自動(dòng)控制理論課件3-4

1、3.5.1 穩(wěn)定性的基本概念,3.5 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,如果系統(tǒng)仍能逐漸恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，或簡稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的；,如果系統(tǒng)圍繞平衡點(diǎn)作等幅震蕩，或偏離平衡點(diǎn)的距離趨于某一非零值，則稱系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的；,如果系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,一個(gè)線性定常系統(tǒng)工作在某平衡狀態(tài)，在受到有界擾動(dòng)后，偏離了平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后,大范圍穩(wěn)定： 系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，不論初始偏差多大，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，稱為大范

2、圍穩(wěn)定（全局穩(wěn)定）的系統(tǒng)。,小范圍穩(wěn)定： 當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，稱為小范圍穩(wěn)定（局部穩(wěn)定）的系統(tǒng)。,若線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則一定是大范圍穩(wěn)定的。,穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。,3.5.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件（充要條件）,思路： 設(shè)線性系統(tǒng)的初始條件為零，作用一個(gè)理想單位脈沖δ(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)c(t)。這就相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號作用下，輸出信號偏離原平

3、衡工作點(diǎn)的問題。若t→∞時(shí)，有c(t)→0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,輸入信號：,輸出響應(yīng)：,若系統(tǒng)的特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，則t→∞時(shí)，c(t)→∞，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。,分析c(t)→0的條件：,若系統(tǒng)特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，則t→∞時(shí)，c(t)趨于常

4、數(shù)或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)；,當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)特征根全部具有負(fù)實(shí)部，才有t→∞時(shí)，c(t)→0，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,3.5.3 穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù),根據(jù)上面介紹的充要條件判穩(wěn)，需要知道系統(tǒng)全部特征根，對于高階系統(tǒng)，求特征根是困難的。,問題：,穩(wěn)定的必要條件,勞斯判據(jù)（充要條件）,赫爾維茨判據(jù)（充要條件）,林納德-奇帕特判據(jù)（充要條件）,代數(shù)判據(jù)是直接根據(jù)閉環(huán)特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，避免了求解閉環(huán)特征根的困難。

5、,1）全部系數(shù) 都不等于零；,1.穩(wěn)定的必要條件,設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：,由代數(shù)方程根和系數(shù)的關(guān)系：,全部特征根具有負(fù)實(shí)部的必要條件：,2）全部系數(shù) 符號必須相同。,一階和二階系統(tǒng)只要滿足必要條件一定是穩(wěn)定的。,注意：,不滿足必要條件的系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的，但是滿足必要條件的系統(tǒng)并不都是穩(wěn)定的。,例如：系統(tǒng)的特征方程為,有系數(shù)為負(fù)值，

6、系統(tǒng)不穩(wěn)定。,有系數(shù)為零，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2.勞斯穩(wěn)定判據(jù),設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：,第1步 根據(jù)特征方程式的系數(shù)，可建立勞斯表如下：,第2步 計(jì)算勞斯表：,,,,,,,若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定； 若勞斯表第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)或零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面或虛軸上； 位于右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。,第3步 根據(jù)勞斯表中第一列系數(shù)的符號判

7、穩(wěn)，并確定正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。,例 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,建立勞斯表：,勞斯表中第一列系數(shù)符號改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有2個(gè)正實(shí)部根。,,,勞斯判據(jù)中的兩種特殊情況 ：,特殊情況1 勞斯表任一行第一列系數(shù)為零，該行其余系數(shù)不全為零。,勞斯表某行第一列系數(shù)為零，則勞斯表無法計(jì)算下去，這時(shí)可以斷定系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是無法判斷系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。,處理方法：,例3-9 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：

8、,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,建立勞斯表：,(1) 由于勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。,例 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,因方程中缺項(xiàng)，其勞斯表為：,(1) 勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。,由方法2，用(s+1)乘方程兩邊：,,,對上面的例子，使用方法3：,用1/s 代替原特征方程中的s，有:,,,(1)

9、勞斯表中第一列系數(shù)出現(xiàn)零，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 符號改變2次，有2個(gè)正實(shí)部根。,系統(tǒng)中存在對稱于原點(diǎn)的根，即： 1）絕對值相等、符號相反的實(shí)數(shù)根；2）共軛虛根；3）對稱于原點(diǎn)的兩對共軛復(fù)根。,特殊情況2 勞斯表中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零,原因：,1）用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程式F(s)=0；2）全零行的系數(shù)則由輔助多項(xiàng)式F(s)對s求導(dǎo)后所得的多項(xiàng)式系數(shù)來代替，勞斯表可以繼續(xù)計(jì)算下去，由第一列系數(shù)變符號次數(shù)可判斷位于

10、右半s開平面的根的個(gè)數(shù)；3）對稱于原點(diǎn)的根可由輔助方程求得。,處理方法：,,例3-10 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,建立勞斯表并計(jì)算：,結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯表第一列不變號，說明沒有正實(shí)部根，由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對稱于原點(diǎn)的根:,利用長除法，可以求出特征方程其余的根：,,例 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,建立勞斯表：,,,,解出4個(gè)根：,用長除法解出另外

11、2個(gè)根：,利用輔助方程：,關(guān)于勞斯判據(jù)的幾點(diǎn)說明,在使用勞斯判據(jù)時(shí)，只要遇到上述兩種特殊情況，系統(tǒng)一定是不 穩(wěn)定的。,輔助方程在s右半平面的根的個(gè)數(shù)已包含在勞斯表第一列元素符號變化的次數(shù)之中。,勞斯表某一行元素同時(shí)乘以一個(gè)大于零的數(shù)，不影響判穩(wěn)結(jié)果。,計(jì)算勞斯各元素時(shí)，若不除以上一行的第一列元素，同樣可以判穩(wěn)，但是不能判斷系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。,設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的Hu

12、rwitz行列式Δn及其各階順序主子式Δi(i=1,2…,n-1)全部為正。其中：,,,,3.赫爾維茨（Hurwitz）判據(jù),例 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：,試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解：,不滿足赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：,線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：1）方程式所有系數(shù)為正；2）所有奇數(shù)階或偶數(shù)階Hurwitz行列式為正，即：Δ奇>0 或 Δ偶>0。,4.林納德-奇帕特（Lienar

13、d-Chipard）判據(jù),例3-13 設(shè)線性系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K,T應(yīng)滿足的條件。,解：,系統(tǒng)特征方程式為1+G(s)H(s)=0，即,根據(jù)李納德-奇帕特判據(jù)，要求K>0,T>0，且Δ偶>0。,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求：,1）利用穩(wěn)定判據(jù)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,2）利用穩(wěn)定判據(jù)，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)的取值范圍。,系統(tǒng)的特征方程式為：,建立勞斯表：,系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求,求得參數(shù)穩(wěn)定范圍：0<K<