04-動(dòng)力第一次課流體力學(xué)

1、第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué),§3—4 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解,學(xué)習(xí)內(nèi)容回顧,變形速率張量二階對(duì)稱張量,角度變形率,線變形率、角變形率和旋轉(zhuǎn)角速度,線變形率,旋轉(zhuǎn)角速度矢量,旋轉(zhuǎn)角速度,亥姆霍茲速度分解定理,: 點(diǎn)的流速； : 點(diǎn)的流速； : 流體變形速率張量 [?] 對(duì)兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的貢獻(xiàn)，包括線變形和角變形； : 流體平均旋轉(zhuǎn)角速度引起的兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)

2、動(dòng)速度。,,,EXIT,,唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿足 ，寫成分量形式為：,有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng),,旋度,,,這個(gè)分類是 很重要的,,,EXIT,判別,,流動(dòng)是否有旋應(yīng)看流體微團(tuán)是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)，而不是看其運(yùn)動(dòng)軌跡。,渦線、渦管、 渦通量和環(huán)量,渦線:一條曲線，在給定瞬時(shí)，這條曲線上每一點(diǎn)的切線與位于該點(diǎn)的流體微團(tuán)的角速度的方向相重合。,渦線的微分方程,渦管:在給定瞬時(shí)，在渦量場(chǎng)中任取一不是渦線的封閉

3、曲線，通過(guò)封閉曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線形成一個(gè)管狀表面。,渦通量:旋轉(zhuǎn)角速度的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積的乘積的兩倍。,速度環(huán)量:速度在某一封閉周線切線上的分量沿該方向的積分。,注意：速度環(huán)量是標(biāo)量，其正負(fù)號(hào)不僅與速度的方向有關(guān)，而且與線積分的繞行方向有關(guān)，一般規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。,流體動(dòng)力學(xué)是研究流體在外力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即研究流體動(dòng)力學(xué)物理量和運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量之間的關(guān)系的科學(xué)。,§4—2

4、恒定總流的能量方程,§4—3 恒定總流的動(dòng)量方程,§4—4 理想流體的無(wú)旋流動(dòng),第四章 流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),EXIT,,,,§4—1 流體運(yùn)動(dòng)微分方程,,,EXIT,建立理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程 —?dú)W拉方程積分理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程建立總流伯努利方程建立恒定總流的動(dòng)量方程。討論無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)及兩者的關(guān)系,主要內(nèi)容,,,EXIT,

5、67;4—1 流體運(yùn)動(dòng)微分方程,運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力狀態(tài) 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉方程）的建立理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程（納維- 斯托克斯方程）介紹 流體動(dòng)力學(xué)的定解問題,,p,P= ? pn,p ：動(dòng)壓強(qiáng),p ：靜壓強(qiáng),,,EXIT,一. 運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力狀態(tài),運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力只有法向應(yīng)力 — 動(dòng)壓強(qiáng),靜止流體（不論理想或?qū)嶋H流體）,運(yùn)動(dòng)理想流體,,一. 運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力狀態(tài),運(yùn)動(dòng)理想流

6、體的應(yīng)力只有法向應(yīng)力 — 動(dòng)壓強(qiáng),一. 運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力狀態(tài),運(yùn)動(dòng)理想流體的應(yīng)力只有法向應(yīng)力 — 動(dòng)壓強(qiáng),P= ? pn,,,靜止流體,運(yùn)動(dòng)理想流體,靜止流體和運(yùn)動(dòng)理想流體中的四面體微元運(yùn)動(dòng)方程中質(zhì)量力（含慣性力）比起表面力是高階無(wú)窮小，當(dāng)四面體微元趨于一點(diǎn)，即可得證,,,EXIT,運(yùn)動(dòng)理想流體動(dòng)壓強(qiáng)的大小與作用面方位無(wú)關(guān),,靜止流體,運(yùn)動(dòng)理想流體,靜止流體,運(yùn)動(dòng)理想流體,靜止流體,運(yùn)動(dòng)理想流體,靜止流體,,二. 理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程

7、（歐拉方程）的建立,,運(yùn)用牛頓第二定律，對(duì)理想流體建立運(yùn)動(dòng)方程，描述動(dòng)壓強(qiáng)、質(zhì)量力和流速之間的關(guān)系。,壓強(qiáng) p,流速(ux,uy.uz), 質(zhì)量力(X,Y,Z),作用于六面體微元沿 y 方向的表面力的合力為,六面體流體微團(tuán)(系統(tǒng)),中心點(diǎn)C,,,EXIT,,,,,EXIT,,,作用于六面體微元沿 y 方向的質(zhì)量力為,根據(jù)牛頓第二定律，y方向運(yùn)動(dòng)方程為,作用于六面體微元沿 y 方向的慣性力為,,,,矢量形式,歐拉方程,,,EX

8、IT,同理，可得x、z方向運(yùn)動(dòng)方程,,,圓柱坐標(biāo)系下的Euler方程,圓柱坐標(biāo)系下的Euler方程,球面坐標(biāo)系下的Euler方程,球面坐標(biāo)系下的Euler方程,球面坐標(biāo)系下的Euler方程,葛羅米柯方程直接反映了流體流動(dòng)的特性，既包含線速度,也包含角速度。,,葛羅米柯方程—理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程在直角系中的另一種形式,,,,,,,,,,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程求解各種流動(dòng)問題時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還無(wú)法在一般情況下進(jìn)行。

9、下面先討論在恒定條件下理想流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線的積分。,理想流體,恒定流動(dòng),+,+,（dx,dy,dz）是流線上沿流動(dòng)方向一段弧長(zhǎng)，與跡線重合。,,,EXIT,三. 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分,,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程求解各種流動(dòng)問題時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行積分，但由于數(shù)學(xué)上的困難，目前還無(wú)法在一般情況下進(jìn)行。下面先討論在恒定條件下理想流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線的積分。,三. 理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程的積分,,,,上式左邊可改寫為：,質(zhì)量力有勢(shì)，勢(shì)函數(shù) W

10、，即,,,EXIT,,質(zhì)量力有勢(shì)，勢(shì)函數(shù) W ，即,右邊后三項(xiàng)為,不可壓縮流體，密度為常數(shù),最終原等式可寫成,則右邊前三項(xiàng)是力勢(shì)函數(shù) W 的全微分,或,,,EXIT,,,在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流線上各點(diǎn)的值是一個(gè)常數(shù)。其中 W 是力勢(shì)函數(shù)，? 是不可壓縮流體的密度。從推導(dǎo)過(guò)程看，積分是在流線上進(jìn)行的，所以不同的流線可以有各自的積分常數(shù)，將它記作 Cl ，稱為流線常數(shù)。,,,EXIT,伯努利積分,積分,Cl：流線常數(shù),結(jié)論,,

11、,,,這是水力學(xué)中普遍使用的方程。,伯努利積分可寫為,或,對(duì)同一流線上任意兩點(diǎn) 1 和 2 利用伯努利積分，即有,,,1,2,,,z,u,o,伯努利方程,o,流線,,,EXIT,四、重力場(chǎng)中的伯努利積分,Cl：流線常數(shù),,,五. 不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程（納維-斯托克斯方程）介紹,運(yùn)動(dòng)粘性流體存在切應(yīng)力，壓應(yīng)力與作用面的方位有關(guān)，但三個(gè)相互垂直的作用面上壓應(yīng)力之和與作用面的方位無(wú)關(guān)，它們的平均值定義為粘性流體的動(dòng)壓強(qiáng)。廣義牛頓內(nèi)摩擦

12、定律假設(shè)應(yīng)力與變形速率之間呈線性關(guān)系，在此基礎(chǔ)上可建立不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程 —納維-斯托克斯方程,,,,EXIT,N-S方程,,N-S方程矢量形式,時(shí)變慣性力,位變慣性力,質(zhì)量力,壓差力,粘性力,,,EXIT,,拉普拉斯算子,對(duì)跟隨其后的量求調(diào)和量,流體靜止時(shí)，只受質(zhì)量力、壓差力的作用，運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為平衡方程,例,,,,基本微分方程組,,,EXIT,微分形式流體運(yùn)動(dòng)方程連同連續(xù)方程，形成對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的基本控制方程組，是求解流速

13、場(chǎng)和壓力場(chǎng)的理論基礎(chǔ)。四個(gè)方程可求四個(gè)未知量：p 和 u ，方程組是封閉的。但由于運(yùn)動(dòng)方程是二階偏微分方程，其中的位變慣性力（常稱為對(duì)流項(xiàng)）是非線性的，解析求解非常困難。,六. 流體動(dòng)力學(xué)定解問題和解法概述,,,,,忽略粘性，作理想流體假設(shè)，從流動(dòng)的維數(shù)上作簡(jiǎn)化，都是常見的手段。如果流動(dòng)是有勢(shì)流動(dòng)，解析處理就有更多的便利條件。后面我們就將分門別類地對(duì)各種流動(dòng)進(jìn)行求解方法的討論。,只有在極少數(shù)簡(jiǎn)單流動(dòng)的情況下，N-S 方程才有解析解。而絕

14、大部分流動(dòng)都不能直接對(duì) N-S 方程解析求解，我們只能抓住問題的主要方面，作相應(yīng)的簡(jiǎn)化，才能進(jìn)行進(jìn)一步的解析處理。,各種簡(jiǎn)化都是在基本方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以深入理解方程中各項(xiàng)的物理意義是非常重要的。,,,EXIT,解法概述,,,是指運(yùn)動(dòng)方程的解在流場(chǎng)的邊界上必須滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)條件。常見的邊界條件有：固壁條件和液體的自由表面條件。,流動(dòng)共性,體現(xiàn)個(gè)性,是對(duì)非恒定流動(dòng)指定初始時(shí)刻流場(chǎng)的速度和壓強(qiáng)分布。,,,EXIT,初始條件,邊界條

15、件,初始條件和邊界條件,,,,,理想流體的固壁條件稱為可滑移條件，即流體不能穿越固壁，但可有切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以 un =Un,液體的自由表面動(dòng)力學(xué)條件為自由表面上壓強(qiáng)為常數(shù)（大氣壓）。,實(shí)際（粘性）流體的固壁條件稱為不可滑移條件，即附著在固壁上的流體質(zhì)點(diǎn)與固壁不能有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以 u=U,以上 u 和 U 分別表示緊鄰著固壁的流體質(zhì)點(diǎn)與固壁上相應(yīng)點(diǎn)的速度。un和U

16、n分別表示它們沿固壁法向的分量。,*************,,,EXIT,注,,§4—2 恒定總流的能量方程,,,EXIT,恒定元流的能量方程 恒定總流的能量方程 能量方程的應(yīng)用舉例 有能量輸入或輸出的能量方程,,一. 恒定元流能量方程,伯努利積分,歐拉方程各項(xiàng)的量綱是單位質(zhì)量流體受力，伯努利積分是歐拉方程的各項(xiàng)取了勢(shì)函數(shù)而得來(lái)的，即力對(duì)位移作積分，力勢(shì)函數(shù)是能量量綱，所以伯努利方程表示能量的平衡關(guān)系。,伯努利方程的物

17、理意義,****************,,,EXIT,,,,在理想流體的恒定流動(dòng)中，同一流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能保持不變。,在理想流體的恒定流動(dòng)中，位于同一條流線上任意兩個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的單位總機(jī)械能相等。,拉格朗日觀點(diǎn),歐拉觀點(diǎn),,,EXIT,伯努利積分,,,位置水頭,壓強(qiáng)水頭,測(cè)壓管水頭,速度水頭,總水頭,,伯努利方程的幾何意義,伯努利積分各項(xiàng)都具有長(zhǎng)度量綱，幾何上可用某個(gè)高度來(lái)表示，常稱作水頭。,****************,

18、,,EXIT,伯努利積分,,伯努利方程在流線上成立，也可認(rèn)為在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流體恒定元流的能量方程。,伯努利方程是能量守恒原理在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，故被稱為能量方程。,總機(jī)械能不變，并不是各部分能量都保持不變。三種形式的能量可以各有消長(zhǎng)，相互轉(zhuǎn)換，但總量不會(huì)增減。,伯努利方程可理解為：元流的任意兩個(gè)過(guò)流斷面的單位總機(jī)械能相等。由于是恒定流，通過(guò)元流各過(guò)流斷面的質(zhì)量流量相同，所以在單位時(shí)間里通過(guò)各過(guò)流斷面的總機(jī)械能

19、（即能量流量）也相等。,****************************,***************************************,**************,,,EXIT,,將各項(xiàng)水頭沿程變化的情況幾何表示出來(lái)。,水頭線,,理想流體恒定元流的總水頭線是水平的。,,,EXIT,,,,,元流能量方程的應(yīng)用舉例,,,,,,,A,Ⅱ管,,,,,,,代 入,,伯努利方程,,假 設(shè)Ⅰ、Ⅱ管的存在不擾動(dòng)原流場(chǎng)。,

20、,,EXIT,,Ⅰ管 —— 測(cè)壓管，開口方向與流速垂直。Ⅱ管 —— 總壓管，開口方向迎著流速。,,,,,畢托管利用兩管測(cè)得總水頭和測(cè)壓管水頭之差——速度水頭，來(lái)測(cè)定流場(chǎng)中某點(diǎn)流速。,實(shí)際使用中，在測(cè)得 h，計(jì)算流速 u 時(shí)，還要加上畢托管修正系數(shù)c，即,實(shí)用的畢托管常將測(cè)壓管和總壓管結(jié)合在一起。,****************,****************,思考為什么？,,,EXIT,,,,EXIT,實(shí)驗(yàn)室中使用的畢托管測(cè)速儀,