幾何學(xué)簡(jiǎn)史

1、一個(gè)人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性，他就會(huì)陷入混亂之中，……人類的一切探討活動(dòng)如果缺少數(shù)學(xué)上的說(shuō)明和論證，那就不能稱之為科學(xué),宇宙這本書是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的。,第八講 新數(shù)學(xué)的誕生,一、代數(shù)學(xué)的新生,二、幾何學(xué)的變革,三、微積分的創(chuàng)立,一、代數(shù)學(xué)的新生,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,一、代數(shù)學(xué)的新生,al-Kitab al-mukhta sar fi hisab al-jabr wa’l

2、-muqabala 《還原與對(duì)消計(jì)算概要》 （約 820）,Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 783-850,al-jabr,algebra,,探討了算術(shù)問(wèn)題的一般性解法,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,一、代數(shù)學(xué)的新生,F. Vieta, 1540-1603,韋達(dá)把符號(hào)性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，同時(shí)規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于事物的類或形式，算術(shù)運(yùn)算僅施行于具體的數(shù)。這就使代數(shù)成為研究一般類型的

3、形式和方程的學(xué)問(wèn)，因其抽象而應(yīng)用更為廣泛。,缺點(diǎn)：齊性原則,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,一、代數(shù)學(xué)的新生,基本問(wèn)題：如何求解三次和四次代數(shù)方程的根,(1515, S. Ferro),x3 + px = q (p, q > 0),Tartaglia,1499-1557Niccolo Fontana,x3 + px2 = q (p, q > 0),A. M. Fior,1535,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,一、代數(shù)學(xué)的新生,G.

4、Cardano, 1501-1576,Ars Magna 《大法》1545年,包含三次方程和四次方程的代數(shù)解法,根的個(gè)數(shù),一、代數(shù)學(xué)的新生,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學(xué)的新生,18世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開(kāi)始醞釀新的變革。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們面臨一系列數(shù)學(xué)發(fā)展里程中自身提出的、長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題，其中最突出的是： 高于四次的代數(shù)方程的根式求解問(wèn)題； 歐幾里

5、得幾何中平行公理的證明問(wèn)題； 微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題。,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學(xué)的新生,中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問(wèn)，他們系統(tǒng)地解決了二次方程的求根問(wèn)題；文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)家們繼承了這一傳統(tǒng)，但又有所突破。他們成功地解決了三次和四次代數(shù)方程的求根問(wèn)題，并將符號(hào)與數(shù)字的運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái)，創(chuàng)立了類的算術(shù)。,基本問(wèn)題：五次或更高次的代數(shù)方程的根式解。,即在n > 5時(shí)，對(duì)于形如xn + a1xn–

6、1 + …+ a n–1x + an = 0的代數(shù)方程，它的解能否通過(guò)只對(duì)方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算的公式得到。,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學(xué)的新生,J. L. Lagrange1736-1813,1770年：《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》,不可能用根式解四次以上的方程,2、代數(shù)方程的可解性,一、代數(shù)學(xué)的新生,N. H. Abel, 1802-1829,1824年:《論代數(shù)方程， 證明一般五次方程的

7、 不可解性》,方程次數(shù)大于等于五時(shí)，任何以其系數(shù)符號(hào)組成的根式都不可能表示方程的一般解。,阿貝爾方程,一、代數(shù)學(xué)的新生,1、近代代數(shù)學(xué)的進(jìn)展,2、代數(shù)方程的可解性,3、群的發(fā)現(xiàn),3、群的發(fā)現(xiàn),一、代數(shù)學(xué)的新生,基本問(wèn)題：什么樣的特殊方程能夠用根式來(lái)求解？,E. Galois, 1811-1832,置換群,伽羅瓦群,伽羅瓦證明了：當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定條件（即它是可解群）時(shí)，方程才是根式可解的。也就是說(shuō)，他找到了方程根式可解

8、的充分必要條件。,3、群的發(fā)現(xiàn),一、代數(shù)學(xué)的新生,伽羅瓦關(guān)于群的發(fā)現(xiàn)工作，可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因?yàn)樗鉀Q了方程根式可解性這樣一個(gè)難題，更重要的是群的概念的引進(jìn)導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對(duì)象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,群可以理解為一類對(duì)象的集合，這些對(duì)象之間存在著類似于加法或乘法那樣的二元運(yùn)算關(guān)系，這種運(yùn)算使得該集合滿足封閉性、結(jié)合性，并在其中存在著單位元和逆元素。,群概念的劃時(shí)代意義在于：代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生，它

9、不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象“對(duì)象”的運(yùn)算關(guān)系，一方面，數(shù)的概念有了極大推廣，另一方面，許多抽象的對(duì)象，在更高層次上與數(shù)的概念獲得了統(tǒng)一。,二、幾何學(xué)的變革,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,二、幾何學(xué)的變革,基本問(wèn)題：其一是，一個(gè)物體的同一投影的兩個(gè)截影有什么共同的性質(zhì)？其二是，若兩物體在各自相異的光源下具有相同物影，那么這兩個(gè)物體之間具有什么關(guān)系？,G. Desargues, 1591-1661,1639年：《試論錐面截一平

10、面 所得結(jié)果的初稿》,對(duì)平行線引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念，繼而獲得無(wú)窮遠(yuǎn)線的概念 ；,認(rèn)識(shí)到了對(duì)合、調(diào)和點(diǎn)組關(guān)系在投影變換下具有不變性；,通過(guò)投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線。,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,二、幾何學(xué)的變革,德沙格等人把他們使用的投影分析方法和所獲得的結(jié)果，仍舊視為歐幾里得幾何的一部分。因而在17世紀(jì)人們對(duì)這二種幾何學(xué)并不加任何區(qū)分。 但現(xiàn)在的我們，通過(guò)歷史的眼光回溯，便會(huì)很容易地

11、發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)由于這一方法而誘發(fā)了一些新的思想和觀點(diǎn)。那就是:一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從一個(gè)形狀連續(xù)變化到另一形狀；變換與變換不變性；僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系, 不涉及度量問(wèn)題。,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,二、幾何學(xué)的變革,解析幾何,的基本思想是在平面上引進(jìn)所謂坐標(biāo)的概念，并借助這種坐標(biāo)在平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。以此方式可以將一個(gè)代數(shù)方程與一條平面曲線對(duì)應(yīng)起來(lái)，于是幾何問(wèn)題便可歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，并反過(guò)來(lái)通過(guò)代數(shù)問(wèn)題的研究

12、發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果。,R. Descartes, 1596-1650,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,二、幾何學(xué)的變革,1637年:《方法論》,《幾何學(xué)》,在實(shí)際上建立起了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系。,在笛卡爾那里，幾何與代數(shù)達(dá)到了完美的統(tǒng)一。,R. Descartes, 1596-1650,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,二、幾何學(xué)的變革,二、幾何學(xué)的變革,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,2、非歐幾何學(xué)的誕生,3、射影幾何學(xué)的繁榮,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,2、非歐幾何的誕

13、生,二、幾何學(xué)的變革,直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身的內(nèi)容。解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)沖淡了人們對(duì)綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范始終保持著神圣的地位。,歐幾里得平行公設(shè) ？？？？？,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,1733年，薩凱里：《歐幾里得無(wú)懈可擊》,薩凱里四邊形,銳角？直角？鈍角？,銳角？三角形內(nèi)角之和小于兩直角；

14、過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)窮多條直線不與該給定直線相交；等等,無(wú)邏輯矛盾，但不合乎情理。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,1763年, 克呂格爾在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾, 只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論. 開(kāi)始懷疑平行公設(shè)能否由其他公理加以證明.,1766年，蘭伯特:《平行線理論》,蘭伯特四邊形,銳角？直角？鈍角？,蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了

15、一種可能的幾何。因此，蘭伯特最先指出了通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)的道路。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,C. F. Gauss, 1777-1855,高斯從1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能從其他的歐幾里得公理推出來(lái)，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個(gè)名稱正是來(lái)自高斯。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,J.

16、Bolyai1802-1860,1832年2月14日， 《絕對(duì)空間的科學(xué)》 其中論述的所謂“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何。,F. Bolyai1775-1856,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》的演講，報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn);1829年發(fā)表了題為《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)，但由于是用俄文刊登在《喀

17、山通訊》上而未引起數(shù)學(xué)界的注意。,Н. И. Лобачевский1792-1856,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言： 通過(guò)直線外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線與已知直線不相交。作為替代公設(shè)，由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理。羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個(gè)邏輯上可能的

18、、無(wú)矛盾的理論，這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué)-——非歐幾里得幾何學(xué)。歐幾里得幾何學(xué)在這里僅成了羅巴切夫斯基幾何的一個(gè)特例。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,1854年，黎曼發(fā)表論文《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》,B. Riemann, 1826-1866,發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，并建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。羅巴切夫斯基幾何以及歐幾里得幾何都只不過(guò)是這種幾何的特例。 黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為

19、基礎(chǔ)的。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,在黎曼幾何中，最重要的一種對(duì)象就是所謂的常曲率空間，對(duì)于三維空間，有以下三種情形：曲率為正常數(shù)；曲率為負(fù)常數(shù)；曲率恒等于零。黎曼指出后兩種情形分別對(duì)應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐幾里得幾何學(xué)，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對(duì)應(yīng)于另一種非歐幾何學(xué)。在這種幾何中，過(guò)已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直線。這實(shí)際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開(kāi)的非歐幾何學(xué)。,

20、2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認(rèn)為鈍角假設(shè)與直線可以無(wú)限延長(zhǎng)的假定矛盾，因而取消了這個(gè)假設(shè)。但黎曼區(qū)分了“無(wú)限”與“無(wú)界”這兩個(gè)概念，認(rèn)為直線可以無(wú)限延長(zhǎng)并不意味著就其長(zhǎng)短而言是無(wú)限的，只不過(guò)是說(shuō)，它是無(wú)端的或無(wú)界的。,在對(duì)無(wú)限與無(wú)界概念作了區(qū)分以后，人們?cè)阝g角假設(shè)下也可像在銳角假設(shè)下一樣，無(wú)矛盾地展開(kāi)一種幾何。這第二種非歐幾何，也叫（正常曲率曲面上的）黎曼幾何。作為區(qū)別，數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)上就把羅

21、巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何。普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個(gè)大圓可以看成是一條“直線”，容易看出，任意球面“直線”都不可能永不相交。,黎曼可以說(shuō)是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,貝爾特拉米的模型： “偽球面”它由平面曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)一周而得。 羅巴切夫

22、斯基平面片上的所有幾何關(guān)系與適當(dāng)?shù)摹皞吻蛎妗逼系膸缀侮P(guān)系相符合。這使羅巴切夫斯基幾何立刻就有了現(xiàn)實(shí)意義。缺點(diǎn)：具有片段性。還沒(méi)有解決全部羅巴切夫斯基幾何的無(wú)矛盾性問(wèn)題。,2、非歐幾何的誕生,二、幾何學(xué)的變革,克萊因的幾何模型：在普通歐幾里得平面上取一個(gè)圓，并且只考慮整個(gè)圓的內(nèi)部。他約定把圓的內(nèi)部叫“平面”，圓的弦叫“直線”（端點(diǎn)除外）。這種圓內(nèi)部的普通幾何事實(shí)就變成羅巴切夫斯基幾何的定理，而且反過(guò)來(lái)，羅巴切夫斯基幾何中的每個(gè)定理都

23、可以解釋成圓內(nèi)部的普通幾何事實(shí)。,龐加萊也對(duì)羅巴切夫斯基幾何給出了一個(gè)歐幾里得模型。這就使非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實(shí)性。因?yàn)槲覀兛梢栽O(shè)想，如果羅巴切夫斯基幾何中存在任何矛盾的話，那么這種矛盾也必然會(huì)在歐幾里得幾何中表現(xiàn)出來(lái)，也就是說(shuō)，只要?dú)W幾里得幾何沒(méi)有矛盾，那么羅巴切夫斯基幾何也不會(huì)有矛盾。至此，非歐幾何作為一種幾何的合法地位才充分建立起來(lái)。,二、幾何學(xué)的變革,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,2、非歐幾何學(xué)的誕生,3、射影幾何學(xué)

24、的繁榮,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐氏幾何變成了某種特例。實(shí)際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學(xué)，那么，19世紀(jì)的幾何學(xué)就可以理解為一場(chǎng)廣義的“非歐化”運(yùn)動(dòng)：從三維到高維，從平直到彎曲，而射影幾何的發(fā)展又從另一個(gè)方向使“神圣”的歐幾里得幾何再度“降格”為其他幾何的特例。,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,J-V. Ponce

25、let1788-1867,1822年，龐斯列：《論圖形的射影性質(zhì)》,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,基本問(wèn)題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)。,連續(xù)性原理。它涉及通過(guò)投影或其他方法把某一圖形變換成另一圖形的過(guò)程中的幾何不變性。龐斯列將它發(fā)展到包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形。,對(duì)偶原理。射影幾何的研究者們?cè)?jīng)注意到，平面圖形的“點(diǎn)”和“線”之間存在著異乎尋常的對(duì)稱性。如果在它所涉及的定理中，將“點(diǎn)”換成“線”，同時(shí)將“線”換成“點(diǎn)”，那么

26、就可以得到一個(gè)新的定理。,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,1847年，施陶特出版《位置幾何學(xué)》，提出方案，通過(guò)給每個(gè)點(diǎn)適當(dāng)配定一個(gè)識(shí)別標(biāo)記（也稱坐標(biāo)）來(lái)避免射影幾何學(xué)對(duì)于長(zhǎng)度概念的依賴，使之?dāng)[脫了度量關(guān)系，成為與長(zhǎng)度等度量概念無(wú)關(guān)的全新學(xué)科。,K.G.C. von Staudt, 1798-1867,3、射影幾何的繁榮,二、幾何學(xué)的變革,施陶特還指出：射影幾何的概念在邏輯上要先于歐幾里得幾何概

27、念，因而射影幾何比歐幾里得幾何更基本。 施陶特的工作鼓舞了英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（A. Cayley, 1821-1895）和普呂克的學(xué)生克萊因（F. Klein, 1849-1925）進(jìn)一步在射影幾何概念基礎(chǔ)上建立歐幾里得幾何乃至非歐幾何的度量性質(zhì)，明確了歐幾里得幾何與非歐幾何都是射影幾何的特例，從而為以射影幾何為基礎(chǔ)來(lái)統(tǒng)一各種幾何學(xué)輔平了道路。,二、幾何學(xué)的變革,1、近代幾何學(xué)的進(jìn)展,2、非歐幾何學(xué)的誕生,3、射影幾何學(xué)的繁

28、榮,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,二、幾何學(xué)的變革,非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來(lái)一直懸而未決的平行公設(shè)問(wèn)題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。,首先，非歐幾何對(duì)于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在此之前，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對(duì)空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無(wú)一例外的都對(duì)這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。,其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長(zhǎng)期以來(lái)只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾何學(xué)的局面。19世紀(jì)中葉以后，通過(guò)否定歐幾里

29、得幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,二、幾何學(xué)的變革,F. Klein, 1849-1925,1872年: 《愛(ài)爾朗根綱領(lǐng)》,幾何學(xué)是研究幾何圖形對(duì)于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問(wèn)，任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量。這樣一來(lái)，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對(duì)應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,二、幾何學(xué)的變革,

30、并非所有的幾何都能納入克萊因的方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分的幾何提供一個(gè)系統(tǒng)的分類方法，對(duì)幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,二、幾何學(xué)的變革,D. Hilbert, 1862-1943,公理化方法,1899年:《幾何基礎(chǔ)》,是從公理出發(fā)來(lái)建造各種幾何。 希爾伯特在這方面的劃時(shí)代貢獻(xiàn)在于，他比任何前人都更加透徹地弄清了公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。,4、幾何學(xué)的統(tǒng)一,二、幾

31、何學(xué)的變革,《幾何基礎(chǔ)》中提出的公理系統(tǒng)包括了20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組：關(guān)聯(lián)公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理。在這樣自然地劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性:從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾,亦稱無(wú)矛盾性;獨(dú)立性:系統(tǒng)的每條公理都不能是其余公理的邏輯推論;完備性:系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出。在這樣組織起來(lái)的公理系統(tǒng)中，通過(guò)否定或者替換其中的一條或