工程力學(xué)第九章圓柱扭轉(zhuǎn)

1、第九章 圓軸的扭轉(zhuǎn),第一節(jié) 扭轉(zhuǎn)的概念、扭矩與扭矩圖第二節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算 小 結(jié),當(dāng)鉗工攻螺紋孔時(shí)，加在手柄上兩個(gè)等值反向的力組成力偶，作用于絲錐桿的上端，工件的反力偶作用在絲錐桿的下端；汽車轉(zhuǎn)向盤的操縱桿，兩端分別承受駕駛員作用在轉(zhuǎn)向盤上的外力偶和轉(zhuǎn)向器的反力偶作用。,,,F,F',,,F,F',第一節(jié) 扭轉(zhuǎn)的概念、扭矩與扭矩圖,一、扭

2、轉(zhuǎn)的概念,,,汽車傳動(dòng)軸,這些構(gòu)件的受力特點(diǎn)是：兩端受到一對數(shù)值相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿軸線的力偶作用。它們的變形特點(diǎn)是：各截面繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形，其上任意二截面間的相對轉(zhuǎn)角稱為扭轉(zhuǎn)角。以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件稱為軸。工程上軸的橫截面多采用圓形截面或圓環(huán)形截面。,二、扭矩與扭矩圖,1．外力偶矩的計(jì)算 　工程中作用于軸上的外力偶矩通常并不直接給出，而給出軸的轉(zhuǎn)速和軸所傳遞的功率 它們的換算關(guān)系為M＝

3、9550P/n（N·m） （9-1） 式中， M—軸扭轉(zhuǎn)外力偶矩，（N·m） ； P—軸的傳遞功率（kW） ； n—軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。,若已知軸上作用的外力偶矩，可用截面法研究圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的內(nèi)力?，F(xiàn)分析如圖示的圓軸，在任意m-m截面處將軸分為兩段。,為保持平衡，在截面上必然存在一個(gè)作用面和截面重合的內(nèi)力偶矩

4、Mn ，與外力偶矩M平衡，這個(gè)橫截面上的內(nèi)力偶Mn稱為扭矩。,Mn,由平衡條件∑Mx=0，可求得這個(gè)內(nèi)力偶的大小Mn= M,,Mn,2．扭矩與扭矩圖,,為使上述兩種算法所得同一橫截面處扭矩的正負(fù)號(hào)相同，特作如下規(guī)定：采用右手螺旋法則，拇指指向外法線方向。扭矩的轉(zhuǎn)向與四指的握向一致時(shí)為正；反之為負(fù)。,,在求扭矩時(shí)，一般按正向假設(shè)，所得為負(fù)則說明扭矩轉(zhuǎn)向與所設(shè)相反。當(dāng)軸上作用有多個(gè)外力偶時(shí)，須以外力偶所在的截面將軸分成數(shù)段。逐段求出其扭矩

5、。為形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖。作圖時(shí)，沿軸線方向取坐標(biāo)表示橫截面的位置，以垂直于軸線的方向取坐標(biāo)表示扭矩。,,一傳動(dòng)系統(tǒng)的主軸ABC，其轉(zhuǎn)速n=960r/min，輸入功率PA=27.5kW，輸出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不計(jì)軸承摩擦等功率消耗。試作ABC軸的扭矩圖。,解 1)計(jì)算外力偶矩。由式(9-1)得,式中，MA為主動(dòng)力偶矩，與ABC軸轉(zhuǎn)向相同；MB、 MC為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與M

6、A相反。,,,解 1)計(jì)算外力偶矩。MA=274N?m； MB=199N?m； MC=75N?m,Mn1,2)計(jì)算扭矩。將軸分為兩段，逐段計(jì)算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274N?m Mn2=-MA+MB=-75N?m 3)畫扭矩圖。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，按比例畫扭矩圖。 由圖看出，在集中外力偶作用面處，扭矩值發(fā)生突變，其突變值等于該集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段內(nèi)，其值為 Mnmax

7、=274N?m,,,Mn2,,,,,Mn,75N?m,274N?m,,,,,x,0,一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力,為了研究圓軸橫截面上應(yīng)力分布的情況，可先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察。在圓軸表面畫若干垂直于軸線的圓周線和平行于軸線的縱向線，兩端施加個(gè)方向相反、力偶矩大小相等的外力使圓軸扭轉(zhuǎn)。當(dāng)扭轉(zhuǎn)變形很小時(shí)，可觀察到：,,圓軸扭轉(zhuǎn)動(dòng)畫,1）各圓周線的形狀、大小及兩圓周線的間距均不改變，僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；各縱向線仍為直線，且傾斜同一角度，使原來的矩形變成平行四

8、邊形 。,圓周線,縱線,,,,,圓周線,縱線,,M,M,A',,M,,,,,,,,,A,2）由上述現(xiàn)象可認(rèn)為：扭轉(zhuǎn)變形后，軸的橫截面仍保持平面，其形狀和大小不變，半徑仍為直線。這就是圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。,第二節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與強(qiáng)度計(jì)算,由上述可知，圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)至截面形心的距離成正比。由剪切胡克定律可知，橫截面上各點(diǎn)必有切應(yīng)力存在，且垂直于半徑呈線性分布，即有 ? =K?

9、。,,Mn,?max,,,,,dA,??dA,? =K?,?,,扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計(jì)算如圖，圓軸橫截面上微面積dA上的微內(nèi)力為??dA ，對截面中心O的力矩為??dA·? 。 整個(gè)橫截面上所有微力矩之和應(yīng)等于該截面上的扭矩Mn，則有,（9-2）,,,Mn = KI? =?? I? /?得,（9-3）,,顯然，當(dāng)? =0時(shí)，? =0；當(dāng)? =R時(shí)，切應(yīng)力最大，為?max=MnR/I? 。,（9-4）,式中，Wn稱為抗扭截

10、面系數(shù)。 式（9-3）及式(9-4)均以平面假設(shè)為基礎(chǔ)推導(dǎo)而得，故只有當(dāng)圓軸的?max不超過材料的比例極限時(shí)方可應(yīng)用。,（9-3）,,二、極慣性矩I?及抗扭截面系數(shù)Wn,圓截面對圓心 O的極慣性矩可類比求出，即,,,故抗扭截面系數(shù),,得,,,極慣性矩為,對于內(nèi)徑為d、外徑為D的空心圓截面軸,Mn,?max,,,式中，? =d/D即為內(nèi)、外徑之比?？招膱A截面的抗扭截面系數(shù)為,,三、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算,由式(9-3)可知，等

11、直圓軸最大切應(yīng)力發(fā)生在最大扭矩截面的外周邊各點(diǎn)處。為了使圓軸能正常工作，必須使最大工作切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，于是等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為,至于階梯軸，由于Wn各段不同，?max不一定發(fā)生在?Mn?max所在的截面上；因此需綜合考慮Mn和Wn兩個(gè)因素來確定。,,,,（9-5）,,,,,階梯軸如圖，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的許用切應(yīng)力[? ]=60MPa。試校

12、核該軸的強(qiáng)度。,解 畫出階梯軸的扭矩圖。因兩段的扭矩、直徑各不相同，需分別校核。,在求?max時(shí)，Mn取絕對值，其正負(fù)號(hào)(轉(zhuǎn)向)對強(qiáng)度計(jì)算無影響。,,,,,,Mn,1.8kN?m,5kN?m,,,,x,0,AB段： Mn1=-5?103N?m,,BC段： Mn2=-1.8?103N?m,AB段： ?max =49.7MPa,從以上計(jì)算結(jié)果看出：最大切應(yīng)力發(fā)生在扭矩較小的BC段。由于?max=73.4MPa＞[? ]，所以軸AC的強(qiáng)

13、度不夠。,由無縫鋼管制成的汽車傳動(dòng)軸AB，外徑D＝90mm，壁厚t=2.5mm，材料為45鋼，許用切應(yīng)力[? ] =60MPa，工作時(shí)最大外扭矩Mn＝1.5kN·m。 1)試校核AB軸的強(qiáng)度。 2)如將AB軸改為實(shí)心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。 3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。,解 1)校核AB軸的強(qiáng)度。由已知條件可得,故AB軸滿足強(qiáng)度要求 。,Mn=M=1.5?103

14、N?m,,已知：D＝90mm，t=2.5mm， [? ] =60MPa，Mn=1.5kN·m。 1)試校核AB軸的強(qiáng)度。 2)如將AB軸改為實(shí)心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。 3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。,解 1)校核AB軸的強(qiáng)度。,2)確定實(shí)心軸的直徑。若實(shí)心軸與空心軸的強(qiáng)度相同，則兩軸的抗扭截面系數(shù)必相等。設(shè)實(shí)心軸的直徑為Dl，則有,,,已知：D＝90mm，t=2

15、.5mm ， D1＝53.2mm 。 3)比較實(shí)心軸和空心軸的質(zhì)量。,計(jì)算結(jié)果說明，在強(qiáng)度相同的情況下，空心軸的質(zhì)量僅為實(shí)心軸質(zhì)量的31％，節(jié)省材料的效果明顯。這是因?yàn)榍袘?yīng)力沿半徑呈線性分布，圓心附近處應(yīng)力較小，材料未能充分發(fā)揮作用。改為空心軸后，相當(dāng)于把少量軸心處的材料移向邊緣，從而保證了軸的強(qiáng)度。但是，空心軸價(jià)格昂貴，要視具體情況采用。故AB軸滿足強(qiáng)度要求 。,兩軸的材料和長度相同，它們的質(zhì)量比就等于面積比。 設(shè)

16、Al為實(shí)心軸的截面面積，A2為空心軸的截面面積，則有,,一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算,第三節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形與剛度計(jì)算,扭轉(zhuǎn)變形是用兩個(gè)橫截面繞軸線的扭角?來表示的。對于Mn為常值的等截面圓軸，由于其很小，由幾何關(guān)系可得,AB=? l ， AB=R?所以 ? =? l/R,將胡克定律,AB=? l ， AB=R?? =? l/R,代入上式，得

17、 (9-6)式中，GI?反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。 當(dāng)兩個(gè)截面間的Mn、G或I?為變量時(shí)，需分段計(jì)算扭角，然后求其代數(shù)和，扭角的正負(fù)號(hào)與扭矩相同。,,,一傳動(dòng)軸如圖，直徑d=40mm，材料的切變模量G=80GPa，載荷如圖示。試計(jì)算

18、該軸的總扭角。,解 畫出階梯軸的扭矩圖，AB和BC段的扭矩分別為,AB段的扭角為,,,,,,Mn,800N?m,1200N?m,,,,,x,0,Mn1=1200N?m,Mn2=-800N?m,圓軸截面的極慣性矩為,已知：d=40mm，G=80GPa，求：總扭角。,解,BC段的扭角為,Mn1=1200N?m,Mn2=-800N?m,由此得軸的總扭角,,二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度計(jì)算,設(shè)計(jì)軸類構(gòu)件時(shí)，不僅要滿足強(qiáng)度要求，有些軸還要考慮剛度

19、問題。工程上通常是限制單位長度的扭角?，使它不超過規(guī)定的許用值[? ]。由式(9-6)可知，單位長度的扭角為,于是建立圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為,,式中，? 的單位為rad/m。 工程實(shí)際中，許用扭角[? ]的單位為(?)/m，考慮單位的換算，則得,（9-7）,[? ]值按軸的工作條件和機(jī)器的精度來確定，可查閱有關(guān)工程手冊，一般規(guī)定 精密機(jī)器的軸 [? ]＝0.25?/m一0.5?/m

20、 一般傳動(dòng)軸 [? ]＝0.5?/m—1.0?/m 精度較低的軸 [? ]＝1.0?/m一2.5?/m,,（9-7）,一空心軸外徑D＝100mm，內(nèi)徑d=50mm，G=80GPa，[? ]=0.75?/m。試 求該軸所能承受的最大扭矩Mnmax 。,解 由剛度條件式(9-7)得,Mnmax≤[?]GI??/180,式中 I?= (D4- d4)=

21、 (1004-504) mm4=9.2?106 mm4,Mn=,=9.63?106N?mm= 9.63kN?m,所以 Mnmax=9.63kN?m,傳動(dòng)軸如圖。已知該軸轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪輸入功率PC=30kW，從動(dòng)輪輸出功率PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材,,解 1) 求外力偶矩 。由可得,料的切變模量G=

22、80GPa， 許用切應(yīng)力[? ]=40MPa，[? ]=l?/m。試按強(qiáng)度條件及剛度條件設(shè)計(jì)此軸直徑。,,3)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑,解 1)求外力偶矩。MA=159.2N?m； MB=318.3N?m； MC=955N?m ； MD=477.5N?m,2)畫扭矩圖。首先計(jì)算各段扭矩 AB段： Mn1=-159.2N·m BC段： Mn2=- 477.5N&#

23、183;m CD段： Mn3=477.5N·m按求得的扭矩值畫出扭矩圖。,,,,,Mn/N?m,477.5,159.2,,,,x,0,,,,,,477.5,,,由 式和強(qiáng)度條件,由圖可知最大扭矩發(fā)生在BC段和CD段，即 Mnmax=477.5N?m,,3)按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑d=39.3mm,解 1)求外力偶矩。,2)畫扭矩圖。,,,Mnmax=

24、477.5N?m,4)按剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑,由式 和剛度條件 ，得到,為使軸同時(shí)滿足強(qiáng)度條件和剛度條件，可選取較大的值，即d＝44mm。,,綜上所述，要提高圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度，可以從降低Mnmax和增大I?，或Wn等方面來考慮。為了降低Mnmax，當(dāng)軸傳遞的外力偶矩一定時(shí)，可以合理地布置主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的位置。圖a、b所示是齒輪軸，A為主動(dòng)輪，B、C

25、和D是從動(dòng)輪。按圖a所示方案布置，Mnmax=702N·m；按圖b所示方案布置，Mnmax=1170N·m。由于前者降低了Mnmax，減小了?max和?，故提高了軸強(qiáng)度和剛度。,,工程上還可能遇到非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，如正多邊形截面和方形截面的傳動(dòng)軸。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面，即橫截面要發(fā)生翹曲。因此。務(wù)請注意，上述平面假設(shè)導(dǎo)出的扭轉(zhuǎn)圓軸的應(yīng)力、變形公式，對非圓截面桿均不再適用。有關(guān)矩形截面桿和薄壁截面桿扭轉(zhuǎn)