2008中國國家集訓(xùn)隊(duì)平面幾何培訓(xùn)資料

1、12008年國家集訓(xùn)隊(duì)平面幾何講義1一圓切于兩條平行線，第二個(gè)圓切于，外切于，第三個(gè)圓O12ll1OA1lAOAC切于，外切于，外切于，交于，求證是的2OA2lBOAD1OAEADBCQQCDE?外心。（35屆IMO預(yù)選題）證明由∥，知，從而有，即1AO2BO12AOEBOE???12AEOBEO???三點(diǎn)共線。同理由∥，可得三點(diǎn)共線。又因?yàn)锳EBOF2BOBDF，所以四點(diǎn)共圓，211118018022EDBEOBAOEEAF?????

2、??????AEDF，即點(diǎn)在與的根軸上。又因?yàn)樵谂c的根軸上，BEBABDBF?AAB1OAOAC1OAOA所以是與的根軸。同理是與的根軸，因此為根心，且有BC1OAOAAD2OAOAQ，即是的外心。QCQDQE??QCDE?2非等腰的內(nèi)切圓圓心為，其與分別相切于點(diǎn)，ABC?IBCCAAB111ABC分別交圓于，中的角平分線分別交11AABB22AB111ABC?111111CABCBA??于點(diǎn)，證明（1）是的角平分線；（2）如果是111

3、1BCAC33AB23AA121BAC?PQ和的兩個(gè)外接圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上。（01年保加利亞）123AAA?123BBB?IPQ證明（1）因?yàn)椤?，∽，所以?2ACA?11AAC?12ABA?11AAB?，從而有，即是的角平122212111111CAAAAABACAACABBA???131211121113CACACABABABA??23AA121BAC?3證明因?yàn)槭钦{(diào)和點(diǎn)列，且，所以在關(guān)于點(diǎn)的阿波XDGC90CFD???FXG羅

4、尼斯圓上。連，有。設(shè)的外接圓與交于點(diǎn)，F(xiàn)GFXGFDDFX???GFX?BFH?則有，即在的中垂線上，從而有，因此四點(diǎn)共圓。GHXH???H?GXHH??XFGH4若到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離的比都是，且互不相PQABC?ABC::lmnlmn等，則直線過的外接圓的一條直徑。若設(shè)的外接圓圓心為，則PQABC?DEABC?O。2OPOQOD?A證明法一：由于到的距離之比為，則在阿波羅尼斯圓上，PQAC:lnPQGA其中與的交點(diǎn)為，且為調(diào)和點(diǎn)列。設(shè)