平面幾何試題精選

1、01凸四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)M，點(diǎn)P、Q分別是△AMD和△CMB重心，R、S分別是△DMC和△MAB的垂心求證PQ⊥RS證：過(guò)A、C分別作BD的平行線(xiàn)，過(guò)B、D分別作AC的平行線(xiàn)這四條直線(xiàn)分別相交于X、W、Y、Z則四邊形XWYZ為平行四邊形，且XW∥AC∥XZ則四邊形XAMD、MBYC皆為平行四邊形由其對(duì)角線(xiàn)互相平分知MX在△AMD中線(xiàn)所在直線(xiàn)上，MY在△BMC中線(xiàn)所在直線(xiàn)上，且==MPMX13MQMY∴XY∥PQ故欲證原命題，只

2、需證XY⊥RS，這等價(jià)于SY2－SX2=RY2－RX2下證上式：由S為△AMB垂心知SB⊥AM?SB⊥WY同理SA⊥WX則勾股定理知SY2=SB2BY2=BY2?SW2－WB2?=BY2－WB2SA2WA2…①SX2=SA2XA2…②①－②得SY2－SX2=BY2－WB2WA2－XA2…③同理得RY2=YC2－ZC2RD2DA2RX2=DX2RD2故RY2－RX2=YC2－ZC2DZ2－DX2…④由XW∥DB∥YZWY∥AC∥XZ有BY

3、=DZWB=XDAW=YCAX=ZC比較③④兩式右邊即有SY2－SX2=RY2－RX2由此即有XY⊥RS，從而得出PQ⊥RS，證畢02已知E、F是△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)，CM、BN是AB、AC邊上的高，連線(xiàn)EF、MN相交于P點(diǎn)又設(shè)O、H分別是△ABC的外心和垂心，連接AP、OH求證AP⊥OH?同蘇煒杰03?證：???ABCDPQMRXYZSW∴=…③sin∠3sin∠4EMNF綜合②③知①式成立，故AP⊥OH，證畢03設(shè)H為△AB

4、C的垂心，D、E、F為△ABC的外接圓上三點(diǎn)使得AD∥BE∥CF，S、T、U分別為D、E、F關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求證S、T、U、H四點(diǎn)共圓?同何長(zhǎng)偉02，但解法不同?證：我們先證明一些關(guān)于四邊形HUST的性質(zhì)：延長(zhǎng)AH、BH、CH與△ABC外接圓交于A(yíng)?、B?、C?熟知H與A?關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，H與B?關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，H與C?關(guān)于A(yíng)B對(duì)稱(chēng)又D與S關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，故四邊形DHA?S關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)故DHA?S必為等腰梯形四邊形HFUC?與H

5、TEB?同理亦然∴HS=A?DHU=C?FHT=B?E∠SHA?=∠HA?D記所對(duì)圓周角為?，由AD∥BE=知⌒CE⌒DE⌒AB所對(duì)角為∠C所對(duì)角為∠B所對(duì)角為?⌒DE⌒AC⌒CE∴所對(duì)角為B－C－?⌒AD∴∠SHA?=∠HA?D=B－C－?…①∠UHC?=∠HC?F=∠CC?F=?－?=?－?=A－?12⌒BC⌒BF12⌒BC⌒CE∠AHC?=180?－∠C?HA?=B∴∠UHA?=180?－?∠C?HU∠AHC??=C?…②同理可得

6、∠THA?=B－?…③①②得∠UHS=∠B；①－③得∠SHT=∠C又==2?90?－BCB－C－??=2?90?－??⌒A?D⌒A?B⌒AB⌒AD∴A?D=2Rsin?90?－??∴HS=2Rsin?90?－??同理可計(jì)算出C?F=2Rsin?90?－B??BE?=2Rsin?90?－C－??從而HU=2Rsin?90?－B??HT=2Rsin?90?－C－??由此有HS:HU:HT=sin?90?－??:sin?90?－B??:sin

7、?90?－C－??綜上我們得出了一些關(guān)于四邊形HUST的性質(zhì)：∠UHS=∠B∠SHT=∠C==HUHSsin?90?－B??sin?90?－??HTHSsin?90?－C－??sin?90?－??下面我們利用這些性質(zhì)判定H、U、S、T四點(diǎn)共圓：作△XYZ∽△ABC，即∠X=∠A∠Y=∠B∠Z=∠C在ZY與X異側(cè)作∠ZYW1=90?－B?∠YZW2=90?－C－?YW1與ZW2交于W，連接X(jué)W∴∠ZWY=180?－?∠ZYW∠YZW?=1