《數(shù)學(xué)史》幾何學(xué)的變革(上)

1、,幾何學(xué)的變革,第九章,,,,什么叫幾何？,幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。,,,幾何學(xué)發(fā)展,幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長(zhǎng)，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類(lèi)思想。目前的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點(diǎn)及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。,9.1 歐幾里得平行公設(shè),直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一

2、統(tǒng)天下．解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容． 解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)沖淡了人們對(duì)綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范始終保持著神圣的地位．,,然而，這個(gè)近乎科學(xué)“圣經(jīng)”的歐幾里得幾何并非無(wú)懈可擊．事實(shí)上，公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們雖然一直堅(jiān)信歐氏幾何的完美與正確，但有一件事卻始終讓他們耿耿于懷，這就是歐幾里得第五公設(shè)，也稱(chēng)平行公設(shè)． 在

3、歐氏幾何的所有公設(shè)中，唯獨(dú)這條公設(shè)顯得比較特殊．它的敘述不像其他公設(shè)那樣簡(jiǎn)潔、明了，當(dāng)時(shí)就有人懷疑它不像是一個(gè)公設(shè)而更像是一個(gè)定理，并產(chǎn)生了從其他公設(shè)和定理推出這條公設(shè)的想法．,下面回顧一下“歐氏幾何公理、公設(shè)”:,歐氏幾何公理：,,（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。,歐氏幾何公設(shè)：,（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線(xiàn)；（2）

4、一條有限直線(xiàn)可不斷延長(zhǎng)；（3）以任意中心和半徑可以畫(huà)圓；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直線(xiàn)落在兩直線(xiàn)上所構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線(xiàn)無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。,,,第五公設(shè),第五公設(shè)：若一直線(xiàn)落在兩直線(xiàn)上，所構(gòu)成的同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線(xiàn)無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁?xún)?nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。,因此，從古希臘時(shí)代開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就一直沒(méi)有放棄消除對(duì)第五公設(shè)疑問(wèn)的努力．他們或者尋求以一個(gè)比較

5、容易接受、更加自然的等價(jià)公設(shè)來(lái)代替它，或者試圖把它當(dāng)作一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出來(lái)．在眾多的替代公設(shè)中，今天最常用的是：,“過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)能且只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行”．,—般將這個(gè)替代公設(shè)歸功于蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家普萊菲爾(J.Playfair，1748—1819)，所以有時(shí)也叫普萊菲爾公設(shè)．,歷史上第一個(gè)嘗試證明第五公設(shè)的是古希臘天文學(xué)家托勒玫(Ptolemy，約公元150)作出的，后來(lái)普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”

6、無(wú)意中假定了過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)平行于該直線(xiàn)，這就是上面提到的普萊菲爾公設(shè)．,文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)希臘學(xué)術(shù)興趣的恢復(fù)使歐洲數(shù)學(xué)家重新關(guān)注起第五公設(shè)．在17世紀(jì)研究過(guò)第五公設(shè)的數(shù)學(xué)家有沃利斯等．但每一種“證明”要么隱含了另一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的假定，要么存在著其他形式的推理錯(cuò)誤．而且，這類(lèi)工作中的大多數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)思想的進(jìn)展沒(méi)有多大現(xiàn)實(shí)意義． 因此，在18世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾曾把平行公設(shè)的證明問(wèn)題稱(chēng)為“幾何原理中的家丑”．但就在這一時(shí)期

7、前后，對(duì)第五公設(shè)的研究開(kāi)始出現(xiàn)有意義的進(jìn)展．在這方面的代表人物是意大利數(shù)學(xué)家薩凱里、德國(guó)數(shù)學(xué)家克呂格爾和瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特．,薩凱里（意大利）最先使用歸謬法來(lái)證明平行公設(shè)．他在一本名叫《歐幾里得無(wú)懈可擊》(1733)的書(shū)中，從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)來(lái)證明平行公設(shè)．,薩凱里四邊形是一個(gè)等腰雙直角四邊形，其中 ∠ =∠ ，且為直角 。薩凱里需要證明∠C=∠D且為直角。,,薩凱里指出：不用平行公設(shè)

8、容易證明∠C=∠D，并且頂角具有三種可能性并分別將它們命名為,1．直角假設(shè)：∠C和∠D是直角； 2．鈍角假設(shè)：∠C和∠D是鈍角； 3．銳角假設(shè)：∠C和∠D是銳角．,可以證明，直角假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)．薩凱里的計(jì)劃是證明后兩個(gè)假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個(gè)假設(shè)成立，這樣就證明了第五公設(shè)．,薩凱里在假定直線(xiàn)為無(wú)限長(zhǎng)的情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過(guò)程中他獲得了一系列新奇有趣的

9、結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角；過(guò)給定直線(xiàn)外一給定點(diǎn)，有無(wú)窮多條直線(xiàn)不與該給定直線(xiàn)相交，等等． 雖然這些結(jié)果實(shí)際上并不包含任何矛盾，但薩凱里認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的．,薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考．1763年，克呂格爾（德國(guó)）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論． 克呂格爾是第一位對(duì)平行公設(shè)能否由其

10、他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家．他的見(jiàn)解啟迪蘭伯特（瑞士）對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了更加深入的探討．,1766年，蘭伯特寫(xiě)出了《平行線(xiàn)理論》一書(shū)，在這本書(shū)中，他也像薩凱里那樣考慮了一個(gè)四邊形，不過(guò)他是從一個(gè)三直角四邊形出發(fā)，按照第四個(gè)角是直角、鈍角還是銳角作出了三個(gè)假設(shè)．由于鈍角假設(shè)導(dǎo)致矛盾，所以他很快就放棄了它． 與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話(huà)，就提供了一種可能

11、的幾何．因此，蘭伯特最先指出了通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)的道路．,,薩凱里、克呂格爾和蘭伯特等，都可以看成是非歐幾何的先行者． 然而，當(dāng)他們走到了非歐幾何的門(mén)檻前，卻由于各自不同的原因或則卻步后退(如薩凱里在證明了一系列非歐幾何的定理后卻宣布“歐幾里得無(wú)懈可擊”)，或則徘徊不前(蘭伯特（瑞士）在生前對(duì)是否發(fā)表自己的結(jié)論一直躊躇不定，《平行線(xiàn)理論》一書(shū)是他死后由朋友發(fā)表的)．,突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳

12、統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時(shí)機(jī)在19世紀(jì)初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位． 對(duì)非歐幾何來(lái)說(shuō)，他們是高斯、波約(J.Bolyai，1802—1860)和羅巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)．,下見(jiàn)：希爾伯特的評(píng)價(jià)。,,,希爾伯特說(shuō)：“19世紀(jì)最富有啟發(fā)性和最值得注意的成就是 非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)?！?9.2 非歐幾何的誕生,前面講過(guò)，在非歐幾

13、何正式建立之前，它的技術(shù)性?xún)?nèi)容已經(jīng)被大量地推導(dǎo)出來(lái)．但最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學(xué)的是高斯．,高斯,高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年—1855年），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。 　　高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性

14、貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。,非歐幾何的誕生,“非歐幾何”的名稱(chēng)來(lái)源于高斯。他從1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能由其他公理推出，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。,非歐幾何的誕生,為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測(cè)量了由三座山峰構(gòu)成的三角形，此三角形的三邊分別為：69，85與109公里。他發(fā)現(xiàn)其內(nèi)角和比1800大了近15〞。,從高斯的遺稿中

15、可以了解到，他從1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能從其他的歐幾里得公理推出來(lái)，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何． 他起先稱(chēng)之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱(chēng)為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個(gè)名稱(chēng)正是來(lái)自高斯．,但他除了在給朋友的一些信件中對(duì)其非歐幾何的思想有所透露外，高斯生前并沒(méi)有發(fā)表過(guò)任何關(guān)于非歐幾何的論著．這主要是因?yàn)樗械阶约旱陌l(fā)現(xiàn)與當(dāng)時(shí)流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊．

16、 他曾在給貝塞爾(P.W.Bessel)的一封信中說(shuō)：如果他公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，“黃蜂就會(huì)圍著耳朵飛”，并會(huì)“引起波哀提亞人(特指有世俗偏見(jiàn)的愚人)的叫囂”．,當(dāng)聲譽(yù)甚隆的高斯決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣時(shí)，一位尚名不見(jiàn)經(jīng)傳的匈牙利青年波約卻急切地希望通過(guò)高斯的評(píng)價(jià)而將自己關(guān)于非歐幾何的研究公諸于世，波約的父親F.波約是高斯的朋友，也是一位數(shù)學(xué)家．,1832年2月14日，F(xiàn).波約將他兒子的一篇題為《絕對(duì)空間的科學(xué)》的26頁(yè)文章寄給

17、高斯，這篇文章也作為F．波約剛剛完成的一本數(shù)學(xué)著作的附錄而發(fā)表，其中論述的所謂“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何．F．波約請(qǐng)高斯對(duì)他兒子的論文發(fā)表意見(jiàn)。,波約,匈牙利數(shù)學(xué)家----波約,“稱(chēng)贊他(即J.波約)就等于稱(chēng)贊我自己．整篇文章的內(nèi)容，您兒子所采取的思路和獲得的結(jié)果，與我在30至35年前的思考不謀而合．”,J.波約對(duì)高斯的答復(fù)深感失望，認(rèn)為高斯想剽竊自己的成果． 1840年俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基關(guān)于非歐幾何的德文著作出版后

18、，更使J.波約灰心喪氣，從此便不再發(fā)表數(shù)學(xué)論文，而他的父親倒很開(kāi)通，安慰他說(shuō)： “春天的紫羅蘭在各處盛開(kāi)．”,然而高斯回信說(shuō)：,在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅(jiān)定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。 他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡(jiǎn)要論述平行線(xiàn)定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》的演講，報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為《論幾何

19、原理》的論文，這是歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn) 。,,,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,,羅巴切夫斯基1792年生于俄國(guó)下諾伏哥羅德（今高爾基城），1807年進(jìn)入喀山大學(xué)，1811年畢業(yè)并獲碩士學(xué)位。 羅巴切夫斯基畢業(yè)后留校任職，歷任教授助理、非常任教授、常任教授、物理數(shù)學(xué)系主任，35歲被任命為校長(zhǎng)。1846年以后任喀山學(xué)區(qū)副督學(xué)，直至逝世。 如果沒(méi)有羅氏幾何學(xué)，羅巴切

20、夫斯基只能算一個(gè)優(yōu)秀的科學(xué)與教育管理者。,羅巴切夫斯基后來(lái)為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)而付出了畢生心血． 他生前發(fā)表了許多論著，其中1835--1838年間的系列論文《具有完備的平行線(xiàn)理論的新幾何學(xué)原理》較好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》則引起高斯的關(guān)注，這使他在1842年成為德國(guó)哥廷根科學(xué)協(xié)會(huì)會(huì)員．,羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言：

21、通過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線(xiàn)平行于已知直線(xiàn)，作為替代公設(shè)，由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理． 羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個(gè)邏輯上可能的、無(wú)矛盾的理論，這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué)——非歐幾里得幾何學(xué)．,設(shè)給定了直線(xiàn) 和直線(xiàn)外一點(diǎn) ，從 引 的垂直線(xiàn) ．按照羅巴切夫斯基的基本假設(shè)，至少存在兩

22、條直線(xiàn) ，通過(guò)點(diǎn) 且不與直線(xiàn) 相交(注意圖形在這里只起輔助理解的作用，羅氏論證的并不是我們普通平面上所作的圖．,,羅巴切夫斯基考慮所有過(guò) 不與 相交的直線(xiàn)的極限情形，指出這樣的極限直線(xiàn)有兩條( 與 )，并證明了它們也不與 相交．因此， 與 ，便構(gòu)成了所有不與 相交的直線(xiàn)的邊界，在這兩條邊界直線(xiàn)所成夾角 內(nèi)的所有直線(xiàn)都不與 相交

23、．,,羅巴切基稱(chēng) 與 為 的“平行線(xiàn)”，而落在角口內(nèi)的所有直線(xiàn)叫不相交直線(xiàn)．如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)就可以引無(wú)窮多條直線(xiàn)與給定的直線(xiàn)平行．,,,,若把平行角記作 ，則 時(shí)，就得到歐氏平行公設(shè)．若 ，則 單調(diào)增加且趨于 ；而 時(shí)， 單調(diào)減少且趨于0．換句話(huà)說(shuō)，如果在離

24、直線(xiàn) 很遠(yuǎn)處作與此直線(xiàn)垂線(xiàn)很小夾角的直線(xiàn)，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線(xiàn)前進(jìn)而永遠(yuǎn)不與直線(xiàn) 相遇!,,羅巴切夫斯基還將夾角 的一半稱(chēng)為“平行角”，因 小于兩直角，故平行角小于直角．羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離 的函數(shù)．,用歐氏幾何的眼光來(lái)看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結(jié)果，我們只能舉一些例子，如：,1．三角形三內(nèi)角之和小于兩直角，假如三角

25、形變大，使它所有三條高都無(wú)限增長(zhǎng)，則它的三個(gè)內(nèi)角全部趨向于零；,2．不存在面積任意大的三角形；,3．如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角相等，它們就全等；,4．圓周長(zhǎng) 不與半徑 成正比，而是更迅速地增長(zhǎng)，并符合下面的公式,其中 是依賴(lài)于長(zhǎng)度單位的常數(shù)．利用 的級(jí)數(shù)展開(kāi)又可以得到,,因此，常數(shù) 越大， 就越小，上述公式就越接近于普通歐氏幾何中的圓周長(zhǎng)公式 ．這只是一個(gè)例子，說(shuō)明羅巴切夫斯基

26、幾何在極限情形下就變成歐幾里得幾何．,,,羅巴切夫斯基還發(fā)展了非歐三角學(xué)，得出一系列三角公式，主要有,9.3 非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn),德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(B.Riemann，1826—1866)在1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何，即現(xiàn)在所稱(chēng)的黎曼幾何．羅巴切夫斯基幾何以及歐氏幾何都只不過(guò)是這種幾何的特例．,,黎曼非歐幾何,黎曼(1826-1866）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。1846年，進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)神學(xué)，后在數(shù)學(xué)家的影響

27、下，放棄神學(xué)改學(xué)數(shù)學(xué)，有幸成為高斯晚年的學(xué)生。獲博士后留校。,黎曼（1826-1866）,黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為基礎(chǔ)的．內(nèi)蘊(yùn)微分幾何也是19世紀(jì)幾何學(xué)的重大發(fā)展之一． 我們知道，在蒙日等人開(kāi)創(chuàng)的微分幾何中，曲面是在歐氏空間內(nèi)考察的，但高斯1828年發(fā)表的論文《關(guān)于曲面的一般研究》則提出了一種全新的觀念，即一張曲面本身就構(gòu)成一個(gè)空間． 它的許多性質(zhì)(如曲面上的距離、角度、總曲率是等)

28、并不依賴(lài)于背景空間，這種以研究曲面內(nèi)在性質(zhì)為主的微分幾何稱(chēng)為“內(nèi)蘊(yùn)微分幾何”．,黎曼非歐幾何,1854年發(fā)表就職演說(shuō)《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》（1868年發(fā)表），其中建立了黎曼空間概念，創(chuàng)立了黎曼幾何學(xué)的基礎(chǔ)。主要思想：（1）區(qū)分了無(wú)界域無(wú)限的概念；（2）對(duì)歐幾里得的公設(shè)1)、2)、5)作了如下修改： 1）兩個(gè)不同的點(diǎn)至少確定一條直線(xiàn)； 2）直線(xiàn)是無(wú)界的； 3）平面上任何兩條直線(xiàn)都相交。,在他1854年發(fā)表

29、的題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的演講中，黎曼將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何推廣為任意空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何．他把 維空間稱(chēng)作一個(gè)流形， 維流形中的一個(gè)點(diǎn)，可以用 個(gè)參數(shù) 的一組特定值 來(lái)表示，這些參數(shù)就叫作流形的坐標(biāo)．,黎曼幾何，為愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,,黎曼從定義兩個(gè)鄰近點(diǎn)的距離出發(fā)，假定這個(gè)微小距離的平方是一個(gè)二次微分齊式,,其中 是坐標(biāo)

30、 的函數(shù)， ，并且上式右邊總?cè)≌担@個(gè)表達(dá)式后來(lái)以“黎曼度量”著稱(chēng)．,在此基礎(chǔ)上，黎曼又定義了曲線(xiàn)的長(zhǎng)度，兩曲線(xiàn)在一點(diǎn)的交角等，所有這些度量性質(zhì)都是僅由 表達(dá)式中的系數(shù) 確定的．,黎曼還引進(jìn)了流形曲率的概念．在黎曼幾何中，最重要的一種對(duì)象就是所謂的常曲率空間(即在每一點(diǎn)上曲率都相等的流形)，對(duì)于三維空間，有以下三種情形：,1．曲率為正常數(shù)；

31、2．曲率為負(fù)常數(shù)； 3．曲率恒等于零．,黎曼指出后兩種情形分別對(duì)應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐氏幾何學(xué)，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對(duì)應(yīng)于另一種非歐幾何學(xué)．在這種幾何中，過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)，不能作任何平行于該給定直線(xiàn)的直線(xiàn)．這實(shí)際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開(kāi)的非歐幾何學(xué)．,在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認(rèn)為鈍角假設(shè)與直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)的假定矛盾，因而取消了這個(gè)假設(shè)．

32、但黎曼區(qū)分了“無(wú)限”與“無(wú)界”這兩個(gè)概念，認(rèn)為直線(xiàn)可以無(wú)限延長(zhǎng)并不意味著就其長(zhǎng)短而言是無(wú)限的，只不過(guò)是說(shuō)，它是無(wú)端的或無(wú)界的．可以證明，在對(duì)無(wú)限與無(wú)界概念作了區(qū)分以后，人們?cè)阝g角假設(shè)下也可像在銳角假設(shè)下一樣，無(wú)矛盾地展開(kāi)一種幾何．這第二種非歐幾何，也叫(正常曲率曲面上的)黎曼幾何。,,作為區(qū)別，數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)上就把羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何．普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個(gè)大圓可以看成是一條“直線(xiàn)”．容易看出

33、，任意球面“直線(xiàn)”都不可能永不相交 。,黎曼可以說(shuō)是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家．他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何(羅巴切夫斯基幾何)的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。,,黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一．他1826年出生在德國(guó)一個(gè)牧師家庭，由于家庭環(huán)境的影響，黎曼最初進(jìn)人哥廷根大學(xué)時(shí)學(xué)的是神學(xué)和哲學(xué)，但不久他就喜歡上了數(shù)學(xué)。 在征得父親同意后，黎曼將數(shù)學(xué)選定為自己的專(zhuān)業(yè)．然而經(jīng)過(guò)一年后

34、，他發(fā)現(xiàn)哥廷根大學(xué)開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程過(guò)于陳舊，甚至連高斯也在講初等的課程，,黎曼（德國(guó)）,黎曼,,于是他決定去柏林隨雅可比、狄利克雷(Dirichlet)等數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)．1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指導(dǎo)下做博士論文，題目為《單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)》．,黎曼（德國(guó)）,結(jié)果，這篇論文得到了高斯的贊賞，他以少有的激情給作者寫(xiě)了如下評(píng)語(yǔ)：,“黎曼先生提交的博士論文提供了可信的證據(jù)，表明作者對(duì)他的論文所涉及的主題進(jìn)行了全面、深入的研究，顯示了一個(gè)具

35、有創(chuàng)造力的、活躍的、真正數(shù)學(xué)的頭腦以及了不起的富有成果的獨(dú)創(chuàng)性．”,不幸的是，黎曼正值他的創(chuàng)造高峰時(shí)因感染上肺結(jié)核而去世，死時(shí)還不到40歲．黎曼在他短暫的一生中，對(duì)于幾何、分析和物理學(xué)的眾多領(lǐng)域都作了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)． 有數(shù)學(xué)家評(píng)論說(shuō)：“黎曼是一個(gè)富有想象的天才，他的想法即使沒(méi)有證明，也鼓舞了整整一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家．”,黎曼,1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。

36、他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來(lái)繼承父志也當(dāng)一名牧師。 由于從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)也聽(tīng)些數(shù)學(xué)課。當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一，黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氣氛所感染，決定放棄神學(xué)，專(zhuān)攻數(shù)學(xué)。 　　 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚

37、年的學(xué)生。,1851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。 　　因長(zhǎng)年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚后不到一個(gè)月就開(kāi)始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時(shí)間在意大利治病療養(yǎng)。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。 　　黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學(xué)

38、建立了豐功偉績(jī)。,黎曼,19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米(E.Beltrami)、德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(F.Klein)和法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊(H.Poincare)等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義．至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解．,,非歐幾何的模型,1）貝爾特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克萊因（F.Keller，1849-1925）模型；3）龐加