一階微分方程在經(jīng)濟學中的綜合應用

1、,,,第三節(jié) 一階微分方程在經(jīng)濟學中的綜合應用,第十章 微分方程與差分方程,在研究各經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律時，常 需要建立某一經(jīng)濟函數(shù)及其導數(shù)所滿足的關系式，并 由此確定所研究函數(shù)的形式，從而根據(jù)一些已知的條 件來確定該函數(shù)的表達式。 從數(shù)學上講，就是建立微分方程并求解微分方程。 下面舉一些一階微分方程在經(jīng)濟學中應用的例子。,,,,一、

2、分析商品的市場價格與需求量 (供給量) 之間的 函數(shù)關系,例1 某商品的需求量 Q 對價格 P 的彈性為 – P 1n3 , 若該商品的最大需求量為 1200 (即 P = 0 時, Q = 1200) , ( P 的單位為元 , Q 的單位為 kg ) . 1. 試求需求量 Q 與價格 P 的函數(shù)關系; 2. 求當價格為 1 元時 , 市場對

3、該商品的需求量; 3. 當 P ? + ? 時 , 需求量的變化趨勢如何 ?,解 1. 由條件可知,即,分離變量并求解此微分方程 , 得,( C 為任意常數(shù) ),由 得 , C = 1200 ,,2. 當P = 1 (元)時 ,,3. 顯然 P ? + ? 時 , Q ? 0 , 即隨著價格的無限增大 , 需求量將趨于零 .,,,,例2 設某商品的需求函

4、數(shù)與供給函數(shù)分別為 (其中 a , b , c , d 均為正常數(shù)) 假設商品價格 P 為時間 t 的函數(shù) , 已知初始價格 P ( 0 ) = 且在任一時刻 t , 價格 P ( t ) 的變化率總與這一時刻 的超額需求 成正比(比例常數(shù)為 k > 0 ) . 1.

5、求供需相等時的價格 (均衡價格) ; 2. 求價格 P ( t ) 的表達式 ; 3. 分析價格 P ( t ) 隨時間的變化情況 .,解,1. 由 得,2. 由題意可知,,,,將 代人上式 , 得,(1),解此一階非齊次線性微分方程 , 得通解為,由 P ( 0 ) = 得,則特解為,,,,

6、3. 討論價格 P ( t ) 隨時間的變化情況 .,由于 為常數(shù) , k ( b + d ) > 0 , 故當 t ? + ? 時, 從而 (均衡價格)(從數(shù)學上講 , 顯然均衡價格 即為微分方程(1)的平衡解 , 且由于 故微分方程的平衡解是穩(wěn)定的) .,由 與 的大小還可分三種情況進一步討論(見下圖)

7、,,,,1) 若 ，則 ，即價格為常數(shù)，市場無 需調(diào)節(jié)達到均衡；,2) 若 ，因為 總是大于零且趨 于零，故 P ( t ) 總大于 而趨于 ；,3) 若 ，則 P ( t ) 總是小于 而趨于 .,由以上討論可知，在價格 P ( t )

8、的表達式中的兩項： 為均衡價格，而 就可理解為均衡偏 差.,,,,例3 某林區(qū)實行封山養(yǎng)林，現(xiàn)有木材 10 萬立方米， 如果在每一時刻 t 木材的變化率與當時木材數(shù)成正比 . 假設 10 年時這林區(qū)的木材為 20 萬立方米 . 若規(guī)定， 該林區(qū)的木材量達到 40 萬立方米時才可砍伐，問至 少

9、多少年后才能砍伐 .,二、預測可再生資源的產(chǎn)量，預測商品的銷售量,解 若時間 t 以年為單位，假設任一時刻 t 木材的 數(shù)量為 P ( t ) 萬立方米，由題意可知,( k 為比例常數(shù)),且,,,,該方程的通解為,將 t = 0 時 , P = 10 代人 , 得 C = 10 , 故,再將 t = 10 時 , P = 20 代人 , 得 于是,要使 P = 40 , 則 t =

10、 20 . 故至少 20 年后才能砍伐 .,,,,例4 假設某產(chǎn)品的銷售量 x ( t ) 是時間 t 的可導函數(shù) , 如果商品的銷售量對時間的增長速率 與銷售量 x ( t ) 及銷售量接近于飽和水平的程度 N – x ( t ) 之積成正比 (N 為飽和水平 , 比例常數(shù)為 k > 0) , 且當 t = 0 時 , 1. 求銷售量

11、x ( t ) ; 2. 求 x ( t ) 的增長最快的時刻 T .,解 1. 由題意可知,( 2 ),分離變量 , 得,,,,兩邊積分 , 得,解出 x ( t ) , 得,( 3 ),其中 由 得 , B = 3 , 故,,,,2. 由于,令 得,當 t T 時 , 故,時 , x ( t

12、 ) 增長最快 .,,,,在生物學、經(jīng)濟學中，常遇到這樣的量 x ( t )，其增 長率 dx/dt 與 x ( t )及 N – x ( t ) 之積成正比 ( N 為飽和值) , 這時 x ( t ) 的變化規(guī)律遵循微分方程 (2)，而 x ( t ) 本身按 Logistic 曲線 (3) 的方程而變化 .,微分方程 (2) 稱為 Logistic 方程，其解曲線 (3) 稱為

13、 Logistic 曲線 .,,,,例5 某商場的銷售成本 y 和存貯費用 S 均是時間 t 的 函數(shù)，隨時間 t 的增長，銷售成本的變化率等于存貯 費用的倒數(shù)與常數(shù) 5 的和，而貯存費用的變化率為存 貯費用的 (–1/3) 倍 . 若當 t = 0 時，銷售成本 y = 0，存 貯費用 S = 10 . 試求銷售成本與時間 t 的函數(shù)關系及存 貯費用與時間 t

14、 的函數(shù)關系 .,三、成本分析,解 由已知,(4),(5),,,,解微分方程 (5) 得,由 得 , C = 10 , 故存貯費用與時間 t 的函數(shù),關系為,將上式代入微分方程 (4) , 得,從而,由 得 從而銷售成本與時間 t 的函,數(shù)關系為,,,,四、公司的凈資產(chǎn)分析,對于一個公司，它的資產(chǎn)的運營，我們可以把它簡

15、 化地看作發(fā)生兩個方面的作用。一方面，它的資產(chǎn)可 以象銀行的存款一樣獲得利息，另一方面，它的資產(chǎn) 還需用于發(fā)放職工工資。,顯然，當工資總額超過利息的盈取時，公司的經(jīng)營 狀況將逐漸變糟，而當利息的盈取超過付給職工的工 資總額時，公司將維持良好的經(jīng)營狀況。為了表達準 確起見，假設利息是連續(xù)盈取的，并且工資也是連續(xù) 支付的。對于一個大公司來講，這一假設是較為合

16、理 的。,,,,例6 設某公司的凈資產(chǎn)在營運過程中，象銀行的 存款一樣，以年5%的連續(xù)復利產(chǎn)生利息而使總資產(chǎn) 增長，同時，公司還必須以每年200百萬元人民幣的 數(shù)額連續(xù)地支付職工的工資。 1. 列出描述公司凈資產(chǎn) W (以百萬元為單位)的微分 方程 ; 2. 假設公司的初始凈資產(chǎn)為 (百萬元)，求公司的

17、 凈資產(chǎn)W( t ) ; 3. 描繪出當 分別為 3000 , 4000 和 5000 時的解曲 線 .,解 先對問題作一個直觀分析.,,,,首先看是否存在一個初值 , 使該公司的凈資產(chǎn)不 變 . 若存在這樣的 , 則必始終有,利息盈取的速率 = 工資支付的速率,即,所以 , 如果凈資產(chǎn)的初值 (百萬元) 時 , 利

18、息 與工資支出達到平衡 , 且凈資產(chǎn)始終不變 . 即 4000 (百 萬元)是一個平衡解 .,但若 (百萬元) , 則利息盈取超過工資支出 , 凈資產(chǎn)將會增長 , 利息也因此而增長得更快 , 從而凈資 產(chǎn)增長得越來越快 ;,若 (百萬元) , 則利息的盈取趕不上工資的 支付 ; 公司的凈資產(chǎn)將減少 ,

19、 利息的盈取會減少 , 從而,,,,凈資產(chǎn)減少的速率更快 . 這樣一來 , 公司的凈資產(chǎn)最終 減少到零 , 以致倒閉 .,下面將建立微分方程以精確地分析這一問題 .,1. 顯然 凈資產(chǎn)的增長速率 = 利息盈取的速率 – 工資支付速率,若W 以百萬元為單位 , t 以年為單位 , 則利息盈取的 速率為每年 0.05 W 百萬元 , 而工資支付的速率為每年 200 百萬元 , 于是,

20、即,(6),,,,這就是該公司的凈資產(chǎn) W 所滿足的微分方程 .,令 則得平衡解,2. 利用分離變量法求解微分方程 (6) 得,( C 為任意常數(shù) ),由 得,故,3. 若 則W = 4000 即為平衡解 .,若 則,若 則,,,,在

21、 的情形 , 當 t ? 27.7 時 , W = 0 , 這意味著 該公司在今后的 28 個年頭將破產(chǎn) .,下圖給出了上述幾個函數(shù)的曲線 . W = 4000 是一個 平衡解 . 可以看到 , 如果凈資產(chǎn)在 附近某值開始 , 但 并不等于 4000 (百萬元) , 那么隨著 t 的增大 , W 將遠離 故 W = 4000 是一個不穩(wěn)

22、定的平衡點 .,,,,,例7 在宏觀經(jīng)濟研究中 , 發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國民收入 y , 國民儲蓄 S 和投資 I 均是時間 t 的函數(shù) . 且在任一時刻 t , 儲蓄額 S( t ) 為國民收入 y( t ) 的1/10 倍 , 投資額 I( t )是 國民收入增長率 dy/dt 的 1/3 倍 . t = 0 時 , 國民收入為 5 (億元) . 設在時刻 t 的儲蓄額全部