工程力學(xué)人民交通出版社第3章-第2節(jié)力偶系

1、§3-2,力矩與力偶理論,一、力對(duì)點(diǎn)之矩二、力偶與力偶矩 三、力偶系的合成與平衡,一、力對(duì)點(diǎn)之矩,力對(duì)物體可產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，在一般情況下，既可能產(chǎn)生移動(dòng)（平動(dòng)）效應(yīng)，也可能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，或者同時(shí)產(chǎn)生這兩種運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。力的移動(dòng)效應(yīng)取決于力的大小和方向，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，則用力對(duì)該點(diǎn)的矩來(lái)度量，簡(jiǎn)稱力矩。,,,,,,,,,h,,F,O,,(式中O—“力矩中心”),,,首先定義好：矩心 ；力臂表示力矩的三要素：要素1

2、：力矩的大小。要素2：力矩的轉(zhuǎn)向（右手螺旋法則：逆時(shí)針正）。要素3：力矩的作用面（力作用線與矩心構(gòu)成的平面）,1、平面中力矩的概念,一、力對(duì)點(diǎn)之矩,1、平面中力矩的概念,▲力矩的量綱單位： 或 ▲力矩在下列兩種情況下等于零：（1）力的大小等于零；（2）力的作用線通過(guò)矩心，即力臂等于零?！?duì)點(diǎn)之矩的解析表達(dá)式：,平面力系的合力矩定理 平面力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代

3、數(shù)和。,2、合力矩定理,小技巧：當(dāng)力臂計(jì)算比較困難時(shí)，應(yīng)用合力矩定理，往往可以簡(jiǎn)化力矩的計(jì)算，一般將力分解為兩個(gè)適當(dāng)?shù)姆至?，先求出兩分力?duì)此點(diǎn)之矩，然后求其代數(shù)和，即得該力對(duì)點(diǎn)之矩。,結(jié)論：任何力系都適用合力矩定理,一、力對(duì)點(diǎn)之矩,已知F、a、b、?，求力F對(duì)A點(diǎn)之矩。,解：（1）按力矩定義求：,（2）用合力矩定理求：,? 例題 1,力偶：作用在同一剛體上的兩個(gè)大小相等、方向相反、但作用線不重合的一對(duì)力稱為 “力偶”。,“力偶”也是一種

4、最簡(jiǎn)單的力系，由于構(gòu)成力偶的兩個(gè)力的作用線彼此平行，所以根據(jù)公理二，此二力系不是一個(gè)平衡力系。顯然物體在力偶的作用下會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，——力偶的效應(yīng)是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。,二、力偶與力偶矩,1、什么是力偶,2、力偶的特點(diǎn),二、力偶與力偶矩,①兩個(gè)大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。 ②力偶的兩個(gè)力所在的平面稱為力偶作用面。 ③兩力作用線間的垂直距離d 稱為力偶臂。④兩力所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)方向稱為力偶的轉(zhuǎn)向。 ⑤力偶的表示法：

5、 文字表示：,,,⑦正負(fù)規(guī)定：逆時(shí)針為正⑧單位量綱：,⑥力偶大?。毫ε季兀?2、力偶的特點(diǎn),二、力偶與力偶矩,,,m,,⑨力偶的三要素： 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面,性質(zhì)1 ：力偶無(wú)合力,證：由力偶的定義：在一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)大小相等指向相反的平行力。那么，一定有力偶中的兩個(gè)力任何軸上的投影之和恒等于零，即力偶無(wú)合力（或者說(shuō)其合力恒等于零）。,,推論：力偶不能合成為一個(gè)合力，力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效替換；亦即不能用一

6、個(gè)力來(lái)平衡。所以，所以力偶對(duì)物體的作用只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而決不會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。力偶只能用具有轉(zhuǎn)動(dòng)效果的另一力偶或力矩來(lái)平衡！ 因此，力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本要素。,3、力偶的基本性質(zhì),二、力偶與力偶矩,性質(zhì)2 ：力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩均等于力偶矩常數(shù)。與矩心的位置無(wú)關(guān)。,3、力偶的基本性質(zhì),二、力偶與力偶矩,證：由,則：,,,x,由于矩心 O是任意選取的，因此，力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩均等于力偶矩，而與矩心的位置無(wú)

7、關(guān)。,性質(zhì)3： 作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩力偶，若它們的力偶矩相等,則兩力偶等效。,推論1、作用在剛體上的力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，或移動(dòng)到平行面內(nèi)，而不改變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。,推論2、只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中的力和力偶臂的大小，而不改變其對(duì)剛體的作用效果。,3、力偶的基本性質(zhì),二、力偶與力偶矩,由以上力偶的3個(gè)性質(zhì)，可以推論出力偶的以下性質(zhì)：,力偶無(wú)合力，不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。力偶中兩個(gè)力對(duì)其

8、作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，等于該力偶的力偶矩力偶的可移動(dòng)性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）力偶的可改裝性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）力偶的等效性：如果它們的力偶矩大小相等，力偶的轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效。,3、力偶的基本性質(zhì),二、力偶與力偶矩,小 結(jié),,,1、都有使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。2、二者的量綱相同：(N?m),1、力矩因點(diǎn)而異，力偶與點(diǎn)無(wú)關(guān)。2、力矩矢是固定矢，不能自由移動(dòng)。力偶矩矢是自由矢，可以平移和滑移。,思考題,力矩與力

9、偶矩的比較,左圖中的單位為N，長(zhǎng)度單位為cm。試分析圖示四個(gè)力偶，哪些是等效的？哪些不是等效的？,右圖中一力偶（F1.F1´’)作用在Oxy平面內(nèi),另一力偶(F2,F2´’)作用在Oyz平面內(nèi),力偶矩之值相等(圖3-18),試問(wèn)兩力偶 是否等效?為什么?,思考題,,作用于同一剛體上的力偶系中的各力偶，都可以被平行移轉(zhuǎn)到剛體內(nèi)任意點(diǎn)而不改變其對(duì)剛體的作用效果。因此被移轉(zhuǎn)后組成一個(gè)合力偶，合力偶的矩等于力偶系中各力偶的矩

10、的代數(shù)和。即,1、平面力偶系的定義,三、力偶系的合成與平衡,作用于物體上同一平面內(nèi)的許多力偶稱為平面力偶系。,2、平面力偶系的合成,平面力偶系，僅用代數(shù)量表示，,,3、力偶系的幾何法合成,三、力偶系的合成與平衡,力偶系則可以象力系那樣，按力多邊形法則合成為一個(gè)合力偶矩矢m。,剛體上的力偶系m1 、m2、… mn中各分力偶矩矢，按照合力投影定理：合力偶矩矢M 的三個(gè)投影分量MX 、 MY 、 MZ分別等于各分力偶矩矢在各個(gè)軸上的投影代數(shù)和

11、。,,,,3、力偶系的解析法合成,三、力偶系的合成與平衡,即有：,同理：,力偶系平衡的必要與充分條件是其合力偶矩矢等于零。即,平面力偶系的平衡條件是力偶系中各力偶矩的代數(shù)和為零。,利用力偶系平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。,3、力偶系平衡,三、力偶系的合成與平衡,圖示一簡(jiǎn)支梁受一力偶作用，此力偶之矩 m= 20kN·m，梁的跨度L=5m。又傾角?????，試求A、B支座的約束反力，梁重不計(jì)。,梁受一力偶矩m和A、B兩支座反力作用

12、, 由于力偶只能由力偶平衡, 所以兩支座反力應(yīng)為一對(duì)力偶, 由此可見(jiàn), 兩支座反力大小相等,方向相反,其指向如圖所示。,由力偶平衡方程有:,解: 取AB梁為研究對(duì)象, 畫(huà)其受力圖。,? 例題 4,,圖示簡(jiǎn)支剛架，其上作用三個(gè)力偶，其中 F1=F1?=5kN，M2=20kN·m，M3=9kN·m，? =30?，試求支座A、B處的反力。,解：畫(huà)剛架的受力圖。,剛架上作用一個(gè)力偶系，力偶只能用力偶來(lái)平衡，可知A、B支

13、座的反力必構(gòu)成一個(gè)力偶（FA、FB），如圖。,由力偶系的平衡條件,? 例題 5,,? 例題 6,,,圓柱齒輪如圖，受到嚙合力Fn的作用，設(shè)Fn=1400N，齒輪的壓力角α=200，節(jié)圓半徑，r=60mm，試計(jì)算力Fn對(duì)軸心O的力矩。,解：,1）直接法：由力矩定義求解,2）合力矩定理將力Fn分解為切向力Ft和法(徑)向力Fr，即,由合力矩定理得：,? 例題 7,,力矩是力學(xué)中的一個(gè)基本概念。度量力對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)：,2. 力偶也是力學(xué)中

14、的一個(gè)基本概念。 （1）力偶由等值、反向、作用線不重合的二平行力所構(gòu)成的特殊力系。它對(duì)物體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可用力偶矩度量它。即,（2） 力偶無(wú)合力，力偶不能與一個(gè)力相平衡，只能與另一個(gè)力偶相平衡。力偶的最重要的性質(zhì)是等效性，在保持力偶不變的條件下，可任意改變力和力偶臂，并可在作用面內(nèi)任意搬移。,小結(jié)力偶和力偶矩,（5）平面力偶系的平衡方程是,由此方程可求出一個(gè)未知量，它是解平面力偶系平衡問(wèn)題的基本方程。,小結(jié)力偶和力偶矩,（3）力偶在