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1、,第十三章 動(dòng)量矩定理,理論力學(xué),,,,若當(dāng)質(zhì)心為固定軸上一點(diǎn)時(shí),vC=0,則其動(dòng)量恒等于零,質(zhì)心無(wú)運(yùn)動(dòng),可是質(zhì)點(diǎn)系確受外力的作用。動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)(固定軸)的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)(軸)之矩兩者之間的關(guān)系。,§13-1 動(dòng)量矩,一.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)—?外力(外力系主矢),動(dòng) 力 學(xué),,,,正負(fù)號(hào)規(guī)定與力對(duì)軸矩的規(guī)定相同對(duì)著軸看:逆時(shí)針為正
2、 順時(shí)針為負(fù),⒊ 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩與對(duì)軸z 的動(dòng)量矩之間的關(guān)系,⒋ 動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。,kg·m2/s。,⒌ 單位,動(dòng) 力 學(xué),,,,⒉ 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸z 動(dòng)量矩,二.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,⒈ 質(zhì)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩,剛體動(dòng)量矩計(jì)算,動(dòng) 力 學(xué),,,,平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩,等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。,⑶
3、平面運(yùn)動(dòng)剛體,[例1] 滑輪A:m1,R1,R1=2R2,I1 滑輪B:m2,R2,I2 ;物體C:m3 求系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。,動(dòng) 力 學(xué),解:,,,,§13-2 動(dòng)量矩定理,一.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,兩邊叉乘矢徑 , 有,左邊可寫成,故:,⒈ 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,動(dòng) 力 學(xué),,,,將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影,得,上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理
4、,也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。,⒊ 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒情況,質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,⒉ 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理,動(dòng) 力 學(xué),運(yùn)動(dòng)分析:,,,,由動(dòng)量矩定理,微幅擺動(dòng)時(shí), 并令 ,則,,擺動(dòng)周期,解:研究小球,將小球視為質(zhì)點(diǎn)。受力如圖示。,[例2] 單擺 已知m,
5、l,t =0時(shí)?= ?0,從靜止 開(kāi)始釋放。 求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,代入初始條件,則運(yùn)動(dòng)方程,微分方程的解為:,動(dòng) 力 學(xué),,,,注:計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí),符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致(本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?⒉ 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用 (可求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)兩類基本問(wèn)題)?、?已知作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng);?、?已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)求作用于質(zhì)點(diǎn)的力或力矩; ⑶ 已知質(zhì)點(diǎn)在某一狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)要素,求在另一狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)要素(速度、位
6、置坐標(biāo))。,動(dòng) 力 學(xué),,,,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和(外力系的主矩),二.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理,左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序,而,一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,對(duì)質(zhì)點(diǎn)系,有,對(duì)質(zhì)點(diǎn)MJ :,⒈ 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,⒉ 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理,將上式在通過(guò)固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影,得,動(dòng) 力 學(xué),,,,上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定
7、軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和(外力系對(duì)同一軸的主矩)。,⒊ 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理 ?、女?dāng) 時(shí), 常矢量?! 、飘?dāng) 時(shí), 常量。,定理說(shuō)明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩,只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。,動(dòng) 力 學(xué),,,,解: 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象, 受力分析如圖示?!?運(yùn)動(dòng)分析: v =r?,由動(dòng)量矩定理:,[例3] 已知:,動(dòng) 力 學(xué),,,,解:
8、 系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。,猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的,均為 。,[例4] 已知:猴子A重=猴子B重,猴B以相對(duì)繩速度上爬,猴A不動(dòng),問(wèn)當(dāng)猴B向上爬時(shí),猴A將如何動(dòng)?動(dòng)的速度多大?(輪重不計(jì)),動(dòng) 力 學(xué),⒉ 可解決動(dòng)力學(xué)兩類問(wèn)題,,,,,§13-3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理,有,——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,⒈ 方程的導(dǎo)
9、出,動(dòng) 力 學(xué),,,,動(dòng) 力 學(xué),運(yùn)動(dòng)分析:復(fù)擺繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng);,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程:,得:,微幅擺動(dòng)時(shí), 即有:,即有:,微分方程的解為:,l —復(fù)擺的簡(jiǎn)化長(zhǎng)度,K —復(fù)擺的擺心,O —復(fù)擺的懸點(diǎn)。懸點(diǎn)和擺心可以互換,而不改變復(fù)擺的周期。,,,,動(dòng) 力 學(xué),上式即為復(fù)擺作微幅擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。A為角振幅,a為初位相,可由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。,這就表明,如已知某物體的重量和重心的位置,再測(cè)出其
10、作微幅擺動(dòng)時(shí)的擺動(dòng)周期,則可計(jì)算出該物體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,,,,§13-4 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,一.定義,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量,它的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值,國(guó)際單位制中單位 kg·m2 。,若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布,則,動(dòng) 力 學(xué),二.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算,1.積分法(具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用),,,,[例1] 勻質(zhì)細(xì)直桿長(zhǎng)為l ,質(zhì)量為m
11、。 求:?對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ; ?對(duì)z' 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。,解:,動(dòng) 力 學(xué),2. 回轉(zhuǎn)半徑由 所定義的長(zhǎng)度 稱為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。,在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中,可以查閱到簡(jiǎn)單幾何形狀或已標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書(shū)中列出幾種常見(jiàn)均質(zhì)剛體的 ,以供參考。,剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。,同一個(gè)剛體
12、對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。,⑴ 定理,,,,動(dòng) 力 學(xué),3. 平行移軸定理,對(duì)于均質(zhì)剛體, 僅與幾何形狀有關(guān),與密度無(wú)關(guān)。對(duì)于幾何形狀相同而材料不同(密度不同)的均質(zhì)剛體,其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。,,,,動(dòng) 力 學(xué),⑵ 證明 設(shè)質(zhì)量為m的剛體,質(zhì)心為C,,剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。,,,,動(dòng) 力 學(xué),當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí),可先計(jì)算每一部分(物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來(lái)就是整個(gè)物
13、體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來(lái)處理。,4.計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法,例如,對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿對(duì) z' 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,,,,解:,[例2] 鐘擺: 均質(zhì)直桿m1, l ; 均質(zhì)圓盤:m2 , R 。 求 JO 。,動(dòng) 力 學(xué),[例3] 提升裝置中,輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪
14、A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,[例3] 提升裝置中,輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質(zhì)圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,,,,②取輪B連同物體C為研究對(duì)象;受力如圖;輪B速度為w2 ,角加速度為e2 ;物體C速度為v ,加速度為a ;由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理則有:,解: ①取輪A為研究對(duì)象;受力如圖;輪A角
15、加速度為 e1 ,由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程則有:,動(dòng) 力 學(xué),,,,動(dòng) 力 學(xué),③運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程:,化簡(jiǎn)(1) 得:,化簡(jiǎn)(2) 得:,,,,§13-5 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,一.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩,二.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,動(dòng) 力 學(xué),⒈ 定理,—質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O 的動(dòng)量矩等于系統(tǒng)的動(dòng)量 對(duì)于O 點(diǎn)的動(dòng)量矩與該系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心動(dòng)量
16、矩 的矢量和。,質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn),系的所有外力對(duì)質(zhì)心之矩的矢量和。,,,,動(dòng) 力 學(xué),⑵ 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和相對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,具有完全相似的數(shù)學(xué)形式,而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn),一般并不存在這種簡(jiǎn)單的關(guān)系。,⑴ 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變,只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力有關(guān),而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。,⒉ 討論,三.剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 ⒈方程的導(dǎo)出 設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具
17、有質(zhì)量對(duì)稱平面,力系 是簡(jiǎn)化到該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S,質(zhì)心一定位于S內(nèi)。,,,,取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn),則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為,? 隨質(zhì)心C的平動(dòng) (xC , yC) ? 繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng) (?) 可通過(guò)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理可確定出:,動(dòng) 力 學(xué),,,,應(yīng)用時(shí)采用投影形式,或,上式稱為 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程。,動(dòng)
18、力 學(xué),⒉ 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,,,,[例4] 質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為? 的斜面上,在重力作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f、f´,不計(jì)滾動(dòng)摩阻,試分析輪的運(yùn)動(dòng)。,解:①取輪為研究對(duì)象。 ②受力分析如圖示。 ③運(yùn)動(dòng)分析:取直角坐標(biāo)系 Oxy aC y =0,aC x =aC, 一般
19、情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。 ④ 根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解:,由⑵ 式得,⑴⑵⑶,⑴ — ⑶三式中含有四個(gè)未知數(shù)aC 、F、? ,N ,需根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)情況列寫一個(gè)補(bǔ)充方程。,動(dòng) 力 學(xué),,,,3.設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng),輪又滾又滑。F=f´N ⑷ 可解得,表明:當(dāng) 時(shí),解答3適用; 當(dāng) 時(shí),解答2適用;f =0 時(shí)解答1適用。,動(dòng) 力 學(xué),所以可解得,,,,一.基本
20、概念1.動(dòng)量矩:物體某瞬時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩:3.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩:4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。,對(duì)于均勻直桿,細(xì)圓環(huán),薄圓盤(圓柱)對(duì)過(guò)質(zhì)心垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。,動(dòng)量、動(dòng)量矩定理習(xí)題課,動(dòng) 力 學(xué),5.剛體動(dòng)量矩計(jì)算平動(dòng):定軸轉(zhuǎn)動(dòng):平面運(yùn)動(dòng):,,,,二.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒 1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理,2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒,? 若 ,則 常矢量。? 若
21、 ,則 常量。,動(dòng) 力 學(xué),三.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒 1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理,2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒,? 若 ,則 常矢量? 若 ,則 常量,,,,四.質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理,動(dòng) 力 學(xué),五.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程,2.剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程,或,,,,,,動(dòng) 力 學(xué),六.動(dòng)量矩定理的應(yīng)用 應(yīng)用動(dòng)量矩定理,一般可以處理下列一些問(wèn)題:(對(duì)
22、單軸傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便),1.已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。 2.已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù),求剛體的角加速度或角速度的改變。 3.已知質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力或外力矩對(duì)某軸之矩的代數(shù)和等于零,應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。,,,,七.應(yīng)用舉例[例1] 均質(zhì)圓柱,半徑為r,重量為Q,置圓柱于墻角。初始角速度?0,墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為 f ',滾阻
23、不計(jì),求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。,根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解:,解:① 選取圓柱為研究對(duì)象 (注意只是一個(gè)剛體); ② 受力分析如圖示; ③ 運(yùn)動(dòng)分析:質(zhì)心C不動(dòng), 剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng);,動(dòng) 力 學(xué),,,,將⑸、⑷兩式代入⑴、⑵兩式,有,將上述結(jié)果代入⑶式,有,解得:,動(dòng) 力 學(xué),⑴,⑵,⑶,,,,[例2] 兩質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)桿固連成T 字型,可繞通過(guò)O點(diǎn)的水
24、平軸轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)OA 處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度? =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承O 的反力。,,動(dòng) 力 學(xué),解:① 選T 字型桿為研究對(duì)象;受力分析如圖示;③ 運(yùn)動(dòng)分析:剛體繞O 軸轉(zhuǎn)動(dòng);④ 根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解:,⑴,,,,再根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有:,動(dòng) 力 學(xué),⑵,⑶,⑷,⑸,運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程:,,,,[例3] 均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P,半徑均為r,一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上,繩的另一端繞在圓柱B上,繩
25、重不計(jì)且不可伸長(zhǎng),不計(jì)軸O處摩擦。求:① 圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度?! 、谌粼趫A柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M,試問(wèn)在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。,動(dòng) 力 學(xué),,,,選圓柱B為研究對(duì)象,⑵⑶,運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程 :,⑷,⑴,解:選圓柱A為研究對(duì)象,由⑴、⑵式得:,代入⑶、⑷式得:,動(dòng) 力 學(xué),,,,由動(dòng)量矩定理:,⑴,運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程:,代入⑴式,得,當(dāng)M >2Pr 時(shí), ,圓柱B的質(zhì)心將上升。,再取
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