幾何學與科學技術(shù)

1、幾何學與科學技術(shù),河南教育學院主講人：封平華,引言,一個理想的倡導學科學用科學的社會氛圍應(yīng)當具有： 第一，能使十分嚴謹?shù)源舭宓恼n堂內(nèi)容變?yōu)榛钌纳鐣ＷR。倘使我們能有辦法讓每個人在面對社會時，能像牛頓所說的那樣“再再慎思”善莫大矣。 第二，能讓人們在各自工作領(lǐng)域中自覺養(yǎng)成理性思考的習慣，時時改善本職工作，以使人人能成為高科技時代的參與者，而不是同路人。

2、 ——錢偉長,一、圓錐曲線在宇宙中的應(yīng)用,下圖表明，當一個平面與兩個圓錐體相交時會產(chǎn)生：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。,1. 圓錐曲線的實例拋物線—— 噴水的弧線 閃光燈反射面的形狀橢 圓—— 某些行星和某些彗星的軌道雙曲線—— 某些彗星和另一些天體的軌

3、道 圓 —— 水塘中激起的波紋 圓形的軌道 輪子 自然界中的物體 在宇宙中有許多構(gòu)成圓錐曲線的例子，當代最為令人鼓舞的例子之一就是哈雷慧星。,天體的軌道是這樣一種觀念：它應(yīng)能很容易用方程或它們的曲線加以描述

4、。研究曲線圖有時能夠揭示軌道的循環(huán)和周期。,2. 開普勒的行星定律,跟伽里略一樣，開普勒也是個堅定的日心說者，但他對太陽系的看法十分有趣。從下面的說明可以看出，《幾何原本》仍然是當時人們僅有的數(shù)學工具。 《原本》的后幾卷里曾經(jīng)介紹過正多面體，一共寫出了5種（后來被證明，正多面體事實上也只有這5種）：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。,對于當時僅發(fā)現(xiàn)的6大行星：水星，金星，地球，火星，木星和土星，他是這樣來給它們安排

5、位置的：首先它們?nèi)诓煌?個球面上運動，將地球運動的球面外接一個正十二面體，則火星便在它的外接球面上；,再在這個球面上外接一個正六面體，則土星便在它的外接球面上。現(xiàn)在在地球運動球面上內(nèi)接一個正二十面體，則它的內(nèi)接球面便是金星的運動球面；再在這個球面作一個內(nèi)接正八面體，則水星便在它的內(nèi)接球面上。,1609年他發(fā)表了經(jīng)過6年辛苦研究的成果，即我們現(xiàn)在都已熟知的開普勒三大定律： (1)橢圓軌道律。每一個行星都在一條橢圓軌道上

6、運行，太陽位于橢圓的一個焦點上； (2)面積律。在橢圓軌道的任何處，相同時間內(nèi)行星和太陽連線掃過的面積總是相等的； (3)周期律。行星運行周期的平方與行星和太陽的平均距離的立方成正比（平均距離指橢圓的長軸的一半）。,這段歷史生動地告訴我們，2000年前希臘人發(fā)現(xiàn)的圓錐曲線終于在科學的發(fā)展中作出了巨大的貢獻。,二、圓錐曲線在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用,1.1792年建造的美國國會大廈，以其非電子竊聽設(shè)計，而符合于這一

7、目的。在國會巨大圓頂廳。在這個廳里，當時有一位阿達姆的議員，發(fā)現(xiàn)了一種奇特的聲學現(xiàn)象：在廳一邊的某個定點，人們能夠清楚地聽到位于廳的另一邊的人的談話，而所有站在兩者之間的人，都聽不到他們的聲音，他們發(fā)出的噪音也并不使傳遞于大廳間的談話聲變得模糊，阿達姆的桌子正巧坐落在拋物天花板的一個焦點。這樣，他便能很容易地竊聽到位于另一個焦點的其他國會議員的私人談話。,聲音經(jīng)拋物反射鏡（在上述情況下為天花板圓頂）的反射，平行地抵達相對的拋物反射鏡，再

8、經(jīng)反射而會聚于它的焦點。這樣，原先在一個焦點的全部聲音，便傳到相對的焦點來。,2. 在遠離希臘的西密島上，那里有一個半球形的太陽能蒸餾裝置，供應(yīng)島上4000個居民每人每天約一加侖的淡水。,太陽的熱量使中心部分供應(yīng)的海水蒸發(fā)。然后淡水凝結(jié)在透明的半球形圓頂?shù)南路?，并沿著頂面往下流，流到圓頂?shù)倪吘壥占饋怼?三、幾何學在古代工程測量中的應(yīng)用,(一) 海船測距（二）金字塔測高（三）隧道測向,(一)海船測距,這個問題是泰勒斯（Tha

9、les）提出的，他還提出勒金字塔的測高問題，對于生活在2600余年（公元前約600年）前的泰勒斯，至今人們所知甚少，只知道是希臘哲學的奠基人之一，并被希臘人和羅馬人尊為“希臘七賢”之一，是他最早將幾何研究引進希臘，人們稱之為演繹推理之父。他既是一位數(shù)學家，又是一名教師，一名哲學家，一名天文學家，一個精明的商人，而且是第一個采用一步步證實的辦法來證明自己結(jié)論的幾何學家。,在上圖（a）中，我們需要測量海船B與岸邊A點處的距離。泰勒斯的方法如

10、下：從A點沿海岸垂直于AB方向行走任意一段距離，作一個標記S，要求S較高，以能目測一切（圖（b）），隨后繼續(xù)往前走上相同距離至C點。然后轉(zhuǎn)一個直角，朝遠離海岸方向行走。如果當他走到E點時正好看到海船在點S的后面（即點E，S及海船在一條直線上）,則CE長便是所要測量的海船距離。 那時沒有任何平面幾何，當然更沒有全等三角形的概念，時間是公元前600年。在那個時代，他能夠想到利用這種方法進行測量已經(jīng)使很偉大的了！,（二）金字塔測高

11、,公元前585年，泰勒斯正確地預言了當時的日蝕。他還利用影子和相似三角形來計算大金字塔地高度，并使埃及人為之震驚！,圖中的四棱錐為金字塔，左邊的小三角形表示一個裝置，即在平地上樹起一根3米的桿子，在某一時刻，它在太陽光底下的影子比方說是4.8米。泰勒斯在同一時刻測得金字塔在太陽光底下的影子是235米。因為這數(shù)字是在同一時刻測出的，故由于那兩個粗線三角形相似，從而泰勒斯測得的塔高應(yīng)從下式來計算： 金字塔高=235×3

12、/8=146.875（米） 要注意的是，此處比例值（桿高/桿影長）是解決問題的關(guān)鍵。其實這個數(shù)在一天里的不同時刻有著不同的值，因為這個數(shù)來自太陽在地平線上升起的角度。泰勒斯特地根據(jù)不同的太陽高度編了一張表如下：,有個這張表，我們可以把泰勒斯的方法總結(jié)如下： 1．先測出待求物體某一時刻在太陽光下的影子長度s。 2．測定太陽在地平線上的角度H（通常我們稱之為仰角），在上面的這張表中找出與仰角相應(yīng)的數(shù)R。

13、 3．數(shù)s×R便是所求物體的高度。我們可以看到泰勒斯利用兩個三角形相似，它們的對應(yīng)角度數(shù)相等，對應(yīng)邊的長度成比例。 而上面的那張表正好就是我們熟悉的正切三角函數(shù)表。也許這張表正是歷史上第一張三角函數(shù)表！,（三）隧道測向,著名希臘歷史學家希羅陶圖斯（Herodotus,生活在泰勒斯前約100年）在他的著作中曾經(jīng)描寫過希臘薩摩（Samos）島的三項工程，其中有一個是有關(guān)打通卡斯特洛（Castro）山向薩摩島

14、首府引水的隧道工程。2500年以后，考古學家們于1882年真的發(fā)現(xiàn)勒希羅陶圖斯描寫過的那條隧道：這條隧道長1千米，高與寬約2米。使人們感到驚奇的是那條隧道建造之精良 。,使考古學家感興趣的是：當時人們是怎樣為開掘隧道測定方向的，因為那時《幾何原本》還沒有誕生。換句話說，2500年以前，人們已經(jīng)表現(xiàn)出掌握相似三角形的聰明睿智！,圖中隧道的入口是A與B，位于卡斯特洛山的兩側(cè)，先在圖中那樣作出點E，F(xiàn)，G，H。其中已知距離分別是BE＝750米

15、，EF＝1000米，F(xiàn)G＝2000米，GH＝800米，HA＝250米（這些數(shù)字都是暫設(shè)的）?，F(xiàn)在三角形ABC位于山下，無法直接測得，但由減法已可知AC＝200米，BC＝1000米，因此三角形的兩個直角邊的比（常稱勾股比）為1比5。要想知道隧道方向，在隧道出口處A與B點如圖作兩個適當?shù)娜切危慈切蜝OP（BO＝50米，OP＝10米）和三角形AQR（例如，取AQ＝50米，QR＝10米）?，F(xiàn)在一切都清楚了：由于上面兩個小三角形和三角形AB

16、C都是相似直角三角形，因此RA或PB的方向便是我們所要的隧道方向。,四、幾何學在科學技術(shù)方面的應(yīng)用,問題1 板金零件的展開圖問題2 飛機機翼的整流面問題3 三角活塞旋轉(zhuǎn)式發(fā)動機的缸體型線問題4 圓鋼矯直機的輥子曲面,問題1 板金零件的展開圖,,圖a是我們通常見到的二通管道變形接頭或爐筒拐脖的示意圖。要制造這類零件，先按照零件展開圖的度量尺寸（展平曲線）在薄板（鐵皮或鋁板等）上下料，然后彎曲成型，并將各部分焊接在一

17、起。 為了獲得零件展開圖的展平曲線，必須求出截交線的方程。設(shè)圓柱管道的方程為 ,截平面的方程為,為求截平面與管道的截交線方程，將管道的方程改寫成參數(shù)形式:,,將其代入截平面方程中，得:,圓柱的底圓展平時有,,即,這里s是弧長，,將 代入上式 ：,上式即是截交線（截平面與圓柱管道的交線）的展平曲線方程。 如果截平面是正垂面（平行y軸） ，則截交線的展平曲線方程為：,,,

18、,即：,,這是一條調(diào)整過振幅的余弦曲線（見圖b）。,圖b,問題2 飛機機翼的整流面,某型號飛機的機翼為直紋面，機翼表面上的信號燈（或稱航向燈）突出部分的曲面稱為整流面，是由兩組不同方向的直母線相交織構(gòu)成的曲面。整流面上四個不重合的點 ，可以確定整流面上的一小片曲面的方程。,,設(shè)四個點 對應(yīng)的向徑分別表示為 ，這塊整流

19、面片 的邊界線均為直線，四條直線的方程可以表示為:,,,,由直線 和直線 確定的直紋曲面可以表示為:,,,,由直線 和直線 確定的直紋曲面可以表示為,,,,,顯然兩直紋曲面 和 在4個角點 處的函數(shù)值相等。因此這塊整流曲面的方程可以表示為:,,,,,,問題3 三角活塞旋轉(zhuǎn)式 發(fā)動機的缸體型線,旋轉(zhuǎn)式

20、發(fā)動機是對內(nèi)燃機結(jié)構(gòu)的重大改革，它的活塞直接作旋轉(zhuǎn)運動。這就可以提高轉(zhuǎn)速，增大功率，并使結(jié)構(gòu)緊湊。如圖a所示，中間的三角形的部分是旋轉(zhuǎn)活塞，它始終與外面的缸體型線緊密接觸。缸體型線是雙弧外擺線的等距曲線。 缸體的理論型線——雙弧外擺線,當 時，圓 的周長 是圓 的周長 的一半，所以圓 滾動兩周后回到原處，這時 點的軌跡是一條封閉的曲線，而且

21、它由兩條對稱的弧組成，因此稱它為雙弧外擺線（見圖b）。,,,,,,,,把 代入，就可以得到雙弧外擺線的方程:,式中,,圖a,圖b,根據(jù)技術(shù)要求，實際型線是雙弧外擺線的等距曲線。用 表示雙弧外擺線。實際型線是 的外等距曲線 （見圖c）。,,,得出 的方程:,,,,其中:,,,圖c,問題4 圓鋼矯直機的輥子曲面,由于各種原因，圓鋼從熱軋機中出來后，并不是筆直的，需要把它矯直，有一種專門的機器