高校工程數(shù)學(xué)變步長的梯形法則教學(xué)課件

1、§4.3 變步長求積公式,,,復(fù)化求積方法對提高精度是行之有效的，但是使用復(fù)化求積公式之前必須給出合適的步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小則會導(dǎo)致計(jì)算量的增加，而事先給出一個(gè)恰當(dāng)?shù)牟接滞抢щy的。實(shí)際計(jì)算時(shí)通常采用變步長的求積方案，即在步長逐次折半（或稱步長二分）的過程中，反復(fù)利用復(fù)化的求積公式進(jìn)行計(jì)算，直到二分前后的兩次積分近似值相當(dāng)符合為止。,,,變步長求積公式,,,,,一、變步長的梯形法則,,,探討梯形法則的

2、變步長法則計(jì)算規(guī)律：設(shè)將求積區(qū)間(a,b)分成n等分，則一共有n+1個(gè)分點(diǎn)，按梯形公式(5)計(jì)算積分Tn（對f調(diào)用n+1次）。如果將各求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至2n+1個(gè)，若仍直接用梯形公式計(jì)算二分后的積分值T2n，將需要對f調(diào)用2n+1次。,,,一、變步長的梯形法則,,,,,一、變步長的梯形法則,,,注意到T2n的全部分點(diǎn)當(dāng)中，有一半n+1個(gè)是二分前的原有分點(diǎn)，重復(fù)計(jì)算這些“老分點(diǎn)”上的函數(shù)值顯然是個(gè)浪費(fèi)。,,,變步長的梯形法

3、則,,,為了避免浪費(fèi)，將二分前后的兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考察。注意到每個(gè)子區(qū)間(xk-1, xk)，經(jīng)過二分再增加一個(gè)新分點(diǎn)xk-1/2后，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為因此有整理得：,,,變步長的梯形法則,,,再利用(5)式，得：這個(gè)式子的前一項(xiàng)Tn是二分前的積分值，在求T2n時(shí)可作為已知值使用，而它的后一項(xiàng)只涉及二分時(shí)新增加的分點(diǎn)xk-1/2，所要調(diào)用f的次數(shù)為n?？梢娺f推公式(9)由于避免了老結(jié)點(diǎn)的重復(fù)計(jì)算，

4、而使計(jì)算量節(jié)約了一半。,,,變步長梯形法則的計(jì)算流程,,,,,變步長梯形法則的程序框圖,,變步長梯形法則的算法框圖：其中T1和T2分別代表二分前后的積分值。各框的含義是：[框1] 準(zhǔn)備初值。[框2] 按遞推公式(9)求二分后的積分值。從第一個(gè)分點(diǎn)x=a+h/2出發(fā)，取h為步長逐步向右跨，即可依次確定公式(9)中的各個(gè)分點(diǎn)。圖中將所得到的分點(diǎn)暫存于單元x中。[框3] 控制精度。[框4] 修改步長。,,,變步長梯形法則舉例

5、,,,[例4-3-1] 用變步長的梯形法則計(jì)算積分值,,,[解] 先對整個(gè)區(qū)間(0,1)使用梯形公式。計(jì)算函數(shù)在端點(diǎn)的值f(0)=1, f(1)=0.8414710 則T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355將區(qū)間二等分，求中點(diǎn)的函數(shù)值f(1/2)=0.9588511,[例4-3-1],,按遞推公式(9)，得T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933進(jìn)一步二分求積區(qū)間，并計(jì)算新的分點(diǎn)

6、上的函數(shù)f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517再利用(9)式，得這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果列于表下表中。,[例4-3-1],積分I*的實(shí)際值是0.9460831用變步長梯形法則二分10次得到了這個(gè)結(jié)果。,復(fù)化梯形公式和變步長法的比較,復(fù)化梯形法 變步長法,計(jì)算T1時(shí)， b-a=1-0=1

7、 b-a=1-0=1T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355,計(jì)算T2時(shí)， h=(b-a)/2=1/2 h=b-a=1 新增節(jié)點(diǎn) f (1/2)=0.9588511 T2=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)] T2=T1/

8、2+f(1/2)/2=0.9397933 =T1/2+f(1/2)/2=0.9397933,復(fù)化梯形公式和變步長法的比較,復(fù)化梯形法 變步長法,計(jì)算T4時(shí)， h=(b-a)/2/2=1/4 h=(b-a)/2=1/2 新增節(jié)點(diǎn)f(1/2)=0.9588511

9、 f(1/4)=0.9896158 f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/4)=0.9088517T4=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) +2f(3/4)]

10、 T4=T2/2+h/2×[f(1/4)+f(3/4)],復(fù)化梯形公式和變步長法的比較,復(fù)化梯形法 變步長法,計(jì)算T8時(shí)，h=(b-a)/2/2/2=1/8 h=(b-a)/2/2=1/4 新增節(jié)點(diǎn)f(1/2)=0.9588511

11、 f(1/8) f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/8) f(1/8) f(3/8) f(5/4) f(7/8) f(5/8) f(7/8)T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) +2f(1/8)+2f(3/8)+

12、2f(5/8)+2f(7/8)] T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) T8=T4/2+h/2×[f(1/8) +2f(3/4)] +f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)],二、變步長Simpson求積公式,變步長Simp