大學物理力學-chapter-3

1、1,剛體力學基礎,2,剛體運動概述剛體定軸轉動剛體定軸轉動定律,3,剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組．),剛體的運動形式：平動、轉動．,4,剛體和質點一樣是一種理想模型； 剛體以看成是由無數(shù)質點構成的質組； 剛體無論在多大的力作用下或剛體無論作何運動，剛體中任意兩質點間的距離保持不變。,5,平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．,特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：

2、 等都相同．,6,說明,剛體作平動時，剛體上各點的軌跡可以是直線，也可以是曲線；,剛體作平動時，剛體上所有質點都具有相同的位移、速度和加速度；,剛體的平動運動可用一個點的運動描述；通常用剛體的質心。,,7,轉動：分定軸轉動和非定軸轉動,,剛體的平面運動,8,剛體的一般運動可看作：,9,自由度：確定一個物體空間位置所需要的獨立坐標數(shù)目。,剛體的自由度,火車：自由度為1,飛機：自由度為3,輪船：自由度為2,,,,剛體的自由度

3、,,,,x,y,z,O,,,3個平動自由度 (x，y，z) 。,確定質心C的位置:,3個方位角 (a，b，g )，其中兩個是獨立的。,確定剛體繞瞬時軸轉過的角度j 。,i = 3+2+1= 6,當剛體受到某些限制——自由度減少。,10,剛體的定軸轉動,定軸轉動時，剛體上各質點都繞固定軸作圓周運動，在任意時刻其上各質點的位移、速度、加速度(線量)各不相同。,11,沿逆時針方向轉動,一 剛體轉動的角速度和角加速度,角位移,角坐標,,沿

4、順時針方向轉動,<,0,q,,角速度矢量,方向: 右手螺旋方向,12,,,,,角加速度,剛體定軸轉動(一維轉動)的轉動方向可以用角速度的正、負來表示.,13,(1) 每一質點均作圓周運動，圓面為轉動 平面；,(2) 任一質點運動 均相同，但 不同；,定軸轉動的特點,(3) 運動描述僅需一個角坐標．,14,二 勻變速轉動公式,當剛體繞定軸轉動的角加速度　=常量時，剛體做勻變速轉動．,1

5、5,三 角量與線量的關系,,,,,,16,例1　在高速旋轉的微型電動機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉軸旋轉．開始起動時，角速度為零．起動后其轉速隨時間變化關系為： 式中 ．求：(1)t=6 s時電動機的轉速．(2)起動后，電動機在 t=6 s時間內(nèi)轉過的圈數(shù)．(3)角加速度隨

6、時間變化的規(guī)律．,17,(2) 電動機在6 s內(nèi)轉過的圈數(shù)為,解 (1) 將 t=6 s 代入,(3) 電動機轉動的角加速度為,18,例2　在高速旋轉圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動．開始時，它的角速度 　，經(jīng)300 s 后，其轉速達到 18 000 r·min-1 ．轉子的角加速度與時間成正比．問在這段時間內(nèi)，轉子轉過多少轉？,解 令 ，即

7、 ，積分,得,19,當 t =300 s 時,20,由,得,在 300 s 內(nèi)轉子轉過的轉數(shù),21,剛體定軸轉動定律,22,: 力臂,對轉軸 z 的力矩,一　力矩,用來描述力對剛體的轉動作用．,23,,,O,,,,,（1）若力 不在轉動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量,其中 對轉軸的力矩為零，故 對轉軸的力矩,24,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．,,,,25

8、,例1 有一大型水壩高110 m、長1 000 m ,水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示. 求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點 Q 且與 x 軸平行的力矩 .,26,解 設水深h，壩長L，在壩面上取面積元 ，作用在此面積元上的力,y,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,h,x,,,,,,,,,,,y,,,,,,,,,,,L,27,令大氣壓為 ，則,代入數(shù)據(jù)，得,y

9、,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,h,x,,,,,,,,,,,y,,,,,,,,,L,,,28,,,,Q,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,O,,,,,,,,,,y,,,,h,,對通過點Q的軸的力矩,代入數(shù)據(jù)，得：,29,二 轉動定律,,（1）單個質點 與轉軸剛性連接,30,（2）剛體,質量元受外力 ，內(nèi)力,外力矩,內(nèi)力矩,31,剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成

10、反比.,轉動定律,定義轉動慣量,,32,,,,討論,（1）,（2）,（3） =常量,轉動定律,33,本次課內(nèi)容,轉動慣量平行軸定理剛體運動功能關系剛體運動角動量定理,,34,轉動慣量,35,三　轉動慣量,J 的意義：轉動慣性的量度 .,轉動慣量的單位：kg·m2,,36,質量離散分布,J 的計算方法,質量連續(xù)分布,：質量元,：體積元,37,任取一半徑為r，寬度dr的圓環(huán)。,,,,薄圓盤可

11、以看成是許多半徑不同的同心圓環(huán)的集合。,圓環(huán)對過盤心且垂直于盤面的軸的轉動慣量為,試求半徑為R ，質量為m的均質薄圓盤，對過盤心且垂直于盤面的軸的轉動慣量。,,,解,例1,則整個圓盤對該軸的轉動慣量為,薄圓盤的質量面密度,圓環(huán)的質量為:,38,剛體的轉動慣量與以下三個因素有關：,（3）與轉軸的位置有關．,（1）與剛體的體密度 有關．,（2）與剛體的幾何形狀(及體密度 的分布)有關．,說 明,39,四 平行軸定理,質

12、量為 的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉軸的轉動慣量,40,質量為m，長為L的細棒繞其一端的J,圓盤對P 軸的轉動慣量,,,41,竿子長些還是短些較安全？,飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？,42,(2) 為瞬時關系．,(3) 轉動中 與平動中 地位相同．,(1) , 與 方向相同．,說明,轉動定

13、律應用,43,例2 質量為mA的物體A 靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質量為mB 的物體B上，B 豎直懸掛．滑輪與繩索間無滑動， 且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計．(1)兩物體的線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2) 物體 B 從靜止落下距離 y 時，其速率是多少？,44,解 (1) 用隔離法分別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標系．,,,

14、,,,,,,,A,B,C,45,,46,,解得：,47,如令 ，可得,（2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率,,48,穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉動．試計算細桿轉動到與豎直線成 角時的角加速度和角速度．,例3　一長為 l 、質量為 m 勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉動．由于此豎直放置的細桿處于非,,,,,m,l,O,,mg,,θ

15、,49,解 細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力 作用，由轉動定律得,式中,得,,,,,m,l,O,,mg,,θ,,50,由角加速度的定義,對上式積分，利用初始條件，,,,,,m,l,O,,mg,,θ,,解得：,有,END,51,剛體定軸轉動的功和能關系,52,力的空間累積效應： 力的功、動能、動能定理．,,53,力矩的功：,一　力矩作功,,,,,,,,,,,,,,比較,54,二　力矩的功率,比較,三　轉動動

16、能,55,討論,剛體繞定軸轉動的動能就是組成剛體所有質點的動能之和；,與質點的動能相比較，可看出轉動慣量J的地位對應于質點的質量m，說明J是剛體繞定軸轉動慣性大小的量度。,56,四　剛體繞定軸轉動的動能定理,——剛體繞定軸轉動的動能定理,比較,57,以子彈和沙袋為系統(tǒng),動量守恒；,角動量守恒；,機械能不守恒 .,,子彈擊入沙袋,細繩質量不計,,58,以子彈和桿為系統(tǒng),機械能不守恒．,角動量守恒；,動量不守恒；,,59,圓錐擺,圓錐擺系統(tǒng)

17、,動量不守恒；,角動量守恒；,機械能守恒．,,60,例1 留聲機的轉盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率 作勻速轉動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉盤一起轉動．設唱片的半徑為R，質量為m，它與轉盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：(1)唱片與轉盤間的摩擦力矩； (2)唱片達到角速度 時需要多長時間；(3)在這段時間內(nèi)，轉盤的驅動力矩做了多少功？,61,,,,,,,R,r,dr,dl,,,o,解 (1) 如圖取面積元ds = dr

18、dl，該面元所受的摩擦力為,此力對點o的力矩為,62,于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為,,,,,,,R,r,dr,dl,,,o,63,(3) 由 可得在 0 到 t 的時間內(nèi)，轉過的角度為,(2) 由轉動定律求 ，(唱片J=mR2/2),（作勻加速轉動）,驅動力矩做的功為,由 可求得,64,例2 一長為 l , 質量

19、為m 的竿可繞支點O自由轉動．一質量為m’、速率為v 的子彈射入竿內(nèi)距支點為a 處，使竿的偏轉角為30o . 問子彈的初速率為多少?,解　子彈、竿組成一系統(tǒng)，應用角動量守恒,65,射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統(tǒng)，E =常量．,解得：,66,,剛體繞定軸轉動動能定理只適用于剛體的定軸轉動。,討論,剛體中一對內(nèi)力所作功的代數(shù)和為,內(nèi)力的功不影響剛體的轉動動能。,67,若以hC表示質心到零勢能面的高度，則剛體的重力勢能為,剛體重力勢能與

20、其質量全部集中在質心上的質點具有的重力勢能相同。,以xOy 平面為重力勢能零參考面,剛體的重力勢能,對剛體中所有質點的勢能求和,,結論：,68,剛體的力學系統(tǒng)的機械能,（系統(tǒng)的機械能守恒定律）,對含有剛體的力學系統(tǒng)，若在運動過程中，只有保守內(nèi)力作功，而外力和非保守內(nèi)力都不作功，或作功的總和始終為零，則該系統(tǒng)的機械能守恒。,當 A外 + A非保內(nèi) = 0 時，有,69,力學系統(tǒng)的機械能應包括,質點的動能、重力勢能，彈性勢能； 平動剛體

21、的平動動能、重力勢能； 定軸轉動剛體的轉動動能、重力勢能，即,70,剛體的角動量定理和角動量守恒定律,71,72,,剛體定軸轉動的角動量定理 和角動量守恒定律,,,,,1　剛體定軸轉動的角動量,,,,73,對定軸轉動的剛體　 ，,2 剛體定軸轉動的角動量定理,質點mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin ),合外力矩,74,非剛體定軸轉動的角動量定理,對定軸轉的剛體，受

22、合外力矩M，從 到 內(nèi)，角速度從 變?yōu)?，積分可得：,當轉軸給定時，作用在物體上的沖量矩等于角動量的增量．——定軸轉動的角動量定理,75,3 剛體定軸轉動的角動量守恒定律,如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物體的角動量保持不變．——角動量守恒定律,76,角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.,內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動量.,守恒條件,若 不變， 不變；若 變， 也變，但

23、 不變.,77,許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.,花樣滑冰跳水運動員跳水,78,自然界中存在多種守恒定律,動量守恒定律能量守恒定律角動量守恒定律,電荷守恒定律質量守恒定律宇稱守恒定律等,79,例3 質量很小長度為l 的均勻細桿，可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉動．當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率 垂直落在距點O為 l/4 處，并背離點O 向細桿的端點A 爬行．設小蟲與細桿的

24、質量均為m．問：欲使細桿以恒定的角速度轉動，小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?,80,解　蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒,81,由角動量定理,考慮到,得,此即小蟲需具有的爬行速率．,82,例4　一雜技演員M由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來．問演員N可彈起多高?,83,設蹺板是勻質的，長度為l，質量為 ，蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內(nèi)轉動，演員的質量均為m．假定演員M落在蹺板上，與蹺板的

25、碰撞是完全非彈性碰撞．,解　碰撞前M落在 A點的速度,碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度,84,M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒,,,,,,,,l,l/2,C,A,B,M,N,h,,,,,85,解得,演員N以u起跳，達到的高度：,86,第三章小結,1.剛體繞定軸轉動運動學描述,(1) 角坐標?,(2) 角速度?,(3) 角加速度?,,87,(4) 線量和角量的關系,(5) 勻變速定軸轉動,2. 剛體繞定軸轉動的轉動慣量------剛