑵圓形截面,⑶ 工字形截面。 選用50C號工字鋼,其截面面積為139000mm2。,在承受相同荷載和截面面積相同時,工字梁所產生的最大拉應力最小。反過來說,如果使三種截面所產生的最大拉應力相同時,工字梁所承受的荷載最大。因此,工字形截面最為合理,矩形截面次之,圓形截面最差。,結論如下:,§5-3 矩形截面梁的切應力,1、兩點假設:,(1)切應力與橫截面的側邊平
5、行,(2)切應力沿截面寬度均勻分布,由切應力互等定理,2、彎曲切應力公式,y——所求點距中性軸的距離。,FS ——橫截面上剪力。,Iz ——整個橫截面對中性軸z的慣性矩。,b——橫截面寬度。,S z* ——橫截面上距中性軸y處 橫線一側 截面對中性軸 的面積矩。,,3、切應力沿截面高度的分布,y=±h/2,τ=0,,比較,剪切彎曲時,平面假設不再成立,,1、腹板,FS——橫截面上剪
6、力。,矩形截面的兩個假定同樣適用。,,一、工字形截面梁,§5-4、其他形狀截面梁的切應力,工字形截面梁腹板上的切應力:,FS——橫截面上剪力。,Iz ——整個工字形截面對中性軸z的慣性矩。,d——腹板寬度。,Sz* ——距z軸y處橫線一側 陰影部分截面對z的面積矩。,,,其中 ——面積δ×u 對中性軸的面積矩。,2、翼緣,,切應力流:,切應力沿截面像水流一樣流動的現象。,工字形截面梁切應力的分析方法同樣適用
7、于T字形,槽形,箱形等截面梁。,,二、圓形截面梁,三、薄壁圓環(huán)截面梁,例2:一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及最大壓應力,并畫出最大剪力截面上的切應力分布圖。,解:,(1) 確定橫截面形心的位置.,(2) 計算橫截面的慣性矩Iz .,Iz=186.6×106mm4,(3) 畫剪力、彎矩圖.,(4) 計算最大拉應力和最大壓應力,由于該梁的截面不對稱于中性軸,因而橫面上下邊緣的距離不相等,故需分別計算B、D截面
8、的最大拉應力和最大壓應力,然后比較。,① 在B截面上的彎矩為負,故該截面上邊緣各點處產生最大拉應力,下邊緣各點處產生最大壓應力。,σt max = 40×103×100×10-3/186.6×10-6=21.4 MPa,,σc max = 40×103×180×10-3/186.6×10-6=38.6 MPa,② D截面上的彎矩為正,故該截面下邊緣各點處產生
9、最大拉應力,上邊緣各點處產生最大壓應力:,σt max = 22.5×103×180×10-3/186.6×10-6=21.7 MPa,,σc max = 22.5×103×100×10-3/186.6×10-6=12.1 MPa,∴σt max = 21.7 MPa, 發(fā)生在D截面的下邊緣各點處。,σc max = 3
10、8.6 MPa, 發(fā)生在B截面的下邊緣各點處。,FSmax=50kN截面上的切應力分布:,例3:一矩形截面外伸梁,如圖所示。現自梁中1.2.3.4點處分別取四個單元體,試畫出單元體上的應力,并寫出應力的表達式。,解:(1)求支座反力:,,(2)畫FS 圖和M 圖,5-4、梁的強度計算,危險點:,最大彎矩截面的上、下底面各點為正應力危險點。,最大剪力截面的中性軸各點為切應力危險點。,危險截面:,最大彎矩截面,最大
11、剪力截面,一、梁的強度計算,1、等截面梁的正應力強度條件為:,注:①彎曲容許正應力[σ]彎略大于軸向拉壓容許正應力[σ]軸, 一般可取[σ]彎= [σ]軸。,②當[σt ] ≠ [σc ]時,需分別計算σtmax和σcmax,使 σtmax ≤ [σt ] , σcmax ≤ [σc ]。,2、等截面梁的切應力強度條件為:,校核強度;,設計截面;,求容許荷載。,強度計算:,注:① 一般情況下,只需按正應
12、力強度條件來進行強度計算, 不必對切應力作校核。,② 特殊情況下,需校核切應力強度。,a. FS 很大而 M 較小。,焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面,當復板高度很高, 厚度很小時,腹板上產生相當大的切應力。,c. 木梁的順紋向抗剪強度較低,應校核τ順。,d、題中給定[τ]。,例4. 如圖一簡支木梁。已知:[σt] = [σc] = 10 MPa,[τ] = 2 MPa。梁截面為矩形,b = 80
13、 mm,求高度。,解:由正應力強度條件確定截面高度,再校核切應力強度。,1°按正應力強度條件計算h 。,而,可取 h = 200 mm 。,2°切應力強度校核:,故由正應力強度條件所確定的h=200mm能滿足切應力強度條件。,例5. 一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493×104mm4;若材料為鑄鐵:[σt] = 30 MPa,[σc] = 90 MPa, [τ]=24MPa。試求q的
14、容許值,并校核切應力強度。,解:1°畫剪力、彎矩圖,確定危險截面、危險點。,2°求[ q ]。,C截面:,q ≤12.3kN/m,B截面:,q ≤9.6 kN/m,∴ 該梁所受q 的容許值為:[ q ]=9.6kN/m,3、校核切應力,二、提高承載能力的措施,1、選擇合理截面形式,即Wz /A 越大越合理,此時Iz /A也較大,既可提高強度,又可提高剛度。,彎矩M與Wz成正比,,Wz越大越合理,合理截面:是在不增加
15、材料消耗的前提下, 盡可能使得Wz越大越合理。,如設截面高度為h ,,可見,工字型截面比矩形截面合理,而矩形截面又比圓截面合理。,選擇截面的形式時,還要考慮材料的性能。塑性:中性軸對稱;脆性:中性軸非對稱, ;,矩形截面:,工字形截面:,對圓形截面:,2、采用強度較高的材料,一般高強度材料的[σ]和[τ]較高。,3、采用變截面梁,采用變截面梁,可節(jié)省材料及減少自重。,最合理的變截面梁是等強度
16、梁.,σmax = M(x) / W(x) = [σ],M(x) = Fx /2,W(x) = bh2(x) /6,當高度b = 常數時:,由切應力強度條件:,---魚腹梁,y,4、改善梁的受力狀況,可通過調整支座和改變結構來完成。,5、增加梁的支座——超靜定梁,可減少Mmax及位移。,§5-5 非對稱截面梁的平面彎曲﹑,對稱彎曲:梁具有縱向對稱平面,外力(力偶)作用在縱向對稱面內。,開口簿壁截面的彎曲中心,非對稱彎曲:梁不
17、具有縱向對稱平面或雖具有縱 向對稱平面,但外力并不作用在縱向對稱面內。,一、平面彎曲時外力作用的方向,設 z 為中性軸:,又由,,C,,可見:非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時,外力作用的平面必須平行于形心主慣性平面。此時,梁的軸線在形心主慣性平面內彎成一條平面曲線。橫截面上的另一根形心主軸即為中性軸。,(梁受到平行于y軸的外力作用),= M,= 0,對于無縱向對稱面的非對稱彎曲梁,如果是純彎曲,,只要外力偶作用在與形
18、心主慣性平面平行的任意平面內,則梁只發(fā)生平面彎曲,而不發(fā)生扭轉;,如果是橫力(剪切)彎曲,即使外力作用在形心主慣性平面內,梁除發(fā)生彎曲以外,還會發(fā)生扭轉。,二.開口薄壁截面的彎曲中心,只有當外力作用在彎心平面內,梁才只發(fā)生平面彎曲。,彎心平面:通過彎曲中心與形心主慣性平面平行的平面。,彎曲中心:當梁在兩個正交的形心主慣性平面內分別產生平面彎曲時,橫截面上產生的相應兩個剪力作用線的交點,稱為彎曲中心。,τ1,τ1,腹 板:,翼 緣:,(
19、c),彎曲中心:當梁在兩個正交的形心主慣性平面內分別產生平面彎曲時,橫截面上產生的相應兩個剪力作用線的交點A,稱為彎曲中心。,彎曲中心的確定:截面剪力合力作用點的位置,彎曲中心位置與剪力大小無關,僅與截面形狀尺寸有關,如圖槽形截面彎曲中心位置:,一些常見開口薄壁截面彎曲中心位置的確定的原則:,1.具有兩根對稱軸的截面,其交點就是彎曲中心。,2.具有一根對稱軸的截面,彎曲中心必定位于對稱軸上。,3.如果截面由中心線相交一點的兩個狹長矩形所
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