衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)-常用概率分布

1、常用概率分布,第一節(jié) 二項(xiàng)分布,一、二項(xiàng)分布的概念與特征（一）摸球模型與二項(xiàng)分布 一個袋子里有5個乒乓球，其中2個黃球，3個白球，我們進(jìn)行摸球游戲，每一次摸到黃球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，這個實(shí)驗(yàn)有三個特點(diǎn)：一是各次摸球是彼此獨(dú)立的；二是每次摸球只有二種可能的結(jié)果，或黃球或白球；三是每次摸到黃球（或摸到白球）的概率是固定的。具備這三點(diǎn)， n次中有X次摸到黃球（或白球）的概率分布就是二項(xiàng)分布。,例

2、題,例5-1：用針灸治療頭痛，假定結(jié)果不是有效就是無效，每一例有效的概率為π。某醫(yī)生用此方法治療頭痛患者5例，3例有效的概率是多少？ 因?yàn)槊坷行У母怕氏嗤腋骼闹委熃Y(jié)果彼此獨(dú)立，5例患者中可以是其中的任意3例有效。,概念： 醫(yī)學(xué)研究中很多現(xiàn)象觀察結(jié)果是以兩分類變量來表示的，如陽性與陰性、治愈與未愈、生存與死亡等等。如果每個觀察對象陽性結(jié)果的發(fā)生概率均為?，陰性結(jié)果

3、的發(fā)生概率均為（1－?）；而且各個觀察對象的結(jié)果是相互獨(dú)立的，那么，重復(fù)觀察n個人，發(fā)生陽性結(jié)果的人次數(shù)X的概率分布為二項(xiàng)分布，記作B（X；n，π）。,二項(xiàng)分布應(yīng)用的先決條件： （1）一個實(shí)驗(yàn)有兩種對立的可能結(jié)果，如“陽性”與“陰性” ； （2）n次獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)； （3）產(chǎn)生一種結(jié)果（如陽性）的概率不變； （4）求在n次實(shí)驗(yàn)中有X陽性的概率.,（二）二項(xiàng)分布的概率

4、函數(shù),二項(xiàng)分布的概率函數(shù)P(X)可用公式（5-1）來計(jì)算。,例 題,例5-2：臨床上用針灸治療某型頭痛，有效的概率為60%，現(xiàn)以該法治療3例，其中兩例有效的概率是多大？,表5-1 治療3例可能的有效例數(shù)及其概率,,由表4-1可知，各種可能結(jié)果出現(xiàn)的概率合計(jì)為1，即?P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此，如果欲求1例以上有效的概率可以是：P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=0.93

5、6也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936,（三）二項(xiàng)分布的特征,1、二項(xiàng)分布的圖形特征 ?接近0.5時，圖形是對稱的，如圖4-1。 ?離0.5愈遠(yuǎn)，對稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對稱，如圖4-2 。 當(dāng)n→∞時，只要?不太靠近0或1， 當(dāng)nP和n(1－P)都大于5時，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。 二項(xiàng)分布圖形取決于?與n，高峰?=n?處。,圖5

6、-1 π=0.5時，不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布,,,圖5-2 π=0.3時，不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布,,,,,2、二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,總體均數(shù)：,方差：,標(biāo)準(zhǔn)差：,如果將出現(xiàn)陽性結(jié)果的頻率記為：P的總體均數(shù)：P的總體標(biāo)準(zhǔn)差：,例 題,例5-4 研究者隨機(jī)抽查某地150人，其中有10人感染了鉤蟲，鉤蟲感染率為6.7%，求此率的抽樣誤差。,二、二項(xiàng)分布的應(yīng)用,（一）概率估計(jì)例5-5 　如果某地鉤蟲感染率為13%，

7、隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大？ 從n=150，π=0.13的二項(xiàng)分布，由公式（5-1）和（5-2）可以得出150人中有10人感染鉤蟲的概率為：,（二）單側(cè)累積概率計(jì)算 二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性的次數(shù)至多為k次的概率為： 出現(xiàn)陽性的次數(shù)至少為k次的概率為：,例 題,例5-6 例4-5中某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?50人，其中至多有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有2名感染

8、鉤蟲的概率有多大？至少有20名感染鉤蟲的概率有多大？,根據(jù)公式（5-10）至多有2名感染鉤蟲的概率為：至少有2名感染鉤蟲的概率為：,至少有20名感染鉤蟲的概率為：,第二節(jié) Poisson分布,一、Poisson分布的概念 Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。常用于研究單位時間內(nèi)（或單位空間內(nèi)）某事件發(fā)生不同次數(shù)的分布。醫(yī)學(xué)上人群中出生缺陷、多胞胎、染色體異常等事件等都是罕見的

9、，可能發(fā)生這些事件的觀察例數(shù)n常常很大 ，但實(shí)際上發(fā)生類似事件的數(shù)目卻很小很小。 Poisson分布可以看作是發(fā)生的概率?（或未發(fā)生的概率1－?）很小，而觀察例數(shù)n很大時的二項(xiàng)分布。除二項(xiàng)分布的三個基本條以外，Poisson分布還要求?或（1－?）接近于0或1（例如0.999）。,二、Poisson分布的特征,Poisson分布的概率函數(shù)為： 式中 為Poisson分布的總

10、體均數(shù)，X為觀察單位內(nèi)某稀有事件的發(fā)生次數(shù)；e為自然對數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828。,由圖5-3可以看到Poisson分布當(dāng)總體均數(shù)λ值小于5時為偏峰，λ愈小分布愈偏，隨著λ增大，分布趨向?qū)ΨQ。Poisson分布有以下特性：（1）Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等,均為λ。 （2）Poisson分布的觀察結(jié)果有可加性。 當(dāng)λ增大時， Poisson分布逐漸逼近正態(tài)分布。一般來說λ≥20時， Poiss

11、on分布的資料可按正態(tài)分布處理。 當(dāng)n很大，p很小，np＝λ為一常數(shù)時，二項(xiàng)分布近似Poisson分布，p越小，近似程度越好。,Poisson分布圖,,,圖5-3 λ取不同值時的Poisson分布圖,（一）概率估計(jì) 例5-7 實(shí)驗(yàn)顯示某100cm2的培養(yǎng)皿平均菌落數(shù)為6個，試估計(jì)該培養(yǎng)皿菌落數(shù)等于3個的概率。 該培養(yǎng)皿菌落數(shù)等于3個的概率：,三、Poisson分布的應(yīng)用,例5-8 如果某地居民腦

12、血管疾病的患病率為150/10萬，那么調(diào)查該地1000名居民中有2人患腦血管疾病的概率有多大？ λ=n?=1000×0.0015=1.5 即調(diào)查該地1000名居民中有2人患腦血管疾病的概率為25.1%。,例5-9 實(shí)驗(yàn)顯示某100cm2的培養(yǎng)皿平均菌落數(shù)為6個，試估計(jì)該培養(yǎng)皿菌落數(shù)等于3個的概率。 該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個的概率：,（二）單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算

13、 如果稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為λ，那么該稀有事件發(fā)生次數(shù)至多為k次的概率 發(fā)生次數(shù)至少為k次的概率：,例5-9 實(shí)驗(yàn)顯示某100cm2的培養(yǎng)皿平均菌落數(shù)為6個，試估計(jì)該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個的概率，大于1個的概率。 該培養(yǎng)皿菌落數(shù)小于3個的概率： 菌落數(shù)大于1個的概率為：,例 題,例5-10 例5-8中，至多有2人患腦血管疾病的概率有多大？至少有3人患腦血管疾病的概率有多大？ 至多有

14、2人患腦血管疾病的概率： 至少有3人患腦血管疾病的概率：,第三節(jié) 正態(tài)分布,一、正態(tài)分布的概念 正態(tài)曲線(normal curve)是一條高峰位于中央，兩側(cè)逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交的“鐘型”曲線，該曲線表現(xiàn)為中間高，兩邊低，左右對稱。因?yàn)轭l率的總和等于1，故橫軸上曲線下的面積等于1。 正態(tài)分布是一種重要的連續(xù)型分布。醫(yī)學(xué)研究中許多正常人生理、生化指標(biāo)變量的分布呈正態(tài)或近似

15、正態(tài)分布。正態(tài)分布是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中發(fā)展得最為完善的一種分布，很多統(tǒng)計(jì)推斷都是在正態(tài)分布條件下進(jìn)行的。許多非正態(tài)分布的資料，當(dāng)觀察例數(shù)足夠多時，也可以用正態(tài)分布作為它的極限分布形式。有時也將一些非正態(tài)分布資料轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布來處理。,表5-4 骨密度測量值的頻數(shù)分布,正態(tài)分布,,圖5-4 體?！肮敲芏取睖y量值的分布接近正態(tài)分布示意圖（頻率密度=頻率/組距）,正態(tài)分布,正態(tài)概率密度曲線的位置與形狀具有如下特點(diǎn)： （1）關(guān)于x=μ

16、對稱。 （2）在x=μ處取得該概率密度函數(shù)的最大值，在 處有拐點(diǎn)，表現(xiàn)為鐘形曲線。 （3）曲線下面積為1。 （4）μ決定曲線在橫軸上的位置，μ增大，曲線沿橫軸向右移；反之，μ減小，曲線沿橫軸向左移。 （5）σ決定曲線的形狀，當(dāng)μ恒定時，σ越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖”；σ越小, 數(shù)據(jù)越集中，曲線越“瘦高”。見圖4-5。,正態(tài)分布,u1 u2 u3,,不

17、同均數(shù),正態(tài)分布,,不同標(biāo)準(zhǔn)差,正態(tài)分布,對任意一個服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，可作如下的標(biāo)準(zhǔn)化變換，也稱Z變換：Z服從總體均數(shù)為0、總體標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。我們稱此正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard normal distribution)，用N(0，1)表示。,正態(tài)分布,統(tǒng)計(jì)學(xué)家編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積分布表（附表1），因?yàn)檎龖B(tài)分布兩邊對稱，所以只給出Z取負(fù)值的情況。 表內(nèi)所列數(shù)據(jù)表示Z取不同

18、值時標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，此值大小相當(dāng)于Z值左側(cè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積，記作Φ（z）。,正態(tài)分布,例5-9 已知X服從均數(shù)為μ、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，試估計(jì)： X取值在區(qū)間 上的概率； X取值在區(qū)間 上的概率。,正態(tài)分布,查附表1， ，因?yàn)榍€下兩側(cè)面積對稱，區(qū)間（1.96，∞）相應(yīng)面積也是0.025，故Z取值于（－1

19、.96，1.96）的概率為1-2×0.025=0.95，即取值在區(qū)間上的概率為0.95。 同理，我們可以求出X取值在 區(qū)間上的概率為0.99。,二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律,正態(tài)分布曲線下面積分布有一定規(guī)律：µ±σ 包含面積占曲線下總面積的68.27%µ±1.96σ 包含面積占曲線下總面積的95.00%µ&#

20、177;2.58σ 包含面積占曲線下總面積的99.00%,正態(tài)分布,正態(tài)分布,正態(tài)分布,正態(tài)分布,例5-11 某地1986年120名8歲男孩身高均數(shù)為 =123.02cm ，標(biāo)準(zhǔn)差為S=4.79cm，試估計(jì)：(1)該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；(2)身高在120cm～128cm者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；(3)該地80%的男孩身高集中在哪個范圍？,求Z值:查表:

21、理論上該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數(shù)的7.21%。,正態(tài)分布,先計(jì)算120 和128所對應(yīng)的Z值：正態(tài)曲線下區(qū)間（－0.63，1.04）上的面積等于：,查附表1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下左側(cè)面積為0.10所對應(yīng)的Z值為－1.28，80%的8歲男孩身高集中在 區(qū)間內(nèi)，即116.9cm與129.2cm之間。,三、正態(tài)分布的應(yīng)用,（一）估計(jì)頻數(shù)分布（二）確定醫(yī)學(xué)參考值范

22、圍1、醫(yī)學(xué)參考值范圍(reference ranges)意義：指特定健康人群的解剖、生理、生化等各種數(shù)據(jù)的波動范圍。是 “正常”人群數(shù)據(jù)中大多數(shù)個體的取值所在的范圍。人們習(xí)慣用該人群95%的個體某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)的取值范圍作為該指標(biāo)的醫(yī)學(xué)參考值范圍。,2．制定參考值的基本步驟 （1）從正常人總體中抽樣 所謂正常人，是指排除了影響被研究指標(biāo)的疾病或因素的人。具體抽樣時要注意： 1)隨機(jī)化原則和方法進(jìn)行抽樣研究。 2)取樣本含

23、量要足夠大。（2）控制測量誤差 測量的方法、儀器、試劑、精密度、操作熟練程度都要統(tǒng)一，以便將測量誤差控制在一定的范圍內(nèi)。,（3）判定是否需要分組確定參考值范圍原則上組間差別明顯，且差別有實(shí)際意義則應(yīng)分開，否則應(yīng)當(dāng)合并確定。 （4）決定取單側(cè)還是雙側(cè)單側(cè)或雙側(cè)是根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途而定，指標(biāo)(如紅細(xì)胞、白細(xì)胞)過高與過低均為異常則取雙側(cè)，正常值范圍要分別確定下限和上限；指標(biāo)僅過高或過低為異常，則取單側(cè)。,雙側(cè)---過高、過

24、低均異常,單側(cè)上限---過高異常,單側(cè)下限---過低異常,（5）選定合適的百分界限 參考值范圍是指絕大多數(shù)正常人的測定值應(yīng)該所在的范圍。這個“絕大多數(shù)”習(xí)慣上95％或99％。（6）對資料的分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。 （7）根據(jù)資料的分布類型選定適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行參考值范圍的估計(jì)。3．參考值范圍的估計(jì)方法 估計(jì)參考值范圍的方法很多，在此以制定95％的參考值范圍為例，介紹正態(tài)分布法(適用正態(tài)分布資料或能夠轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的資料)

25、、百分位數(shù)法(適用于任何分布型的資料)的適用對象和界限值的計(jì)算公式，見下表。,參考值范圍所對應(yīng)的正態(tài)分布區(qū)間,參考值范圍所對應(yīng)的百分位數(shù),例5-11 調(diào)查某地120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態(tài)分布， （g/L）， （g/L），試估計(jì)該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍。 因血紅蛋白過高、過低均為異常，所以按雙側(cè)估計(jì)95%醫(yī)學(xué)參考值范圍：,例

26、 題,即該地健康女性血紅蛋白的95％的參考值范圍為97.41 g/L ~ 137.39 g/L 。,例題：見下表資料，為該地區(qū)50歲~60歲的女性高血脂診斷與治療提供參考依據(jù)，試估計(jì)其血清甘油三酯的95％的參考值范圍。,血清甘油三酯呈偏態(tài)分布，宜用百分位數(shù)法求其參考值范圍。,即該地該地區(qū)50歲~60歲的女性血清甘油三酯的95％的參考值范圍為小于209.8mg/dl。,某地630名正常女性檢查了血清甘油三酯含量的頻數(shù)表,注意：,（1）若資

27、料不服從正態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后若呈正態(tài)分布，用對數(shù)正態(tài)分布法，首先計(jì)算對數(shù)值的參考值范圍，再求反對數(shù)。,（2）若資料呈偏態(tài)分布或分布不明，則用求百分位數(shù)的公式求參考值范圍。,（三）質(zhì)量控制圖 控制圖共有7條水平線：中心線位于總體均數(shù)μ處，警戒限位于μ±2σ處，控制限位于μ±3σ處，此外還有兩條位于μ±σ處。（四）二項(xiàng)分布、泊松分布的正態(tài)近似1、二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：當(dāng)n→∞時，只要?不太靠