電磁學(xué)1 1

1、§4 環(huán)路定理,靜電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān),電荷間的作用力是有心力 ——環(huán)路定理 討論靜電場(chǎng)的環(huán)流,靜電場(chǎng)：電力線不閉合可以猜到靜電場(chǎng)的環(huán)流為零,,證明,單個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng) 把試探電荷q0從P移到Q,,,靜電場(chǎng)力做功只與起點(diǎn)終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān),點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的場(chǎng),在電場(chǎng)中把試探電荷從P移至Q電場(chǎng)力所做的功,,,P到 q1的距離,Q到q1的距離,每項(xiàng)均與路徑無關(guān)，只與位置有關(guān),任意有限大的帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng),可以將帶電體無限分割

2、成微元，每一個(gè)微元均為一點(diǎn)電荷 ——點(diǎn)電荷組結(jié)論：在任何電場(chǎng)中移動(dòng)試探電荷時(shí)，電場(chǎng)力所做的功除了與電場(chǎng)本身有關(guān)外，只與試探電荷的大小及其起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)，與移動(dòng)電荷所走過的路徑無關(guān),靜電場(chǎng)的環(huán)路定理,靜電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān) 等價(jià)于靜電場(chǎng)力沿任意閉合回路做功恒等于零,,在任意電場(chǎng)中取一閉合回路，將試探電荷沿路徑L從 p——Q——P，電場(chǎng)力所做的功為,,,討論,在證明Gauss定理中，說電力必須與r2成反比，那么在環(huán)路定理的證明中是否也必須

3、要求與r2成反比？答：不一定,,哪些力具有做功與路徑無關(guān)這種性質(zhì)？ 引力 引入引力勢(shì)能重力 引入重力勢(shì)能 勢(shì)函數(shù) 彈性力 引入彈性勢(shì)能 （位）靜電力 引入靜電勢(shì)能,,,,,,電勢(shì)能、電勢(shì)差、電勢(shì),可以與重力做功類比電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能將減少電場(chǎng)力做負(fù)功，電勢(shì)能將增加,電勢(shì)能的改變量,q0在 P點(diǎn)的

4、電勢(shì)能,q0在 Q點(diǎn)的電勢(shì)能,,電勢(shì)增量,定義,靜電場(chǎng)與 q0有能量交換,電場(chǎng)力的功,電勢(shì)的定義,從中扣除q0,即引入電勢(shì),,P、Q兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差定義為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)移動(dòng)單位正電荷時(shí)電場(chǎng)力所作的功單位正電荷的電勢(shì)能差,空間某點(diǎn)的電勢(shì)值,為了確定某點(diǎn)的值，還需要選擇零點(diǎn)一般選擇無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn),P點(diǎn)電勢(shì)值為,,兩點(diǎn)之間電勢(shì)差可表為兩點(diǎn)電勢(shì)值之差,單位：1V(伏特）＝1J/C,電勢(shì)疊加原理,點(diǎn)電荷組有,,連續(xù)帶電體有,,,電場(chǎng)強(qiáng)度和電

5、勢(shì),已知場(chǎng)強(qiáng) 可求電勢(shì)已知電勢(shì) 可否求場(chǎng)強(qiáng)？,,,,,等勢(shì)面 等勢(shì)面與電力線處處正交 證明：設(shè)一試探電荷q0沿任意一個(gè)等勢(shì)面作一任意元位移dl電場(chǎng)力所做的元功,等勢(shì)面密集處場(chǎng)強(qiáng)大，稀疏處場(chǎng)強(qiáng)小 證明：設(shè)：電場(chǎng)中任意兩個(gè)相鄰等勢(shì)面之間的電勢(shì)差為一定的值，按這一規(guī)定畫出等勢(shì)面圖（見圖），以點(diǎn)電荷為例，其電勢(shì)為,,,因?yàn)橄噜彽葎?shì)面電勢(shì)差為一定值，所以有,,,半徑之差∝r2,定值,

6、,,電勢(shì)梯度,場(chǎng)有分布，沿各方向存在不同的方向微商梯度：最大的方向微商如 速度梯度 溫度梯度等沿?l的方向微商可以表示為,,若取垂直方向，即場(chǎng)強(qiáng)方向?n，則沿該方向的方向微商為,,,,,結(jié)論：兩等勢(shì)面間U沿Δn 方向的變化率比沿其他任何方向的變化率都大,電勢(shì)梯度 方向： 沿電勢(shì)變化最快的方向 大?。?,在三維空間,,,,電勢(shì)梯度與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系,,,Δn 很小，場(chǎng)強(qiáng)E變化不大,E總是沿著指向電勢(shì)減少的方向——E與Δn相反

7、在數(shù)學(xué)場(chǎng)論中把,,,矢量微分算符,直角坐標(biāo)系表示,,,,靜電屏蔽,在靜電平衡狀態(tài)下,不論導(dǎo)體殼本身是否帶電，還是外界是否存在電場(chǎng), 腔內(nèi)和導(dǎo)體殼上都無電場(chǎng),不論導(dǎo)體殼本身是否帶電，還是外界是否存在電場(chǎng),都不影響腔內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布,起到了保護(hù)所包圍區(qū)域的作用，使其不受導(dǎo)體殼外表面上電荷分布以及外界電場(chǎng)的作用——靜電屏蔽,,空腔提供了一個(gè)靜電屏蔽的條件,若外殼接地，內(nèi)、外均無影響,電像法的實(shí)質(zhì)在于將一給定的靜電場(chǎng)變換為另一易于計(jì)算的等效靜電場(chǎng)，

8、多用于求解在邊界面（例如接地或保持電勢(shì)不變的導(dǎo)體）前面有一個(gè)或一個(gè)以上點(diǎn)電荷的問題，在某些情況下，從邊界面和電荷的幾何位置能夠推斷：在所考察的區(qū)域外，適當(dāng)放幾個(gè)量值合適的電荷，就能夠模擬所需要的邊界條件。這些電荷稱為像電荷，而這種用一個(gè)帶有像電荷的、無界的擴(kuò)大區(qū)域，來代替有界區(qū)域的實(shí)際問題的方法，就稱為電像法。,電像法——解靜電問題的一種特殊方法,在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點(diǎn)電荷q求空間的電場(chǎng)分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布基本思想：利

9、用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解,像電荷,解：,任一P點(diǎn)的電勢(shì),導(dǎo)體上電荷的面密度,,,,真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R)處有一點(diǎn)電荷Q,求空間各點(diǎn)電勢(shì),尋找像電荷對(duì)稱性分析，確定像電荷位置使球面上電勢(shì)＝0任取 P點(diǎn)，利用疊加原理求出像電荷位置,對(duì)所有?都成立，即要求與?無關(guān)，要求,求p點(diǎn)電勢(shì),極化電荷,極化后果：從原來處處電中性變成出現(xiàn)了宏觀的極化電荷可能出現(xiàn)在介質(zhì)表面

10、 （均勻介質(zhì)）面分布可能出現(xiàn)在整個(gè)介質(zhì)中 （非均勻介質(zhì)）體分布,極化電荷會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)——附加場(chǎng)（退極化場(chǎng)）,極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng),外場(chǎng),極化過程中：極化電荷與外場(chǎng)相互影響、相互制約，過程復(fù)雜——達(dá)到平衡（不討論過程）平衡時(shí)總場(chǎng)決定了介質(zhì)的極化程度,退極化場(chǎng)E’,附加場(chǎng)E’：在電介質(zhì)內(nèi)部：附加場(chǎng)與外電場(chǎng)方向相反，削弱在電介質(zhì)外部：附加場(chǎng)與外電場(chǎng)方向相同，加強(qiáng),極化的后果,三者從不同角度定量地描繪同一物理現(xiàn)象 ——極化，之間必有聯(lián)

11、系，這些關(guān)系——電介質(zhì)極化遵循的規(guī)律,,P與q’的關(guān)系,以位移極化為模型討論 設(shè)介質(zhì)極化時(shí)每一個(gè)分子中的正電荷中心相對(duì)于負(fù)電荷中心有一位移l ,用q代表正、負(fù)電荷的電量,則一個(gè)分子的電偶極矩,,設(shè)單位體積內(nèi)有n 個(gè)分子 ——有 n個(gè)電偶極子,,在介質(zhì)內(nèi)部任取一面元矢量dS,必有電荷因?yàn)闃O化而移動(dòng)從而穿過 dS,該柱體內(nèi)極化電荷的總量為 ：,,,,P在dS上的通量,對(duì)于介質(zhì)中任意閉合面P的通量=？,取一任意閉合曲面S以曲面的外

12、法線方向n為正極化強(qiáng)度矢量P經(jīng)整個(gè)閉合面S的通量等于因極化穿出該閉合面的極化電荷總量?q’根據(jù)電荷守恒定律，穿出S的極化電荷等于S面內(nèi)凈余的等量異號(hào)極化電荷－?q’,,均勻介質(zhì)：介質(zhì)性質(zhì)不隨空間變化 進(jìn)去=出來——閉合面內(nèi)不出現(xiàn)凈電荷 ?‘＝0非均勻介質(zhì)：進(jìn)去?出來，閉合面內(nèi)凈電荷 ?‘? 0 均勻極化：P是常數(shù),普遍規(guī)律,可以證明,注意區(qū)分,均勻介質(zhì)中P與?e‘的關(guān)系,在均勻介質(zhì)表面取一面元如圖則因極化而穿過面元dS的極化

13、電荷數(shù)量為,,,,極化強(qiáng)度矢量在介質(zhì)表面的法向分量,,,電荷層的體積,極化強(qiáng)度矢量P與總場(chǎng)強(qiáng)E的關(guān)系 ——極化規(guī)律,猜測(cè)E與P可能成正比（但有條件）——兩者成線性關(guān)系（有的書上說是實(shí)驗(yàn)規(guī)律，實(shí)際上沒有做多少實(shí)驗(yàn)，可以說是定義）,,極化電荷產(chǎn)生的附加場(chǎng),退極化場(chǎng),影響,,,電極化率：由物質(zhì)的屬性決定,求極化電荷在球心O處產(chǎn)生的退極化場(chǎng)即已知電荷分布求場(chǎng)強(qiáng)的問題電荷是面分

14、布，可以在球坐標(biāo)系中取面元dSdS上的極化電荷,,對(duì)稱性分析：退極化場(chǎng)由面元指向O（如圖）只有沿z軸電分量未被抵消，且與P相反,整個(gè)球面在球心O處產(chǎn)生的退極化場(chǎng),,點(diǎn)電荷之間的相互作用能,定義靜電能為零的狀態(tài) 設(shè)想帶電體系中的電荷可以無限分割為許多小單元，最初認(rèn)為它們分散在彼此相距很遠(yuǎn)的位置上，規(guī)定這種狀態(tài)下系統(tǒng)的靜電能為零。 ——We=0靜電能We： 把體系各部分電荷從無限分散的狀態(tài)聚集成現(xiàn)有帶電體系時(shí)外力抵抗

15、電場(chǎng)力所做的全部功 A’=-A （電場(chǎng)力做功）,兩個(gè)點(diǎn)電荷的情形,先移動(dòng)q1 到M點(diǎn)，———外力不做功再移動(dòng)q2 到N點(diǎn)，———外力做功,,q1單獨(dú)存在時(shí)N的點(diǎn)電勢(shì),交換移動(dòng)次序可得,,q2單獨(dú)存在時(shí)M點(diǎn)的電勢(shì),,系統(tǒng)的靜電能,,q1單獨(dú)存在時(shí)q2處的電勢(shì),q2單獨(dú)存在時(shí)在q1處的電勢(shì),多個(gè)點(diǎn)電荷的情形,把無限分散的多個(gè)點(diǎn)電荷逐個(gè)從無窮遠(yuǎn)移至相應(yīng)位置，計(jì)算外力所做的功,,,代表第j 個(gè)電荷在第i 個(gè)電荷所在位置Pi處產(chǎn)生的電勢(shì),

16、,點(diǎn)電荷組的總功應(yīng)為,,第二種表達(dá)式,可以證明，靜電能值與電荷移動(dòng)的次序無關(guān),,,,,,Ui:除點(diǎn)電荷i外其它點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)qi 所在處的電勢(shì)總和,,,4.108,點(diǎn)電荷組的靜電勢(shì)能,點(diǎn)電荷組的靜電勢(shì)能We等于電場(chǎng)力所做的功A’ 相應(yīng)的表達(dá)式為,,,Ui:除點(diǎn)電荷i外其它點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)qi 所在處的電勢(shì)總和,,電荷連續(xù)分布情形的靜電能,將上式推廣到電荷連續(xù)分布的情形，假定電荷是體分布，體密度為?e，把連續(xù)分布的帶電體分割成許多電荷

17、元，其電量?qi=?e?Vi，則有,,帶電體各部分電荷在積分處的總電勢(shì),總靜電能不是相互作用能,電場(chǎng)的能量和能量密度,從公式看，靜電能僅對(duì)其中包含電荷的體積或面積進(jìn)行，在其他地方，積分等于零是否可以斷定能量?jī)H局限于空間有電荷的區(qū)域？以平行板電容器為例說明,極板上的電量,板間電壓,,,,體積為 V內(nèi)的W,電能密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的電能,普遍適用,能量定域于場(chǎng)中,電荷或電荷組在外電場(chǎng)中的能量,電荷或電荷組（最簡(jiǎn)單的是偶極子）在其他帶電體產(chǎn)

18、生的電場(chǎng)（外場(chǎng)）中具有電勢(shì)能一個(gè)電荷在外電場(chǎng)中的電勢(shì)能,,外場(chǎng)中P點(diǎn)的電勢(shì),一個(gè)電偶極子在外電場(chǎng)中的電勢(shì)能,,,,,,帶電體系在外場(chǎng)中受的力或力矩與靜電勢(shì)能的關(guān)系,設(shè)處在一定位形的帶電體系的電勢(shì)能為W，當(dāng)它的位形發(fā)生微小變化電勢(shì)能將相應(yīng)地改變?W電場(chǎng)力做一定的功?A設(shè)系統(tǒng)無能量耗散和補(bǔ)充，能量守恒 ?A= -?W電場(chǎng)力的功等于電勢(shì)能的減少 利用上述關(guān)系可以給出帶電體系的靜電能與體系受力的關(guān)系,平移,設(shè)想