高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件7.2空間圖形的基本關(guān)系與公理

1、第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理,三年9考 高考指數(shù):★★★1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．,1．點、線、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點，也是高考的熱點．2.從考查形式看，以考查點、線、面的位置關(guān)系為主，同時考查邏輯推理能力和空間想象能力.3．從考查題型看，多以選擇題、填空題的形式考查，有時也出現(xiàn)在解答題中，一般難度不大

2、，屬低中檔題.,1.空間圖形的基本位置關(guān)系(1)空間點與直線的位置關(guān)系有兩種：___________和______________.(2)空間點與平面的位置關(guān)系有兩種：___________和______________.,點在直線上,點在直,線外,點在平面內(nèi),點在平,面外,(3)空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：①平行直線：在___________內(nèi)，而且沒有_______的兩條直線.②相交直線：_______________

3、_的兩條直線.③異面直線：______________________的兩條直線.(4)空間直線與平面的位置關(guān)系有三種：①直線在平面內(nèi)：直線和平面有________公共點.②直線和平面相交：直線和平面___________公共點.③直線和平面平行：直線和平面_______公共點.,同一個平面,公共點,只有一個公共點,不同在任何一個平面內(nèi),無數(shù)個,只有一個,沒有,(5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種：①平行平面：兩個平面___

4、____公共點.②相交平面：兩個平面不重合，并且_____公共點.,沒有,有,【即時應(yīng)用】(1)思考：若a α,b β,則a,b就一定是異面直線嗎？提示：不一定，可能存在平面γ,使a γ，b γ.(2)思考：垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？提示：可能平行，可能相交，也可能異面.,(3)兩個不重合的平面可把空間分成________部分．【解析】當(dāng)兩平面平行時可分為3部分；當(dāng)兩平面相交時分為4部分

5、．答案：3或4,2.空間圖形的公理及等角定理,文字語言,圖形語言,符號語言,公理1,如果一條直線上的____在一個平面內(nèi),那么這條直線上________都在這個平面內(nèi)（即直線________）,公理2,經(jīng)過不在同一條直線上的三點，________一個平面（即可以確定一個平面）,若A、B、C三點不共線,則_________一個平面α使A∈α,B∈α,C∈α,兩點,所有的點,在平面內(nèi),有且只有,有且只有,l α

6、,如果兩個不重合的平面____________,那么它們_________一條通過這個點的公共直線,有一個公共點,有且只有,若A∈α,A∈β,則______________,α∩β=l且A∈l,平行于同一條直線的兩條直線_____,平行,若a∥b，b∥c,則_______,a∥c,空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補,若AO∥A′O′,BC∥_______,則∠AOB=∠A′O′B′，

7、∠AOC和∠A′O′B′互補,B′O′,,【即時應(yīng)用】(1)思考：①公理1、2、3的作用分別是什么？②你能說出公理2的幾個推論嗎？提示：①公理1的作用：(ⅰ)判斷直線在平面內(nèi)；(ⅱ)由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)．公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件．,公理3的作用：(ⅰ)判定兩平面相交；(ⅱ)作兩平面的交線；(ⅲ)證明點共線．②公理2的三個推論為：(ⅰ)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點

8、，有且只有一個平面；(ⅱ)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；(ⅲ)經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．,(2)判斷下列說法是否正確.(請在括號中填寫“√”或“×”)①經(jīng)過三點確定一個平面 ( )②梯形可以確定一個平面 ( )③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ( )④如果兩個平面有三

9、個公共點，則這兩個平面重合 ( ),【解析】經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，∴③正確；命題④中沒有說清三個點是否共線，∴④不正確.答案：①× ②√ ③√ ④×,(3)判斷下列說法的正誤.(請在括號中填寫“√”或“×”)①如果兩個不重合的平面α,β有一條公共直線a，就說平面α,β相交，并記作

10、α∩β=a ( )②兩個不重合的平面α,β有一個公共點A，就說α,β相交于過A點的任意一條直線 ( )③兩個不重合的平面α,β有一個公共點A，就說α,β相交于A點，并記作α∩β=A ( )④兩個不重合的平面ABC與DBC相交于線段BC ( ),【解析

11、】根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知①對；對于②，其錯誤在于“任意”二字上；對于③，錯誤在于α∩β=A上；對于④，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線BC.答案：①√ ②× ③× ④×,(4)平面α,β相交，在α,β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．【解析】如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個．答案：1或4,

12、3.異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2，這兩條相交直線所成的_____________就是異面直線a,b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是______，則稱這兩條直線互相垂直.(2)范圍： .,銳角(或直角),直角,(0, ］,,【即時應(yīng)用】(1)思考：不相交的兩條直線是異面直線嗎？不在同一平面內(nèi)的直線是異面直線嗎？提示：不一定．因為兩條直線沒有公共

13、點，這兩直線可能平行也可能異面；因為不同在任何一個平面內(nèi)的直線為異面直線，故該結(jié)論不一定正確．,(2)和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________.【解析】畫出圖形分析.圖①中，AB、CD與異面直線a、b都相交，此時AB、CD異面；圖②中，AB、AC與異面直線a、b都相交，此時AB、CD相交.答案：異面或相交,平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【方法點睛】考查平面基本性質(zhì)的常見題型及解法(1)判斷所給元素(點或直線)

14、是否能確定唯一平面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，此時需要利用公理2及其推論．,(2)證明點或線共面問題，一般有兩種途徑：①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(3)證明點共線問題，一般有兩種途徑：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．,(4)證明線共點問題，常用

15、的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．,【例1】(1)(2012·太原模擬)給出以下四個命題①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如圖

16、，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD且BC= AD，BE∥AF且BE= AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.①證明：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？,【解題指南】(1)根據(jù)確定平面的公理及推論進行判斷.(2)①證明BC、GH平行且相等即可；②證明EF∥CH，由此構(gòu)成平面，再證點D在該平面上．【規(guī)范解答】(

17、1)選B.①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.,(2)①由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD，所以GH∥AD且GH= AD,又BC∥AD且BC= AD，故GH∥BC且GH=BC，所以四邊形BCH

18、G是平行四邊形．②C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下：由BE∥AF且BE= AF，G是FA的中點知，,BE∥GF且BE=GF，所以四邊形EFGB是平行四邊形，所以EF∥BG.由①知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面.又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面.,【互動探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB，DC交于一點”？【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊形，故

19、可得四邊形ECHF為平行四邊形．∴EC∥HF，且EC= DF．∴四邊形ECDF為梯形．∴FE，DC交于一點，設(shè)FE∩DC=M．,∵M∈FE，F(xiàn)E 平面BAFE，∴M∈平面BAFE．同理M∈平面BADC．又平面BAFE∩平面BADC=BA，∴M∈BA．∴FE,AB,DC交于一點．,【反思·感悟】點共線和線共點問題，都可轉(zhuǎn)化為點在直線上的問題來處理，實質(zhì)上是利用公理3，證明點在兩平面的交線上，解題時要注意這種轉(zhuǎn)

20、化思想的運用．,【變式備選】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CD上的點，設(shè)EG與FH交于點P．求證：P、A、C三點共線．,【證明】∵EG∩FH=P，P∈EG，EG 平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC=AC.∴P∈AC.∴P、A、C三點共線．,空間中兩直線的位置關(guān)系【方法點睛】判定直線位置關(guān)系的方法空間中兩直線位

21、置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．【提醒】在空間中兩直線的三種位置關(guān)系中，驗證異面直線及其所成角是考查的熱點.,【例2】如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為( )(A)AC⊥BD(B)AC∥截面PQMN(C)AC=BD(D)異面直線P

22、M與BD所成的角為45°,【解題指南】結(jié)合圖形，根據(jù)有關(guān)的知識逐一進行判斷．注意本題選擇的是錯誤選項！【規(guī)范解答】選C.因為四邊形PQMN為正方形，所以PQ∥MN，又PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ∥平面ADC.又平面BAC∩平面DAC=AC，所以PQ∥AC.同理可證QM∥BD.由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線P

23、M與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯誤.,【反思·感悟】解決此類問題常出現(xiàn)的錯誤是不善于挖掘題中的條件，不能將問題適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化；另外，圖形復(fù)雜、空間想象力不夠、分析問題不到位等，也是常出現(xiàn)錯誤的原因．,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)A，B，C，D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（ ）(A)若AC與BD共面，則AD與BC共面(B)若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線(C)若AB=AC，

24、DB=DC，則AD⊥BC(D)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC,【解析】選D.對于A，易知點A，B，C，D共面，故AD與BC共面，所以A正確；對于B，假設(shè)AD與BC不異面，則可得AC與BD共面，與題意矛盾，故B正確；對于C，如圖，E為BC中點，易證得直線BC⊥平面ADE，從而AD⊥BC，故C正確；對于D，當(dāng)四點構(gòu)成空間四面體時，只能推出AD⊥BC，但二者不一定相等，故D錯誤.,2.（2012·寶雞模擬）若P是

25、兩條異面直線l，m外的任意一點，則下列命題中假命題的序號是______.①過點P有且僅有一條直線與l，m都平行；②過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直；③過點P有且僅有一條直線與l,m都相交；④過點P有且僅有一條直線與l,m都異面.,【解析】①是假命題，因為過點P不存在一條直線與l,m都平行；②是真命題，因為過點P有且僅有一條直線與l,m都垂直，這條直線與兩異面直線的公垂線平行或重合；③是假命題，因為過點P也可能沒有一條直線與l,m都

26、相交；④是假命題，因為過點P可以作出無數(shù)條直線與l,m都異面.答案：①③④,異面直線所成的角【方法點睛】1.求異面直線所成的角的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．2.求異面直線所成角的步驟(1)作：通過作平行線，得到相交直線；(2)證：證明相交直線所成的角為異面直線所成的角；(3)算：通過解三角形，求出該角．,【例3】(1)如圖，已知兩個正方形ABCD和D

27、CEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．求證：直線ME與BN是兩條異面直線．,(2)(2012·西安模擬)已知三棱錐A—BCD中，AB=CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角.【解題指南】(1)采用反證法證明；(2)取AC中點P，連接PM，PN，利用三角形中位線性質(zhì)可得PM∥AB，PN∥CD，從而得∠MPN的大小，然后解三角形可得所求角.,【規(guī)范解答】

28、(1)假設(shè)直線ME與BN共面，則AB 平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN．由已知，兩正方形不共面，故AB 平面DCEF．又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF．線EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN．又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線.,(2)如圖，取AC的中點P.連接PM、PN，則PM∥AB，且PM=

29、AB.PN∥CD，且PN= CD，所以∠MPN為AB與CD所成的角(或所成角的補角).則∠MPN=60°或∠MPN=120°,若∠MPN=60°,因為PM∥AB，所以∠PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補角).,,,,,,,,,,A,B,C,D,M,N,P,,又因為AB=CD，所以PM=PN，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN=60°,即AB與MN所成的角為60°

30、.若∠MPN=120°,則易知△PMN是等腰三角形.所以∠PMN=30°,即AB與MN所成的角為30°.故直線AB和MN所成的角為60°或30°.,【互動探究】把本例第(2)題中的“直線AB與CD成60°角”改為“AB⊥CD”，結(jié)果如何？【解析】由題意得∠MPN=90°.∴△MPN是等腰直角三角形.∴∠PMN=45°，故直線AB和MN所成的角為4

31、5°.,【反思·感悟】1.證明兩直線為異面直線時可利用結(jié)論“過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線為異面直線”；也可用反證法，即證明這兩直線共面時不成立．2.在求異面直線所成的角時常犯的錯誤是忽視角的范圍.,【變式備選】在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC= 且AD⊥BC，對角線 求AC和BD所成的角．【解析】如圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點E

32、、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知,EF∥AC，且EF= GE∥BD，且 GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角.同理， GH∥AD，HF∥BC，又AD⊥BC，∴∠GHF=90°，∴GF2=GH2+HF2=1，在△EFG中，EG2+EF2=1=GF2，∴∠GEF=90°，即AC和BD所成的角為

33、90°.,【滿分指導(dǎo)】求異面直線所成角主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·上海高考改編)已知ABCD—A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA1=2，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；(2)四面體AB1D1C的體積.,【解題指南】(1)利用平行平移法得到異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形的問題；(2)利用割補法求體積即可．【規(guī)范解答】(1)連接BD，AB1，B1D1，AD1.……

34、…………1分,∵BD∥B1D1,∴異面直線BD與AB1所成角為∠AB1D1(或其補角)，記∠AB1D1=θ,………………………………………………3分由已知條件得AB1=AD1=在△AB1D1中，由余弦定理得cosθ= ……………………………6分∴異面直線BD與AB1所成角的余弦值為 ……………7分,(2)連接AC，CB1，CD1，則所求四面體的體積…………………………………

35、……………………………12分,【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2011·四川高考)l1,l2,l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是( )(A)l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3(C)l1∥l2，l2∥l3?l1,l2,l3共面(D)l1，l2,l3共點?l1，l2,l3共面,【解析】選B.對于A：空間中垂直于

36、同一條直線的兩條直線不一定平行，如圖l1,l3可以相交或異面,故命題錯誤.對于B:由異面直線所成的角可知，∵l2∥l3,則l1與l3所成的角與l1與l2所成的角相等，故,l1⊥l3,故命題正確.對于C:空間中三條互相平行的直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不共面,故命題錯誤.對于D:空間中共點的三條直線不一定共面，如三棱錐中共頂點的三條棱不共面.,2.(2011·浙江高考)若直線l不平行于平面α，且l α，則

37、( )(A)α內(nèi)的所有直線與l異面(B)α內(nèi)不存在與l平行的直線(C)α內(nèi)存在唯一的直線與l平行(D)α內(nèi)的直線與l都相交,【解析】選B.由題意可得直線l與平面α相交，如圖:對A，由于α內(nèi)所有不過交點的直線與l異面，故A錯誤；對B，如果α內(nèi)存在與l平行的直線，則直線l與α平行，直線不存在，故B正確；對C，可得直線l與α平行，與題設(shè)不符，故C錯誤；對D，α內(nèi)所有不過交點的直線與l異面，故D錯誤.,3.(2011

38、3;大綱版全國卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________.【解析】取A1B1的中點M，連接EM,AM,AE，則∠AEM就是異面直線AE與BC所成的角.設(shè)正方體棱長為2，則在△AEM中，cos∠AEM=答案：,4.(2012·鄭州模擬)已知：空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且

39、 求證：(1)E、F、G、H四點共面；(2)三直線FH、EG、AC共點.,【解析】(1)連接EF、GH.由E、F分別為AB、AD的中點，∴EF BD，又∴HG BD，∴EF∥HG且EF≠HG.∴EF、HG可確定平面α,即E、F、G、H四點共面.,(2)由(1)知：EFHG為平面圖形，且EF∥HG，EF≠HG.∴四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線FH∩直線EG=O，∵點O∈直線FH，