4.幾何光學

1、第四章 幾何光學基本概念,望遠鏡作為精密光學儀器，必然涉及到“應(yīng)用光學”這門學科。應(yīng)用光學不但是光學設(shè)計的基礎(chǔ)，而且對光學儀器的鏡筒結(jié)構(gòu)設(shè)計也有指導(dǎo)意義。本章所述“幾何光學”主要介紹應(yīng)用光學中有關(guān)“近軸光路”的成像規(guī)律的內(nèi)容（如焦距、像面位置、放大率、光學系統(tǒng)組合等），以及天文望遠鏡的常用光路。 應(yīng)用光學"的另一部分內(nèi)容為"像差理論"。,4.1 幾何光學的理論基礎(chǔ),1. 光的直線傳播

2、定律,在各向同性的、均勻的媒質(zhì)中，光在兩點之間沿直線傳播，即光線是直線。,2. 光的獨立傳播定律,不同的光線以不同方向經(jīng)過介質(zhì)的某一點時彼此互不影響。,,3. 折射定律,4. 反射定律,反射定律是折射定律在 n=-n'時的一種特例。,,,4.2 天文光學常用反射曲面,天文光學常用反射曲面為“圓錐曲線旋轉(zhuǎn)曲面“，圓錐曲線的方程式為,式中 為圓錐曲線常數(shù)：,,取減號,,近似計算,式中的正負

3、號分別表示曲線的互相對稱的兩半部分，而實際反射曲面只用到其中之一，考慮到使曲線的頂點處于坐標原點（ ρ=0，z=0），則應(yīng)取為負號。經(jīng)這樣處理后，再將根式部分展開為級數(shù)而取近似，最后得,對于由多圈子鏡組合起來的大型主鏡，除中間一塊子鏡外，多數(shù)子鏡的對稱軸與理論曲面的旋轉(zhuǎn)軸是不重合的，稱為“偏軸”曲面。,,天文望遠鏡反射式光路常見的曲面及其組成的系統(tǒng),4.3 視場和孔徑,如將光學系統(tǒng)看成一塊沒有厚度的透鏡，則很容易區(qū)分“視場”和“孔徑”

4、的不同概念。其區(qū)別在于：視場是從“鏡頭中心”出發(fā)向觀測物張開的角度，它表示可以觀測的范圍；而孔徑是從物面（或像面）上的一點出發(fā)向“鏡頭”張開的角度，它表示成像光束的粗細（即反映光能量的集中程度）。,4.3.2 孔徑光欄、入瞳和出瞳,物面中心點 A經(jīng)系統(tǒng)成像于 A‘，其成像光束受限制的最小的圓為 P，稱為“孔徑光欄” P經(jīng)系統(tǒng)前部的像為 P‘,稱為入瞳，經(jīng)后部的像為 P“，稱為出瞳，顯然所有通過孔徑光欄的光線必

5、定都通過入瞳和出瞳。入瞳和出瞳互為物像關(guān)系。 對于邊緣的物點 B，通過入瞳的光線可能不能完全通過孔徑光欄和出瞳，稱為有“漸暈”（見下文討論），但對于一個設(shè)計得較好的光學系統(tǒng)，漸暈不應(yīng)該很大。,光學系統(tǒng) 的“外部”要素,1。入瞳，出瞳的 位置和大小，,2。物（像）面與光瞳的距離，,3。物點與入瞳中心的連線和光軸的夾角，稱為該點的"物方視場角"，像點與出瞳中心的連線和光軸的夾角，稱為

6、該點的"像方視場角"。最邊緣點的視場角即為系統(tǒng)的（最大）視場角，一般用 w和w'表示。,4。軸上物點對入瞳半徑的張角稱為"物方孔徑角"，一般用 u表示，軸上像點對出瞳半徑的張角稱為"像方孔徑角"，一般用 u'表示。,4.3.3 視場光欄和漸暈,如在光路中間像面上設(shè)置光欄，并且唯有此光欄可以限制視場，則此光欄稱為“視場光欄”。視場光欄經(jīng)前部光學系統(tǒng)所成的像稱為“

7、入射窗”，經(jīng)后部光學系統(tǒng)所成的像稱為“出射窗”，入射窗和出射窗互為物像關(guān)系。 如視場光欄與中間焦面重合（入射窗與物面重合），則所有成像光線均能通過，沒有漸暈。 如視場光欄與中間焦面不重合，則來自軸外物點 B要通過孔徑光欄的光束之一部分就會受到阻擋，即有漸暈產(chǎn)生。,4。3。4 主光線極其方向的控制,任意物點的成像光束中經(jīng)過入瞳中心（從而經(jīng)過孔徑光欄中心和出瞳中心）的光線稱為“主光線”

8、，主光線決定了成像光束的走向。 有時為了某種需要，光路設(shè)計可以人為地改變主光線的方向，主要有以下兩種情況：,1）場鏡 為了避免各點主光線過于散開而致使后方光學元件（如透鏡）尺寸太大，中間像面上加上一塊透鏡，使得B'點以后的光束向光軸靠攏。這種不改變成像光束粗細，而僅僅改變主光線方向的，置于像面附近的透鏡稱為“場鏡”。,2）遠心光路,將孔徑光欄設(shè)置在最后一個透鏡的前焦面上，這樣各成像光束的主光

9、線都通過此焦點，因此出射后都平行于光軸。這時出射光瞳位于無窮遠處，因此稱為“遠心光路”。 遠心光路的一個用途是控制光束粗細，以適應(yīng)光學元件的大小（如用在有雙折射濾光器的光路）；另一個用途是當存在失焦時，像點的中心距（A"-B"）將不會改變，因此適合某些測量儀器。,4.4 近軸光路和理想光路的計算公式,同軸光路是一種應(yīng)用最廣的光學系統(tǒng)，望遠鏡系統(tǒng)多屬于同軸光路。,實際的同軸光路計算要用三角

10、函數(shù)。但如將孔徑角和視場角均限制得很小時，角度的正弦值或正切值可以用弧度值代替，于是光路計算就大為簡化，這樣的光路稱為“近軸光路”。 近軸光路對于光路的方案設(shè)計、外部參數(shù)計算（如焦距、截距、像的高度、放大率、組合光學系統(tǒng)參數(shù)等）非常有利。 至于實際光路對于近軸光路在計算結(jié)果上的差異則可以歸為光學設(shè)計的"像差修正"的程度。,4.4.1 同軸光路、近軸光路和理想光路,理想光路,理想光路就是能對任

11、意寬的空間，用任意寬的光束成完善像的光學系統(tǒng)，也稱為“高斯光路”。對于“外部參數(shù)”，如焦距、物（像）距和物（像）高度的計算，它與“近軸光路”的基本上一樣，只是角度要用三角函數(shù)而已。 當然實際光路不可能是“理想”的，但是可以用優(yōu)化設(shè)計方法盡量逼近理想光路，因此理想光路的理論對于光學設(shè)計無疑是有益的。,4.4.2 單球面近軸光路,1）幾何量正負的規(guī)定：,軸上線段：起始點可為曲面頂點或焦點；方向與光線傳播方向相同時為正（

12、線段包括光線截距 l、l‘、x、x’、曲面半徑 r、兩曲面頂點距離Δ以及焦點的距離 等） 物體高度：處于光軸以上為正。光線與光軸的夾角：由光軸繞銳角順時針轉(zhuǎn)到光線為正。,,,,2）折射球面的物像關(guān)系,,,如圖幾何關(guān)系，在小角度條件下有,,u,,u’,阿貝常數(shù),物像關(guān)系,折射定律,,,,3）反射球面的物像關(guān)系,將 n'=-n，代入6式，得,凹球面：,正,負,負,凸球面：,負,,,4）橫向放大率,由圖關(guān)系并利用右式，

13、得像的高度 h'和物的高度h之比，即橫向放大率為,5）拉-赫不變量,由圖幾何關(guān)系，在小角度條件下，l‘u’ = lu，因此上式成為,,,,4.4.3 理想光路的計算公式,1）焦距和主面,注意對于實際光路，不要將焦距誤解為最后一個曲面的頂點到焦點的距離。,光學系統(tǒng)的一對主面為共軛平面。,另外，由于 QH和Q'H'等高，因此主面上的橫向放大率等于1。,2）物像關(guān)系,物 AB的像為 A‘B’，AH稱為物距，HA‘稱

14、為像距。對于實際光路，光學設(shè)計一般不給出主面位置，但給出物點距第一曲面頂點的距離和像點距最后一個曲面頂點的距離，稱為“截距”。,x、x'為以前后焦點為坐標原點的物距和像距。,物像關(guān)系,,,,,,,同種媒質(zhì)：,,通用公式：,,3）橫向放大率,,由圖幾何關(guān)系得：,,,,,,,,,,,,,公式推導(dǎo)：由圖幾何關(guān)系得：,,,,,,,,,,,,,,同種媒質(zhì)中有,高斯公式,橫向放大率另一公式,,,,,,,4）軸向放大率,由右面兩式得,由圖關(guān)系

15、，上式中的截距 l和 l'可用 x和 x'來表示：,上式說明，軸向放大率等于橫向放大率的平方，而且總是正的，說明當物點有小量軸向移動時，像點將向同一方向移動。這一點對于設(shè)計調(diào)焦機構(gòu)很重要，特別是當橫向放大率較大時，調(diào)整物距顯然比調(diào)整像距在行程上要短得多。,應(yīng)用右面公式，得,同一介質(zhì)中：,,,微分,,,,,,,5）角放大率,如圖，通過任意一對共軛點的光線與光軸的夾角為 u和 u'。其比值稱為此共軛點的“角放大率”,

16、將右面兩式代入上式，得,,,,,,,,,,,,,,,同種媒質(zhì)中（n‘=n）的拉-赫不變量和放大率關(guān)系：,,主點位置橫向放大率和角放大率都等于1,因主點位置橫向放大率等于 1，因而角放大率也等于1。利用這一性質(zhì)易于測定光學鏡頭的主點位置。,,,,,4.5 薄透鏡及其組合,4.5.1 物像關(guān)系公式,薄透鏡兩個主面靠得很近，薄透鏡可近似處理為兩主面合而為一的理想光學系統(tǒng)，物像關(guān)系和放大率都可沿用上述理想光學系統(tǒng)的有關(guān)公式。,物像關(guān)系：,橫向

17、放大率：,軸向放大率：,角放大率：,令 ，近軸光線經(jīng)透鏡第一面物像關(guān)系為：,,,,,,4.5.2 薄透鏡的焦距和折射率及曲率半徑的關(guān)系，光焦度,單球面近軸光基本公式：,再經(jīng)透鏡第二面物像關(guān)系為 (l =l')：,薄透鏡焦距為：,薄透鏡光焦度為：,,4.5.3 薄透鏡的成像規(guī)律（作圖法）,1. 特殊光線,1）平行與光軸的光線出射后經(jīng)過后焦點。經(jīng)過前焦點的光線出射后平行于光軸（焦點性質(zhì)，a）。,2）從物

18、方軸上兩倍焦點發(fā)出的光線出射后經(jīng)過像方軸上兩倍焦點，兩點互為物像關(guān)系，即共軛點（b）。,3）經(jīng)過透鏡中心的光線出射后方向不變（空氣中透鏡主點角放大率為1，c）。,,2. 物像關(guān)系規(guī)律,1）垂直于光軸的物體所成的像也垂直于光軸。 2）前焦點以內(nèi)的物體的像為虛像（正像），位于物方空間（圖d）。 3） 前焦點物體的像在無窮遠處（前頁圖a）。 4） 前焦點以外的物體的像為實像（倒像，圖b、e）。 5）前兩倍焦點到前焦點之間的物體的像落在

19、后兩倍焦點之外，放大率大于1（圖e倒過來看）。 6） 前兩倍焦點上的物體的像落在后兩倍焦點上，放大率為-1（圖b）。 7）物方兩倍焦點以外的物體的像落在后焦點和兩倍焦點之間，放大率絕對值小于 1（圖e）。,,,,,,3. 薄透鏡的組合,組合系統(tǒng)的等值焦距以及焦點到第二透鏡的距離分別為 （簡單幾何關(guān)系）,,,,,幾何光學基本公式匯總比較,,,,,,理想系統(tǒng)公式基本上與單

20、個球面或薄透鏡雷同，所以只要記住如下基本公式即可：,4.6 望遠鏡系統(tǒng),幾何光學意義上的望遠鏡系統(tǒng)是指入射光和出射光均為平行光的光學系統(tǒng)，主要用于目視觀測（科普望遠鏡）； 而大型科研用天文望遠鏡主要不用目視觀測，而用儀器觀測，如用 CCD、光譜儀、光度計等來紀錄觀測信息，實際上只是一種對無窮目標觀測的成像光路。 兩者的共同指標是通光口徑和有效視場：通光口徑越大則分辨率越高、光能量越強，視場

21、越大則觀測的天區(qū)越大。兩者的不同在于：前者強調(diào)“視覺放大率”，這與其內(nèi)部兩鏡組的焦距之比有關(guān)；而后者強調(diào)“底片比例尺”，這與焦距有關(guān)。,,4.6.2 望遠鏡光路的特點,如果將圖16中第一透鏡（物鏡）的后焦點和第二透鏡（目鏡）的前焦點重疊在一起，就成為開普勒望遠鏡光路。如觀測無窮遠目標，則入射光為平行光束，根據(jù)上述透鏡成像規(guī)律，顯然出射光也為平行光束。因此其焦距為無窮大。這一點可令下式中Δ為零而得到：,1. 特點,令,,,2. 孔徑光欄和

22、入瞳、出瞳,一般望遠鏡的孔徑光欄選為物鏡的邊框，其入瞳即為物鏡本身。另外由于一般望遠鏡的物鏡比目鏡焦距長得多，因此其出瞳（孔徑光闌經(jīng)目鏡所成的像，圖中的 P）比較靠近第二透鏡的后焦點。由圖幾何關(guān)系可得望遠鏡的入瞳和出瞳之比為,,,3.望遠鏡角放大率,視場邊緣點（軸外點）經(jīng)過入瞳（第一透鏡）中心的光線（主光線）與光軸的夾角 w 為物方視場角，經(jīng)目鏡后的出射光線為 CP，CP與光軸的夾角 w‘即為像方視場角，兩者之比即為望遠鏡角放大率：（

23、在近軸光路條件下，由圖中相似三角形關(guān)系得）,,,上式說明望遠鏡的角放大率為常數(shù)，等于物鏡和目鏡的焦距之比，從而也等于其入瞳和出瞳之比。負號表示從光軸到光線轉(zhuǎn)過角度的方向是相反的。 可以證明對任意遠處的物成像時，角放大率都一樣，為常數(shù)。 由此，可以通過測量望遠鏡的物直徑和出瞳直徑來確定其角放大率。開普勒望遠鏡的出瞳在目鏡之后，離目鏡很近。只要用較強的光源照明物鏡，在目鏡后放一張普通白紙，就可以得到出

24、瞳的影像。,,望遠鏡的視覺放大率定義為觀測物體經(jīng)望遠鏡成像后的像方視場角與其直接對人眼的張角之比，近似等于角放大率。,望遠鏡的角放大率和視覺放大率,望遠鏡角放大率公式：,,,4. 橫向放大率和軸向放大率,如用望遠鏡系統(tǒng)對任意有限遠處高度為 h的的目標成像，顯然其的像高度 h'與物的高度之比為常數(shù)：,4.7 天文望遠鏡的光學系統(tǒng),天文望遠鏡的光學系統(tǒng)大體上分折射系統(tǒng)、反射系統(tǒng)和折反射系統(tǒng)三類。 一般來講，折射

25、系統(tǒng)不需要經(jīng)常鍍膜，一次性使用的壽命較長。但由于透射材料體量的限制，一般折射系統(tǒng)的物鏡直徑不超過500mm。歷史上研制的大型折射望遠鏡口徑達到1m以上，由于造價過于昂貴，以及重量太重，現(xiàn)在已經(jīng)退出潮流。折反射系統(tǒng)也是如此。 反射系統(tǒng)除了可以尺寸較大以外，還有不存在色差的優(yōu)點。其缺點是需要定期鍍膜，還有反射面由于重力和溫度變化等因素造成的變形對光程的影響為兩倍關(guān)系，因此對光學像質(zhì)的影響較大。,4.7.1 折射系統(tǒng)

26、,小型目視科普望遠鏡多用折射系統(tǒng)，大體上分伽利略望遠鏡和開普勒望遠鏡兩類,物鏡類型 小于50mm直鏡的一般采用雙膠合物鏡，大于100mm直鏡的物鏡一般采用雙分離物鏡。雙膠合物鏡有3個折射面，光學設(shè)計可校正球差、彗差和色差；雙分離物鏡多一個面，能更好地校正像差。物鏡焦比一般不大于7，視場3°左右。,常用折射望遠鏡光學系統(tǒng),稍大的科普望遠鏡或?qū)I(yè)望遠鏡多采用物鏡焦點成像，用CCD接受。如嫌像太小后面可加一級"轉(zhuǎn)像

27、鏡"進行放大（圖21）；如需要變成平行光（平行光路中適宜放置濾光器和光柵等），則加"準直鏡"（圖22），最后用"成像鏡"成像。,復(fù)雜折射大視場投影物鏡,復(fù)雜折射大視場投影物鏡鏡片數(shù)量多達10片以上，如圖例子通過光口徑150mm，焦距150mm，視場（直徑）20°。,4.7.2 反射系統(tǒng),1。主焦點系統(tǒng) 相對口徑：1/5~1/2.5 視場： 2'

28、，如加像場改正鏡，視場可增大到 0.5°-1° 主焦點系統(tǒng)只能消除軸上球差，因而視場很小，適用于CCD照相等強光力、小比例尺工作。另外存在接收器擋光的問題。,2。牛頓望遠鏡,性能與主焦點系統(tǒng)一樣。,3. 卡塞格林望遠鏡,卡塞格林系統(tǒng)是最常用的天文望遠鏡光學系統(tǒng)，其特點是焦距較長，底片比例尺較大。另外，可以放置較大的接受器，而且不擋光。廣義的卡塞格林系統(tǒng)有三種設(shè)計，其性能見圖25和下面的表。,4. 格雷果里

29、望遠鏡,格雷果里望遠鏡的結(jié)構(gòu)和性能與卡塞格林望遠鏡類似，但有實主焦點，可在此設(shè)置視場光闌或可切換的主焦點接收器。觀測太陽局部像的望遠鏡用一塊中間開有小孔的45°反射鏡，將大部分不需要的太陽光反射到鏡筒之外，以改善成像質(zhì)量。 因焦面附近的結(jié)構(gòu)溫度很高，所造成的氣流和空氣折射率不均會嚴重影響像質(zhì)，所以要加以冷卻。45°反射鏡可用金屬制造，后面焊接一個圓柱形密封容器，加上進水管和出水管，用流動的冷水進

30、行冷卻。,5.大視場三反射鏡系統(tǒng),大視場三反射鏡系統(tǒng)相對口徑1/2左右，視場可達3°-5°。 加焦面改正鏡后同樣視場，相對口徑可增大到1/1.2左右。,其它反射系統(tǒng)，包括卡塞格林系統(tǒng)和格雷戈里系統(tǒng)也可通過加焦面改正鏡來增大視場或增大相對口徑。,4.7.3 折反射系統(tǒng),,施密特望遠鏡缺點是鏡筒較長，焦面接收器須置于鏡筒內(nèi)部，操作比較麻煩。另外，其焦面是有一定的彎曲的。 施密特

31、系統(tǒng)有如下改進辦法：一是像卡塞格林系統(tǒng)那樣在主焦點之前加一塊凸反射鏡，將焦點轉(zhuǎn)移到主鏡后面（主鏡中間開孔），相當于卡塞格林焦點。二是加“平場透鏡”使焦面變得平坦。,1. 施密特望遠鏡,施密特望遠鏡是最常用的大視場系統(tǒng)，最大視場可達5°X5°。其結(jié)構(gòu)特點是前端采用一塊非球面改正鏡，主鏡為球面鏡，球心位置設(shè)置孔徑光闌。這種特殊結(jié)構(gòu)使得焦面上各處像點具有成像對稱性，因而軸外像差很小。最大的施密特望遠鏡在德國陶登堡史瓦西天文

32、臺，改正鏡直徑1.34m，球面直徑2m，焦距4m，視場 3.4°X3.4°。,2. 馬克蘇托夫望遠鏡,馬克蘇托夫望遠鏡是另一種折反射大視場系統(tǒng)。其結(jié)構(gòu)特點是前端采用一塊較厚的雙球面改正鏡，稱為"彎月鏡"，主鏡仍為球面鏡，可消除球差、色差和彗差。世界上最大的馬克蘇托夫望遠鏡的彎月鏡直徑為700mm，球面鏡直徑為980mm，焦距為2.1m。,馬克蘇托夫望遠鏡同施密特望遠鏡有類似的特點：焦面彎曲，且處于

33、鏡筒內(nèi)部。與后者相比，優(yōu)點是鏡筒短，彎月鏡為球面，容易加工。缺點是彎月鏡較厚，較重，視場稍小。,4.8 像差的概念,完善成像是指一系列理想球面波的球心分布在像平面各點的理想情況。下面三種情況是有像差的情況： 1）不是理想的球面波，不存在唯一的球心，像點就會散開，圖像就會模糊。 2）各球面波的球心落在像平面前后，像平面上的圖像也會模糊。 3）球面波的球心落在像平面上的位置

34、不是理論位置，像平面上的圖像會變形。,4.8.1 幾何像差波面誤差,4.8.2 幾何像差與波面誤差的關(guān)系,一般來講，幾何像差與波面誤差是一件事物的兩個方面，是互相對應(yīng)的。但一般波面誤差是指波面相對于球面的偏離，描述起來比較單純。因光線是波面的法線，故而如果將幾何像差看做光線的方向的誤差，則它就是波面誤差的導(dǎo)數(shù)。,,1）球差 同一物點通過光瞳不同半徑與光軸的交點不同，最粗的錐面光束的像點相對于無窮細光束的像點的

35、軸向距離稱為球差。單色光軸上點唯一的像差就是球差。,4.8.3 軸上點像差定義,2）位置色差 同一錐面光束，不同波長光線的像點在軸上位置的距離，稱為位置色差。 一般對0.707光瞳半徑處的光進行消色差。,一般所講的色差即為位置色差。 另一種色差是用不同波長的光對軸外點成像時，所獲得的放大率、出瞳位置和像面位置都有所不同，其結(jié)果可以造成像點按色彩在像面上錯開，從而使圖像模糊。這種像差稱為“倍

36、率色差”。,,4.8.4 軸外像差定義,,像散和彗差的幾何意義,彗差,像散,,4.8 消色差概念,光學系統(tǒng)的幾何像差包括色差和單色光像差，其中色差是比較特殊的像差，因為它不僅與玻璃的折射率有關(guān)而且與玻璃的色散有關(guān)。 在此特別介紹消色差概念有兩個目的：其一是可以了解基于“初級像差理論”的光學設(shè)計原理，二是解釋為什么透鏡組合要講究玻璃的搭配。,4.8.1 球面系統(tǒng)的初級位置色 差和初級位置色差系數(shù),,,,單一球面近軸光物像關(guān)

37、系公式:,微分,兩端乘以 h (h=lu=l'u'),,,,,兩端乘以 lu（lu=l'u'),,位置色差,,,,,對于多球面系統(tǒng)為,,,0,,位置色差系數(shù),球面系統(tǒng)的初級位置色差：,,,,4.8.2 薄透鏡的初級位置色差和初級位置色差系數(shù),,,,,,,上述公式經(jīng)簡單推導(dǎo)可得薄透鏡初級位置色差系數(shù)公式：,,為阿貝常數(shù)：,,4.8.3 雙膠合或雙分離透鏡消位置色差的條件,整個透鏡組的光焦度為f'

38、，則,兩透鏡的光焦度分別為,1. 為了使兩透鏡的光焦度盡可能小，應(yīng)使阿貝常數(shù)相差盡量大。為此，一般采用冕牌玻璃（色散較小，阿貝常數(shù)較大）和火石玻璃（色散較大，阿貝常數(shù)較?。┐钆涞姆绞健?2. 如鏡組焦距為正，則正透鏡用冕牌玻璃，負透鏡用火石玻璃。,規(guī)律：,1.主焦點系統(tǒng)、卡焦系統(tǒng)和格里高利系統(tǒng)分別用怎樣的反射曲面？,2.對下面的光路調(diào)焦，移動哪個部件行程較??？,3.用作圖法確定下面的光路中后兩組透鏡各自的前后焦點和像面位置，