第八章 平面與立體相交 直線與立體相交

1、截交線的性質(zhì)：是一封閉多邊形（平面）；多邊形的邊數(shù) = 切到立體的面數(shù)（棱數(shù)）。,定義：截平面——用來截切立體的平面截交線——截平面與立體表面的交線截?cái)嗝妗Ⅲw被截平面切得的平面,第八章 平面與立體相交、直線與立體相交,§8.1 平面與平面體相交（截切、截?cái)啵?平面截切體的畫圖,⒈ 求截交線的兩種方法：,★ 求各棱線與截平面的交點(diǎn)→棱線法。,★ 求各棱面與截平面的交線→棱面法。,關(guān)鍵是正確地畫出截交線的投影。,

2、⒉ 求截交線的步驟：,☆ 截平面與體的相對(duì)位置,☆ 截平面與投影面的相對(duì)位置,確定截交線的投影特性,確定截交線的形狀,★ 空間及投影分析,★ 畫出截交線的投影,分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。,截交線的形狀,1.分析截平面與立體的相對(duì)位置以決定截交線形狀：多邊形，其邊數(shù)取決于截平面截到的棱面數(shù)。2. 分析截平面與投影面的相對(duì)位置以決定截交線的投影形狀。,例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,

3、,,,,,,,,,,3?,2?,1?,(4?),★ 空間分析,交線的形狀？,★ 投影分析,★ 求截交線,★ 分析棱線的投影,,,,,,,,★ 檢查 尤其注意檢查截 交線投影的類似性,截交線在俯、左視圖上的形狀？,截平面與體的幾個(gè)棱面相交？,例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,我們采用的是哪種解題方法？,棱線法！,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：求四棱錐被截

4、切后的俯視圖和左視圖。,,注意：要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,,,P?,,,,,,,截交線的形狀？,1?,5?,4?,3?,2?,8?,7?,6?,截交線的投影特性？,2?≡3?≡6?≡7?,1?≡8?,4?≡5?,,求截交線,1

5、,,5,4,7,6,3,2,8,分析棱線的投影,,,,檢查截交線的投影,,例 : 求八棱柱被平面P截切后的俯視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,作題步驟：① 想清形體的形狀② 確定形體是如何截切的③ 判斷截交線的邊數(shù)及形狀④ 利用面形法畫圖（截切平面與各棱線的交點(diǎn)）⑤ 補(bǔ)全視圖，判斷可見性,例1：,1 2,34,65,7,1´, 7´,,5´

6、;, 6´,2´,3´, 4´,1″,2″,3″,4″,5″,6″,,7″,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,p1?,p2?,p4?,,p0´,p0?,,,,例2：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,s’,a’ b’ c’,s,a c,b,1’,2’,3’,,,s'",,,a?

7、,c?,b?,,,,,,,,,,,,,,,1,2,3,1?,2?,3?,,,,,1 2,4 3,6 5,8 7,1?,2?,3?,4?,7?,8?,5?,6?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1´,2´,4´,5´,6´,7´,8´,,,,,,,,例：,例：,,,,,3´,,,,,,,,,

8、例、斜三棱柱與平面DEF相交，求截交線的投影。,求出三條棱線與平面的交點(diǎn)即可。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1?,1,2?,2,3,3?,,,回轉(zhuǎn)體截切的基本形式,截交線的性質(zhì)：,? 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,? 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。,截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）。,§8.2 平面與曲面立體相交,求平面與回轉(zhuǎn)體的截交線的一般

9、步驟,⒈ 空間及投影分析,☆ 分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線 的相對(duì)位置，以便確定截交線的形狀。,☆ 分析截平面與投影面的相對(duì)位置，明確截交 線的投影特性，如積聚性、類似性等。找出 截交線的已知投影，予見未知投影。,⒉ 畫出截交線的投影,當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，其作圖步驟為：,☆ 將各點(diǎn)光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。,☆ 先找特殊點(diǎn)，補(bǔ)充中間點(diǎn)。,圓柱體的截切,截平面與圓柱

10、面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置,垂直,圓,橢圓,平行,兩平行直線,傾斜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1．截切平面平行于軸線,,,,,,,,PV,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PV,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：求左視圖,,,,,,,,,,★空間及投

11、影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截平面與體的相對(duì)位置,截平面與投影面的相對(duì)位置,解題步驟：,,,同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。,,,,,例：求左視圖,,★空間及投影分析,★求截交線,★分析圓柱體輪廓素線的投影,截平面與體的相對(duì)位置,截平面與投影面的相對(duì)位置,解題步驟：,,,,,,例：求左視圖,,,,,,,,,,,,,,,,例：求左視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：求俯

12、視圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例：求俯視圖,,,,,,,,截交線的已知投影？,,,,,,,,,,,,,,●,●,●,●,,,例：求左視圖,,★找特殊點(diǎn),★補(bǔ)充中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓素線的投影,截交線的側(cè)面投影是什么形狀？,截交線的空間形狀？,2．截切平面傾斜于軸線,,,,,,,,,,例：求左視圖,,,,,,★找特殊點(diǎn),★找中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓素線的投影,橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾

13、角的變化而改變。,截平面與圓柱軸線成45°時(shí)。,什么情況下投影為圓呢？,,,,,,,,,,3．多平面截切圓柱體,,,,,,,,,,,,,,,,p1´,p2´,p2?,p1,p2,p3,,那些平面截切立體每個(gè)截?cái)嗝娴男螤睿ㄊ欠?45°？）平面與平面的交線!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例5：求左視圖,虛實(shí)分界點(diǎn),圓錐體的截切,根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀

14、。,雙曲線(Hyperbola)是指與平面上兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡，也可以定義為到定點(diǎn)與定直線的距離之比是一個(gè)大于1的常數(shù)的點(diǎn)之軌跡。 雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線。,拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡。另外,F稱為"拋物線的焦點(diǎn)",l稱為"拋物線的準(zhǔn)線"。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,例: 圓錐被正垂面截切

15、，求 截交線，并完成三視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,截交線的空間形狀？,截交線的投影特性？,★找特殊點(diǎn),如何找橢圓另一根軸的端點(diǎn)？,★補(bǔ)充中間點(diǎn),★光滑連接各點(diǎn),★分析輪廓線的 投影,,,,,,,,,,,,,,,,,,例: 圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,多個(gè)平面截切圓錐體,,,,,,,,,,,,,,,,

16、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,球體的截切,平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據(jù)截平面與投影面的相對(duì)位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PV,,o′,a′,c′,b′,d′,o,b,c,a,d,d″,b″,c″,a″,o″,f,e″,e,e′,f′,1,1′,f″,1

17、″,,,,重點(diǎn)：平面截切平面立體的截?cái)嗝婢鶠槠矫娑噙呅危?其邊數(shù)取決于切到表面的個(gè)數(shù)，用面形法解決。平面截切回轉(zhuǎn)體的截?cái)嗝嫘螤钊Q于：回轉(zhuǎn)體的種類；截切平面與被切回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置。,,,,,,,,,,,,,例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,水平面截圓球的截交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側(cè)視圖上積聚為直線。,兩個(gè)側(cè)平面截圓球的截交線的投影，在側(cè)視圖上為部分圓弧，在俯

18、視圖上積聚為直線。,例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PV,,,,,,,,,,,,,,,●,●,,,,,㈣ 復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截切,,,,例：求作頂尖的俯視圖,首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。,小 結(jié),一

19、、平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平 面與棱面的交線。,求截交線的方法：棱線法 棱面法,二、平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截 平面與被截立體軸線的相對(duì)位置。,截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。,當(dāng)截交線的投影為非圓曲線時(shí)，要先找特殊點(diǎn)，再補(bǔ)充中間點(diǎn)，最后光滑連接各點(diǎn)。 注意分析平面體的棱線和回轉(zhuǎn)體輪廓素線的投影。,⑵ 分析截平面與被截立體對(duì)投影面的相對(duì)

20、 位置，以確定截交線的投影特性。,⒉ 求截交線,三、解題方法與步驟,⒈ 空間及投影分析,⑴ 分析截平面與被截立體的相對(duì)位置，以 確定截交線的形狀。,⒊ 當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)截 平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有 局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截 交線，然后再取局部。,⒋ 求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù) 合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它 們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本

21、 回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。,,,,,,,,,§8.3 直線與回轉(zhuǎn)體相交 直線與回轉(zhuǎn)體表面交點(diǎn)的投影，應(yīng)采用面上找點(diǎn)、輔助線法或輔助平面法完成，對(duì)交點(diǎn)應(yīng)予以標(biāo)注； 對(duì)直線應(yīng)判別其可見性（回轉(zhuǎn)體內(nèi)部不畫線、處于不可見部分的直線為虛線）。,1．特殊情況,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,PV,,,,,PV,b′,a′,b,a,l,k,l′,